高中数学高三《极值与最值》一轮复习教学设计

高中数学高三《极值与最值》一轮复习教学设计一、教学背景与设计理念（基于新课标的核心素养导向）【基础】本节课是高三一轮复习的关键专题，旨在帮助学生构建完整的导数应用知识体系。函数极值与最值是高中数学的核心内容，是导数工具性的集中体现，也是高考考查的热点与难点。它不仅要求学生具备扎实的导数计算功底，更要求深刻理解导数在研究函数性质中的核心作用，以及数形结合、转化与化归等重要数学思想。【非常重要】设计理念上，依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》，本节课将超越单纯的知识点罗列与题型训练，聚焦于数学抽象、逻辑推理、数学运算和直观想象等核心素养的达成。通过问题驱动，引导学生从“解题”向“解决问题”转变，从“机械记忆”向“本质理解”跃升。我们将以函数为载体，以导数为工具，以极值与最值为线索，串联起函数的单调性、图像、不等式恒成立、零点等核心问题，构建系统化的知识网络。同时，融入跨学科视角，如物理中的最优路径、经济中的最大利润等实际背景，让学生感受数学的应用价值。二、教学内容与学情分析【基础】教学内容聚焦于：函数极值与最值的定义辨析、可导函数极值点的必要条件与充分条件、利用导数求解函数极值与最值的方法步骤、含参问题的分类讨论、以及极值与最值在实际问题与综合问题（如恒成立、零点问题）中的应用。【重要】学情分析：授课对象为高三学生。他们已经系统学习过导数的基础知识，掌握了基本初等函数的求导公式和运算法则，对函数的单调性与导数的关系有初步认识。然而，学生在以下几个方面仍存在困难：一是对极值点定义中“附近”的理解不够深刻，常将导数为零的点直接等同于极值点；二是在处理含参函数的最值问题时，分类讨论的标准不清晰，逻辑混乱；三是难以将极值与最值问题与其他知识板块（如不等式、方程）进行综合迁移，缺乏解题的灵活性和策略性。因此，一轮复习的重点在于查漏补缺、深化理解、构建体系、提升能力。三、教学目标（基于核心素养的四维整合）1.知识与技能：学生能准确复述函数极值、最值的定义；能熟练运用导数求函数的单调区间、极大值、极小值以及闭区间上的最大值与最小值；能掌握利用导数解决与极值、最值有关的含参问题和实际应用问题。2.过程与方法：通过典型例题的分析与变式训练，引导学生经历“求导—解方程—列表—判断”的完整解题过程，掌握数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法在解决极值与最值问题中的具体运用。3.情感、态度与价值观：在探究极值与最值问题的过程中，培养学生严谨求实的科学态度和一丝不苟的数学精神；通过解决优化问题，体会数学的实用价值，激发学习数学的兴趣。4.核心素养渗透：在概念辨析中培养数学抽象和逻辑推理；在图像与性质讨论中培养直观想象；在复杂运算与含参讨论中培养数学运算和逻辑推理。四、教学重难点【难点】教学重点：函数极值的概念、利用导数求函数极值与最值的方法步骤。【高频考点】教学难点：极值点与导数为零的点的关系；含参函数单调性及最值的分类讨论；极值与最值在综合问题中的灵活应用。五、教学实施过程（核心环节，占比最大篇幅）（一）知识回顾与辨析（约8分钟）1.【基础】概念的精准界定：引导学生从定义出发，辨析极值与最值的本质区别。1.2.函数的极值：是一个局部概念。对于函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)，在点x0x_0x0​的函数值f(x0)f(x_0)f(x0​)比它在点x0x_0x0​附近其他点的函数值都大（小），我们称f(x0)f(x_0)f(x0​)是函数的一个极大（小）值。强调“附近”二字，即存在一个邻域。2.3.函数的最值：是一个整体概念。函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在定义域III内的函数值中最大的（或最小的）称为最大值（或最小值）。3.4.相互关系：极值不一定是最值，最值若在区间内部取得，则必是极值。最值也可能在区间端点处取得。5.【难点】导数与极值点的关系（核心辨析）：1.6.必要条件：若函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0​处可导，且x0x_0x0​是f(x)f(x)f(x)的极值点，则必有f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0​)=0。这一条告诉我们，寻找极值点，首先要在导数为零的点（驻点）中寻找。2.7.反例强调：f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0​)=0是x0x_0x0​为极值点的必要不充分条件。例如，函数f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3，在x=0x=0x=0处f′(0)=0f'(0)=0f′(0)=0，但x=0x=0x=0不是极值点。因为导数在x=0x=0x=0左右同号（均为正）。3.8.充分条件（第一判别法）：若f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0​)=0，且在x0x_0x0​左侧附近f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0，右侧附近f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0，则f(x0)f(x_0)f(x0​)为极大值；若左负右正，则为极小值；若左右同号，则不是极值点。9.方法流程梳理（板书核心步骤）：1.10.求极值的一般步骤：①确定定义域；②求导函数f′(x)f'(x)f′(x)；③解方程f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0，求出所有实数根（可能还有不可导点，但对初等函数主要考虑导数为零的点）；④列表检查每个根左右两侧f′(x)f'(x)f′(x)的符号，判断是极大值点、极小值点还是非极值点；⑤求出极值。2.11.求闭区间[a,b]上最值的一般步骤：①求出函数f(x)f(x)f(x)在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内的所有极值点；②计算所有极值点处的函数值以及端点值f(a)f(a)f(a)和f(b)f(b)f(b)；③比较这些函数值，其中最大的即为最大值，最小的即为最小值。（二）核心题型探究与变式（约25分钟）1.题型一：不含参函数的极值与最值（基础巩固，运算规范）1.2.例题1：【基础】求函数f(x)=13x3−4x+4f(x)=\frac{1}{3}x^34x+4f(x)=31​x3−4x+4的极值，并求它在区间[0,3]上的最值。2.3.教学实施：学生独立完成，教师巡视，并请一位学生板演。3.4.规范步骤演示与点评：1.4.5.第一步：定义域为R\mathbb{R}R。f′(x)=x2−4=(x−2)(x+2)f'(x)=x^24=(x2)(x+2)f′(x)=x2−4=(x−2)(x+2)。2.5.6.第二步：令f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0，解得x1=−2,x2=2x_1=2,x_2=2x1​=−2,x2​=2。3.6.7.第三步：列表判断极值点。xxx(−∞,−2)(\infty,2)(−∞,−2)−22−2(−2,2)(2,2)(−2,2)222(2,+∞)(2,+\infty)(2,+∞)f′(x)f'(x)f′(x)+00+f(x)f(x)f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增4.7.8.第四步：计算极值f(−2)=13(−8)+8+4=283f(2)=\frac{1}{3}(8)+8+4=\frac{28}{3}f(−2)=31​(−8)+8+4=328​，f(2)=83−8+4=−43f(2)=\frac{8}{3}8+4=\frac{4}{3}f(2)=38​−8+4=−34​。5.8.9.第五步：求区间最值。计算端点值f(0)=4f(0)=4f(0)=4，f(3)=9−12+4=1f(3)=912+4=1f(3)=9−12+4=1。比较f(0)=4f(0)=4f(0)=4，f(2)=−43f(2)=\frac{4}{3}f(2)=−34​，f(3)=1f(3)=1f(3)=1。得最大值f(0)=4f(0)=4f(0)=4，最小值f(2)=−43f(2)=\frac{4}{3}f(2)=−34​。9.10.【重要】教师追问：如果区间改为[1,1]，最值如何？引导学生思考极值点不在区间内的情况，此时最值即为端点值。11.题型二：已知极值/最值求参数（逆向思维，逻辑推理）1.12.【高频考点】例题2：已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1x=1x=1处有极值10，求实数a,ba,ba,b的值。2.13.教学实施：学生分组讨论，尝试求解。教师引导学生注意陷阱。3.14.解题分析：1.4.15.依据条件建立方程组：由f′(1)=0f'(1)=0f′(1)=0得3+2a+b=03+2a+b=03+2a+b=0；由f(1)=10f(1)=10f(1)=10得1+a+b+a2=101+a+b+a^2=101+a+b+a2=10。2.5.16.解方程组：联立解得{a=4b=−11\begin{cases}a=4\\b=11\end{cases}{a=4b=−11​或{a=−3b=3\begin{cases}a=3\\b=3\end{cases}{a=−3b=3​。3.6.17.【难点】关键步骤——检验：必须验证所得参数是否确保x=1x=1x=1为极值点（而不仅仅是导数为零的点）。1.4.7.18.当a=4,b=−11a=4,b=11a=4,b=−11时，f′(x)=3x2+8x−11=(x−1)(3x+11)f'(x)=3x^2+8x11=(x1)(3x+11)f′(x)=3x2+8x−11=(x−1)(3x+11)。列表可知，x=1x=1x=1左右导数由负变正，是极小值点，符合题意。2.5.8.19.当a=−3,b=3a=3,b=3a=−3,b=3时，f′(x)=3x2−6x+3=3(x−1)2≥0f'(x)=3x^26x+3=3(x1)^2\ge0f′(x)=3x2−6x+3=3(x−1)2≥0。x=1x=1x=1左右导数同号（均为正），f(x)f(x)f(x)在R\mathbb{R}R上单调递增，x=1x=1x=1不是极值点，应舍去。9.20.教学总结：已知极值求参数，必须带回原函数检验，这是极易出错的地方，务必引起高度重视。21.题型三：含参函数的单调性与最值讨论（分类讨论，思想升华）1.22.【非常重要】【难点】例题3：已知函数f(x)=x−aln⁡xf(x)=xa\lnxf(x)=x−alnx(a∈Ra\in\mathbb{R}a∈R)。（1）讨论函数f(x)f(x)f(x)的单调性；（2）当a>0a>0a>0时，求f(x)f(x)f(x)在区间[1,e]上的最小值。2.23.教学实施：教师带领学生，层层递进，构建分类讨论的思维框架。3.24.（1）单调性讨论：1.4.25.定义域：(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞)。2.5.26.求导：f′(x)=1−ax=x−axf'(x)=1\frac{a}{x}=\frac{xa}{x}f′(x)=1−xa​=xx−a​。3.6.27.确定讨论点：导数的符号由分子x−axax−a决定。临界点为x=ax=ax=a（导数为零的点）以及定义域的边界x=0x=0x=0。由于x>0x>0x>0，所以讨论的核心是aaa相对于定义域(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞)的位置。4.7.28.分类讨论：1.5.8.29.情况一：当a≤0a\le0a≤0时，在x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)x∈(0,+∞)上，x−a>0xa>0x−a>0恒成立，即f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0。所以f(x)f(x)f(x)在(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞)上单调递增。2.6.9.30.情况二：当a>0a>0a>0时，令f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0得x=ax=ax=a。1.3.7.10.31.当x∈(0,a)x\in(0,a)x∈(0,a)时，f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0，f(x)f(x)f(x)单调递减。2.4.8.11.32.当x∈(a,+∞)x\in(a,+\infty)x∈(a,+∞)时，f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0，f(x)f(x)f(x)单调递增。3.5.9.12.33.综上，f(x)f(x)f(x)在(0,a)(0,a)(0,a)上单调递减，在(a,+∞)(a,+\infty)(a,+∞)上单调递增。x=ax=ax=a为极小值点。13.34.（2）在给定区间[1,e]上求最值（参数影响极值点是否在区间内）：1.14.35.分析：函数在(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞)上的单调性由aaa决定，而最值取决于极值点x=ax=ax=a与区间[1,e]的位置关系。2.15.36.建立分类标准：以极值点aaa与区间端点1和e的关系为分界点，分三类讨论。1.3.16.37.情况一：当0<a≤10<a\le10<a≤1时，极值点aaa在区间[1,e]的左侧。由单调性可知，f(x)f(x)f(x)在[1,e]上单调递增。所以最小值fmin⁡=f(1)=1f_{\min}=f(1)=1fmin​=f(1)=1。2.4.17.38.情况二：当1<a<e1<a<e1<a<e时，极值点aaa在区间[1,e]内部。由单调性可知，f(x)f(x)f(x)在[1,a]上递减，在[a,e]上递增。所以最小值fmin⁡=f(a)=a−aln⁡af_{\min}=f(a)=aa\lnafmin​=f(a)=a−alna。3.5.18.39.情况三：当a≥ea\geea≥e时，极值点aaa在区间[1,e]的右侧。由单调性可知，f(x)f(x)f(x)在[1,e]上单调递减。所以最小值fmin⁡=f(e)=e−af_{\min}=f(e)=eafmin​=f(e)=e−a。6.19.40.【重要】最终整合答案：总结并清晰地写出分段形式的答案。fmin⁡(x)={1,0<a≤1a−aln⁡a,1<a<ee−a,a≥ef_{\min}(x)=\begin{cases}1,0<a\le1\\aa\lna,1<a<e\\ea,a\gee\end{cases}fmin​(x)=⎩⎨⎧​1,a−alna,e−a,​0<a≤11<a<ea≥e​41.题型四：极值与最值的综合应用（恒成立与零点问题）1.42.【高频考点】例题4：已知函数f(x)=ln⁡x−axf(x)=\lnxaxf(x)=lnx−ax。（1）求函数f(x)f(x)f(x)的单调区间；（2）若不等式f(x)≤−1f(x)\le1f(x)≤−1在(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞)上恒成立，求实数aaa的取值范围。2.43.教学实施：引导学生将恒成立问题转化为最值问题。3.44.（1）单调区间（快节奏回顾）：定义域(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞)，f′(x)=1x−a=1−axxf'(x)=\frac{1}{x}a=\frac{1ax}{x}f′(x)=x1​−a=x1−ax​。讨论aaa：若a≤0a\le0a≤0，f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0恒成立，f(x)f(x)f(x)在(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞)上递增；若a>0a>0a>0，f(x)f(x)f(x)在(0,1a)(0,\frac{1}{a})(0,a1​)上递增，在(1a,+∞)(\frac{1}{a},+\infty)(a1​,+∞)上递减。4.45.（2）恒成立问题的转化：1.5.46.问题转化：不等式ln⁡x−ax≤−1\lnxax\le1lnx−ax≤−1恒成立，等价于ln⁡x−ax+1≤0\lnxax+1\le0lnx−ax+1≤0恒成立。令g(x)=ln⁡x−ax+1g(x)=\lnxax+1g(x)=lnx−ax+1，则问题转化为求g(x)max⁡≤0g(x)_{\max}\le0g(x)max​≤0。2.6.47.分析函数：g(x)g(x)g(x)的单调性与f(x)f(x)f(x)类似。g′(x)=1x−ag'(x)=\frac{1}{x}ag′(x)=x1​−a。3.7.48.分类讨论求最值：1.4.8.49.若a≤0a\le0a≤0，g′(x)>0g'(x)>0g′(x)>0，g(x)g(x)g(x)在(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞)上单调递增。当x→+∞x\to+\inftyx→+∞时，g(x)→+∞g(x)\to+\inftyg(x)→+∞，不可能恒有g(x)≤0g(x)\le0g(x)≤0，故舍去。2.5.9.50.若a>0a>0a>0，g(x)g(x)g(x)在x=1ax=\frac{1}{a}x=a1​处取得极大值，也是最大值。3.6.10.51.计算最大值：gmax⁡=g(1a)=ln⁡1a−a⋅1a+1=−ln⁡ag_{\max}=g(\frac{1}{a})=\ln\frac{1}{a}a\cdot\frac{1}{a}+1=\lnagmax​=g(a1​)=lna1​−a⋅a1​+1=−lna。7.11.52.解不等式：由−ln⁡a≤0\lna\le0−lna≤0得ln⁡a≥0\lna\ge0lna≥0，解得a≥1a\ge1a≥1。8.12.53.结论：实数aaa的取值范围是[1,+∞)[1,+\infty)[1,+∞)。13.54.【难点】变式拓展：若将问题改为方程f(x)=mf(x)=mf(x)=m有两个不同的实数根，求mmm的取值范围。引导学生思考如何利用极值来解决，数形结合，将问题转化为函数图像与水平直线的交点问题。（三）课堂小结与思维构建（约5分钟）1.知识层面：再次强化极值与最值的核心概念及其关系；回顾利用导数求解极值与最值的规范步骤。2.方法层面：重点总结本节课涉及的核心数学思想：1.3.数形结合：导数的符号决定函数的升降，极值点是单调性改变的点，函数图像可以直观反映这些关系。2.4.分类讨论：当函数解析式中含有参数时，必须依据参数对导数符号的影响（如导数为零的点是否在定义域内，是否在给定区间内）