小学五年级数学上册第七单元《数学广角-植树问题》练习课知识清单

小学五年级数学上册第七单元《数学广角——植树问题》练习课知识清单一、核心素养导向的单元知识建构本章节并非简单的计算技能训练，而是致力于通过“植树问题”这一经典数学模型，培养学生的模型意识、化归思想以及运用几何直观解决问题的能力。其核心在于理解“间隔”这一抽象概念，并掌握在不同情境下（线段与封闭图形），“点数”与“间隔数”之间的辩证关系。本练习课（练习二十四）正是对这些核心概念进行巩固、深化与综合应用的关键环节，承载着从知识习得到灵活迁移的重要功能。二、【基础】植树问题三大基本模型深度剖析（一）【非常重要】线段上的植树问题（不封闭路线）这是整个单元的理论基石，其本质是研究在一条直的、首尾不相连的路线上，点的个数与由点划分成的段数（间隔数）之间的关系。根据路线的端点处理方式不同，分为三种情形，需严格区分。1.两端都栽【高频考点】：1.2.概念建立：路线的两端（起点和终点）都必须植树。2.3.基本原理：棵数比间隔数多1。因为除了开头第一棵树，每新栽一棵树就对应一个新的间隔，所以最后一棵树使得总棵数比总间隔数多一个。3.4.核心公式：1.4.5.间隔数=总路长÷株距2.5.6.棵数=间隔数+13.6.7.总路长=(棵数1)×株距4.7.8.株距=总路长÷(棵数1)8.9.几何直观：在线段图上，点（树）的数量比段（间隔）的数量多1。10.两端都不栽【重点】：1.11.概念建立：路线的两端（起点和终点）都不植树，只在中间的点植树。2.12.基本原理：棵数比间隔数少1。因为两端被占用，不能栽树，所以树的棵数等于中间的间隔数减去两端空出的部分，即间隔数减1。3.13.核心公式：1.4.14.间隔数=总路长÷株距2.5.15.棵数=间隔数13.6.16.总路长=(棵数+1)×株距4.7.17.株距=总路长÷(棵数+1)8.18.几何直观：在线段图上，点（树）全部位于线段内部，点的数量比段的数量少1。19.一端栽一端不栽【难点】：1.20.概念建立：路线的其中一端植树，另一端不植树（如起点有建筑物，终点是空地）。2.21.基本原理：棵数与间隔数相等。树与间隔形成了一一对应的关系。3.22.核心公式：1.4.23.间隔数=总路长÷株距2.5.24.棵数=间隔数6.25.几何直观：在线段图上，点与段一一对齐，数量相等。（二）【重要】封闭图形上的植树问题这包括了圆形、长方形、多边形等首尾相连的路线。1.概念建立：在封闭路线上植树，本质上等同于“一端栽一端不栽”的线段模型。因为起点与终点重合，造成了首尾相接的效果，使得植树的棵数恰好等于将路线平均分成的段数。2.基本原理：棵数等于间隔数。3.核心公式：1.4.棵数=总路长（周长）÷株距2.5.总路长=棵数×株距3.6.株距=总路长÷棵数7.几何直观：将封闭图形拉直成一条线段，其端点恰好重合，形成了一个“只栽一端”的模型。三、【高频考点】练习二十四典型习题分类解析与思维进阶（一）【基础巩固类】直接应用模型解决问题这类题目情境简单，关键词明确，旨在帮助学生快速识别模型并代入公式。1.题目1（梧桐与银杏）：马路一边栽了25棵梧桐树。如果每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树，一共要栽多少棵银杏树？1.2.考点分析：将“每两棵梧桐树中间”转化为“间隔”的概念。银杏树种在间隔中，求银杏树棵数即求间隔数。2.3.解题步骤：1.识别模型：两端都有梧桐树（因为是在已有梧桐树的间隔中栽银杏，梧桐树相当于“端点”，银杏相当于“点”），属于两端都有的情况，但这里求的是间隔数。2.应用公式：棵数（银杏）=棵数（梧桐）1=251=24（棵）。3.4.解答要点：关键在于理解“中间”即为“间隔”，所求问题与植树模型的核心量——间隔数直接对应。4.5.【易错点】：误以为银杏树的数量与梧桐树相等，或直接用25÷1计算。6.题目2（公交车站）：5路公共汽车行驶路线全长12km，相邻两站之间的路程都是1km。一共设有多少个车站？1.7.考点分析：将“车站”视为“树”，“相邻两站之间的路程”视为“株距”。行驶路线有起点站和终点站，属于两端都栽的情况。2.8.解题步骤：1.识别模型：两端都栽。2.求间隔数：12÷1=12（个）。3.求棵数（车站数）：12+1=13（个）。3.9.【高频考点】：将生活情境（车站、路灯、电线杆）与植树模型建立对应关系。10.题目5（走廊植物）：一条走廊长32m，每隔4m摆放一盆植物（两端不放）。一共要放多少盆植物？1.11.考点分析：明确给出“两端不放”，直接对应“两端都不栽”模型。2.12.解题步骤：1.识别模型：两端都不栽。2.求间隔数：32÷4=8（个）。3.求棵数（盆数）：81=7（盆）。3.13.【易错点】：看到“每隔”就盲目加1，忽略“两端不放”的关键条件。14.题目12（项链水晶）：一条项链长60cm，每隔5cm有一颗水晶。这条项链上共有多少颗水晶？1.15.考点分析：项链是封闭的圆环，属于封闭图形植树问题。2.16.解题步骤：1.识别模型：封闭图形。2.求棵数（水晶数）：总长÷株距=60÷5=12（颗）。3.17.【重要】：强调封闭图形棵数等于间隔数，不加也不减。（二）【变式应用类】问题情境的转化与辨析这类题目改变了问题的问法或情境，需要学生敏锐地识别出其中隐含的植树模型。1.题目4（公路植树）：园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6m种一棵，一共种了36棵。从第一棵到最后一棵的距离有多远？1.2.考点分析：已知棵数和株距，反求总路长。模型依然是两端都栽。2.3.解题步骤：1.识别模型：两端都栽。2.求间隔数：棵数1=361=35（个）。3.求总路长：间隔数×株距=35×6=210（m）。3.4.解答要点：已知棵数求总长，必须先求出间隔数。公式为：总长=(棵数1)×株距（两端都栽时）。4.5.【易错点】：直接用36×6计算，忽略了第一棵树到最后一棵树的距离是35个间隔之和。6.题目7（锯木头）：一根木头长10m，要把它平均锯成5段。每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少分钟？1.7.考点分析：经典的变式问题。“锯木头”的次数对应“植树问题”中的棵数，而“段数”对应“间隔数”。锯一次得到一段，但锯成n段需要锯(n1)次，属于“两端都不栽”模型（因为两端是木头的自然端，不需要“锯”）。2.8.解题步骤：1.模型转化：锯成5段→间隔数=5；锯的次数→棵数。2.求锯的次数：次数=段数1=51=4（次）。3.求总时间：4×8=32（分钟）。3.9.【高频考点】：锯木头、剪绳子、爬楼梯（楼层数=间隔数+1）等问题都是植树问题的经典变式。10.题目9（小旗间距）：笔直的跑道一旁插着51面小旗，相邻两面小旗的间隔是2m。现在要改为只插26面小旗（两端的旗子不动），间隔应该改成多少米？1.11.考点分析：这是一个综合应用问题。先根据原有信息求出跑道总长（不变），再根据新旗数和“两端不动”的条件，求新的间隔。2.12.解题步骤：1.求不变的路长：原有模型两端都栽，间隔数=511=50（个），路长=50×2=100（m）。2.求新情况下的间隔数：新情况两端都栽，间隔数=261=25（个）。3.求新间距：100÷25=4（m）。3.13.【难点突破】：理解“路长不变”是解题的桥梁。此题需要分两步进行，每一步都要正确运用公式。14.题目11（并桌坐人）：一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样并下去，10张桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有38人，需要并多少张桌子才能坐下？1.15.考点分析：这是一个寻找规律的题目，但可以用植树模型来解释。每张桌子的长边可以看作“间隔”，桌子的数量与人数之间存在线性关系。观察可知，人数=桌子数×4+2（或人数=(桌子数+1)×2？需统一模型）。从植树角度看，每张桌子提供4个“座位间隔”，加上两端的2个座位，相当于在一条线段上，两端都有“座位点”，且内部每个间隔对应4个座位。人数=4×间隔数+2，而间隔数=桌子数。2.16.解题步骤：1.找规律：1张桌：6人；2张桌：10人；3张桌：14人→人数比桌子数的4倍多2。2.10张桌：人数=10×4+2=42（人）。3.38人时：设需要n张桌，则4n+2=38，解得n=9。3.17.【拓展思维】：培养学生从复杂情境中抽象出数学模型的能力，理解数量间的线性关系。（三）【综合拓展类】封闭图形与方阵问题1.题目13（长方形花园）：小区花园是一个长60m、宽40m的长方形。现在要在花园四周栽树，四个角上都要栽，每相邻两棵间隔5m。一共要栽多少棵树？1.2.考点分析：封闭图形植树问题。关键在于理解“四个角上都要栽”是封闭图形的必然要求，只要满足封闭且等距，角上自然有树。2.3.解题步骤：1.求周长：(60+40)×2=200（m）。2.应用封闭图形公式：棵数=周长÷株距=200÷5=40（棵）。3.4.【高频考点】：长方形、正方形、圆形等封闭图形的植树问题。5.题目14（围棋盘最外层）：围棋盘的最外层每边能放19枚棋子。最外层一共可以摆放多少枚棋子？1.6.考点分析：方阵问题，可视为封闭图形（正方形）植树问题的特殊形式。最外层是一个空心封闭图形。2.7.解题步骤（多种方法）：1.3.8.方法一（每边先算两端）：每边19枚，但每个顶点被两条边共用。总枚数=每边枚数×边数顶点重复数=19×44=72（枚）。2.4.9.方法二（只算一个顶点）：每边只算一个顶点，则每边实际有(191)枚属于本边独有的棋子。总枚数=(191)×4=72（枚）。这可以理解为间隔数（每边18个间隔）乘以4条边。3.5.10.方法三（先不算顶点）：去掉四个顶点，每边有17枚，加上顶点4枚。总枚数=17×4+4=72（枚）。6.11.【难点与拓展】：理解顶点重复计数是解题关键。此题是对封闭图形模型的深化，也为后续学习方阵问题打下基础。12.题目15（学生方阵）：为迎接“六一”儿童节，学校举行团体操表演。五年级学生排成下面的方阵，最外层每边站15名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？1.13.考点分析：实心方阵问题。最外层计算同围棋盘（封闭图形），总人数计算则为实心方阵，即每行人数×行数。2.14.解题步骤：1.最外层人数：方法同上，(151)×4=56（名）或15×44=56（名）。2.整个方阵人数：15×15=225（名）。3.15.【易错点】：最外层人数计算容易误用15×4。区分“最外层”和“整个方阵”的概念。四、【难点攻坚】植树问题的数学建模思想与化归策略（一）数学模型思想本单元的核心目标是让学生经历“问题情境——建立模型——解释应用——拓展反思”的过程。1.问题情境：植树、安路灯、设车站、锯木头、爬楼梯、摆花盆、围棋子等。2.建立模型：无论情境如何变化，最终都归结为研究“点数”与由点划分成的“段数”之间的关系。1.3.关系一：点数=段数+1(两端都有)2.4.关系二：点数=段数(一端有、封闭图形)3.5.关系三：点数=段数1(两端都没有)6.解释应用：将生活中遇到的问题，通过分析其端点情况，归类到上述三种模型中，从而求解。7.拓展反思：对于复杂问题，如“并桌问题”、“方阵问题”，能尝试用已建立的模型去解释和解决。（二）化归思想（复杂问题简单化）这是解决数学问题的重要策略。在本单元中，主要体现在两个方面：1.遇到复杂数据时，从简单数据入手，发现规律：例如，在探究100米长路、每隔5米栽树的问题时，先从小数据（如20米、15米）开始画图、列表，通过不完全归纳法总结出“棵数=间隔数+1”的规律，然后再将这个规律应用到原问题中。这正是“化繁为简，以简驭繁”思想的体现。2.将未知问题转化为已知模型：面对“锯木头”、“爬楼梯”等变式问题，引导学生将其与“植树问题”的某个基本模型建立联系，从而用已知公式解决新问题。（三）几何直观（画图策略）线段图是解决植树问题最有力的工具。对于抽象思维尚在发展中的五年级学生而言，画图能将隐蔽的数量关系（如端点、间隔）直观地呈现出来。1.画图步骤：1.2.用线段表示总路长。2.3.用短竖线或点表示树（或其他物体）。3.4.在线段上明确标出株距。4.5.数一数间隔数和棵数，观察它们的关系。6.重要性：在面对复杂问题（如两端物体不动，改变中间数量）或难以直接判断的问题时，画图是最直接有效的辅助手段，能帮助学生跳出数字的迷惑，直击问题本质。五、【备考指南】常见题型、易错点诊断与答题规范（一）【常见题型归纳】1.直接应用型：题干中直接给出“两端都栽”、“两端不栽”、“封闭图形”等关键词，或情境非常典型（如路灯、车站），直接套用公式即可。2.逆向思维型：已知棵数和株距求总长（如题4），或已知总长和棵数求株距（如题9）。需注意先求间隔数，再求所求量。3.生活变式型：将植树模型融入到锯木头、爬楼梯、排队、敲钟、并桌等生活情境中。关键在于找出哪个量对应“总长”，哪个量对应“株距”，哪个量对应“棵树”（次数、人数等），并判断端点情况。例如，敲钟问题中，敲的次数对应“棵数”，时间间隔对应“株距”，总时间对应“总长”，属于两端都栽模型（第一下和最后一下都有时间间隔）。4.复合与拓展型：如题9的两步应用题，以及方阵问题。这类问题通常需要综合运用两个及以上的知识点，或对模型有更深层次的理解。（二）【易错点深度诊断】1.审题不清，模型误判：这是最主要的失分点。看到“植树”或“每隔”就盲目套用“加1”公式，忽略了“两端不放”、“一端放”、“封闭”等关键条件。1.2.对策：养成圈画关键词（“两端”、“一旁”、“周围”、“起点不设”等）的习惯，做题前先想清楚属于哪种类型。3.公式混淆，乘除混乱：在求总长、株距