七年级数学上册（北师大版）整式的加减运算教学设计

七年级数学上册（北师大版）整式的加减运算教学设计

  一、课标与教材分析

  本节课内容选自北京师范大学出版社出版的《义务教育教科书·数学》七年级上册第三章“整式及其加减”的第四小节。从学科知识体系来看，整式的加减是继“用字母表示数”、“代数式”、“整式”概念学习之后，对代数式进行运算的起始课，它既是前面所学代数式相关概念的巩固与深化，又是后续学习一元一次方程、分式、函数等知识的坚实基础，在初中代数学中起着承上启下的枢纽作用。整式的加减运算本质上是合并同类项，其运算法则源于数的运算律在代数式领域的推广与应用，体现了从“数”到“式”的认知飞跃，是学生初步形成符号意识、运算能力与代数思维的关键节点。

  《义务教育数学课程标准（2022年版）》在本学段“数与代数”领域明确提出：“掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加减运算。”这不仅指明了知识技能目标，更蕴含了核心素养的培养要求。通过整式加减的学习，学生应进一步发展抽象能力（从具体情境中抽象出运算对象和规则）、运算能力（准确、合理地进行符号运算）和模型观念（运用代数式表达数量关系并进行推演）。北师大版教材的编排注重从实际问题情境引入，通过观察、比较、归纳等数学活动，引导学生自主发现并总结运算法则，体现了“问题情境—建立模型—求解验证—应用拓展”的基本模式，符合学生的认知规律。

  二、学情分析

  教学对象为七年级上学期的学生。他们在小学阶段已经熟练掌握了整数、小数、分数的四则运算，具备了初步的字母表示数的观念，并在本章前几节课中学习了代数式、单项式、多项式、同类项等基本概念。这些构成了学习本节课的知识基础。然而，从“数的运算”过渡到“式的运算”，学生面临着思维层次的跃迁，可能遇到以下认知障碍：其一，对“同类项”概念理解不深，在识别含有复杂系数、多个字母的同类项时可能出现混淆；其二，对运算律在代数式运算中的支配作用认识不足，未能自觉运用分配律等进行变形；其三，对去括号法则，尤其是括号前是负号时的符号处理，容易出错；其四，受算术思维定式影响，可能忽略代数式作为整体的结构性，在运算步骤和书写规范性上存在困难。

  在心理与能力层面，七年级学生抽象逻辑思维开始占主导地位，但仍需具体经验支撑，他们好奇心强，乐于参与探究活动，具备一定的观察、比较和归纳能力。因此，教学设计应充分利用生动的情境和直观的模型（如面积、周长等），设计层层递进的探究活动，引导学生在“做数学”的过程中主动建构法则，并通过辨析、对比、纠错等环节，深化理解，突破难点。

  三、教学目标

  基于以上分析，确定本节课的教学目标如下：

  1.知识与技能

  （1）理解整式加减运算的实质是合并同类项。

  （2）熟练掌握合并同类项与去括号的法则。

  （3）能够准确、规范地进行简单的整式加减运算，并能运用运算简化代数式、解决简单的实际问题。

  2.过程与方法

  （1）经历从具体情境中抽象出数学问题，并用代数式表示数量关系的过程，体会数学模型思想。

  （2）通过观察、类比、归纳等数学活动，自主探索合并同类项和整式加减的运算法则，发展合情推理能力。

  （3）在运用法则解决问题的过程中，体会转化（化归）思想，即把整式加减转化为合并同类项。

  3.情感、态度与价值观

  （1）通过探究活动，体验数学发现和创造的乐趣，增强学习数学的自信心。

  （2）在小组合作交流中，学会倾听、表达与协作，培养严谨求实的科学态度和良好的数学学习习惯。

  （3）感受数学的简洁美、统一美，体会代数运算在解决实际问题中的价值。

  四、教学重难点

  教学重点：整式加减运算的法则与步骤。

  教学难点：括号前是负号时的去括号运算；对整式加减运算算理的理解，特别是运算律的运用。

  五、教学准备

  教师：精心制作多媒体课件（包含情境动画、探究问题、例题、变式练习等）；设计课堂学习任务单；准备实物教具（如用于表示代数式的彩色卡片或几何拼图）。

  学生：复习同类项的概念及合并同类项的基本方法；预习课本相关内容。

  六、教学过程

  （一）创设情境，问题导入（预计用时：8分钟）

  活动1：生活情境引思考

  教师利用多媒体呈现情境：学校要举办文艺汇演，七年级（1）班准备购买演出服装。已知上衣每件a元，裤子每条b元。最初计划为男生和女生各买15套（一套包括一件上衣和一条裤子）。后来根据实际情况调整：男生最终购买20套，女生购买10套。

  教师提出问题串：

  （1）最初计划的总费用如何用代数式表示？（引导学生得出：15a+15b或15(a+b)）

  （2）调整后实际的总费用如何表示？（20a+20b或20(a+b)）

  （3）实际费用比计划费用多多少？你能列出代数式吗？（(20a+20b)-(15a+15b)或20(a+b)-15(a+b)）

  （4）这个代数式如何计算？它与我们学过的什么运算类似？

  设计意图：从学生熟悉的实际问题出发，自然引出整式相减的算式。问题（1）（2）复习用代数式表示数量关系，问题（3）引出本节课的核心运算对象——整式的加减，问题（4）引导学生与已知的数的运算进行类比，为探究新知做好心理和认知铺垫。此情境贯穿教学始终，最后可回扣解决。

  活动2：认知冲突激探究

  教师将学生列出的算式(20a+20b)-(15a+15b)写在黑板上。提问：“这个式子看起来复杂，我们能否将它简化？它与我们之前学过的‘合并同类项’有什么联系？”引导学生观察式子的结构，发现它含有括号，且括号内是同类项的和。进而提出本课核心问题：如何进行带括号的代数式的加减运算？其依据是什么？

  （二）探究新知，形成法则（预计用时：22分钟）

  探究活动一：去括号法则的再发现与深化

  环节1：温故知新，复习铺垫

  教师首先带领学生快速回顾乘法分配律：m(a+b)=ma+mb。并提问：如果m分别代表+1和-1，结果会怎样？

  引导学生计算：+(a+b)=?-(a+b)=?

  学生通过计算得出：+(a+b)=a+b；-(a+b)=-a-b。

  教师强调：这里的“+”和“-”可以看作是括号前的系数分别为+1和-1。这实际上就是一种简单的去括号。

  环节2：实例探究，归纳法则

  教师出示更一般的探究问题：

  计算下列各式，并观察去括号前后，括号内各项符号的变化规律：

  （1）3(x+2y)（2）3(x-2y)

  （3）-3(x+2y)（4）-3(x-2y)

  学生独立计算或小组合作完成。

  计算过程展示：

  （1）3(x+2y)=3x+6y

  （2）3(x-2y)=3x-6y

  （3）-3(x+2y)=(-3)*x+(-3)*2y=-3x-6y

  （4）-3(x-2y)=(-3)*x-(-3)*2y=-3x+6y

  环节3：观察对比，总结规律

  教师引导学生聚焦（1）与（3）、（2）与（4）的对比，重点观察括号前是负号时，去括号后括号内各项符号的变化。

  组织学生分组讨论，尝试用自己的语言总结去括号法则。

  经过讨论和教师引导，师生共同归纳出去括号法则：

  法则1（去括号）：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。

  教师用简洁的口诀帮助学生记忆：“正同负反”。“正同”指括号前是正号，去掉括号后括号内各项符号不变（同原来）；“负反”指括号前是负号，去掉括号后括号内各项符号相反（与原来相反）。

  环节4：算理溯源，深化理解

  教师追问：“为什么会有这样的法则？它的依据是什么？”

  引导学生从乘法分配律的角度进行解释：去括号可以看作是乘法分配律的逆用。例如-3(x-2y)=(-3)*x+(-3)*(-2y)=-3x+6y。括号前的“-3”与括号内每一项相乘，导致符号改变。特别强调，当括号前是负号时，实质是用“-1”乘以括号内的每一项，因此每一项的符号都要改变。

  设计辨析练习，巩固理解：

  判断下列去括号是否正确，若不正确，请改正：

  （1）a-(b-c)=a-b-c（错误，应为a-b+c）

  （2）-(a-b)+c=-a-b+c（错误，应为-a+b+c）

  （3）2m+(3n-5)=2m+3n-5（正确）

  探究活动二：整式加减运算法则的建构

  环节1：回归导入问题，尝试解决

  现在，请学生运用刚刚学习的去括号法则，尝试简化导入问题中的算式：(20a+20b)-(15a+15b)。

  学生板演或口述：

  解：原式=20a+20b-15a-15b（去括号，注意第二个括号前是负号）

  =(20a-15a)+(20b-15b)（运用加法交换律和结合律，将同类项分组）

  =(20-15)a+(20-15)b（逆用乘法分配律，合并同类项）

  =5a+5b

  教师追问：还有更简单的列式方法吗？引导学生列出20(a+b)-15(a+b)，将其视为一个整体，运用乘法分配律的逆运算：原式=(20-15)(a+b)=5(a+b)。两种方法对比，体现运算的灵活性和数学的简洁美。

  环节2：抽象概括，形成法则

  教师呈现几个整式加减的算式，如：

  （1）(2x^2+x-5)+(3-4x^2-2x)

  （2）(3a^2-2ab)-(a^2+3ab-b^2)

  让学生仿照上述步骤，先独立思考运算过程，再小组交流。

  教师引导学生从这些具体的运算实例中，抽象概括出整式加减运算的一般步骤：

  步骤一：去括号。根据去括号法则，去掉算式中的括号。

  步骤二：找同类项。识别并标记出所有同类项。

  步骤三：合并同类项。将同类项的系数相加减，字母及其指数不变。

  教师强调：整式加减运算的实质就是先去括号，再合并同类项。其结果通常也是一个整式（可能是多项式，也可能是单项式，甚至是常数）。

  环节3：规范书写，强调细节

  教师通过规范板演一道例题，强调运算的规范性和易错点：

  计算：(5a^2-3ab+b^2)-(2a^2+ab-3b^2)

  解：原式=5a^2-3ab+b^2-2a^2-ab+3b^2（去括号）

  =(5a^2-2a^2)+(-3ab-ab)+(b^2+3b^2)（用加法交换律、结合律分组，此步可省略，直接合并）

  =3a^2-4ab+4b^2（合并同类项）

  强调要点：①去括号时，要逐项处理，注意符号；②合并同类项时，系数相加減，字母部分不变；③书写时，通常按照某个字母的降幂或升幂排列结果，使表达规范美观。

  （三）剖析范例，深化理解（预计用时：15分钟）

  教师精选不同类型、不同层次的例题，通过讲解、讨论、板演等方式，引导学生深化对法则的理解和应用，突破难点。

  范例1：基础应用，巩固法则

  计算：（1）(3x^2-2x+5)+(x^2+4x-3)

  （2）(7y^2-5y+1)-(2y^2-3y-4)

  教学处理：请两位学生板演，其余学生独立完成。板演后，师生共同批改，重点检查去括号步骤和合并同类项的准确性。教师追问：（2）题中去括号时，括号内的“-3y”和“-4”去掉括号后符号如何变化？深化对“负反”的理解。

  范例2：多层括号，逐层处理

  计算：3a-[5a-(2a-1)]

  教学处理：引导学生分析算式结构，含有中括号和小括号。提问：如何处理多层括号？学生讨论得出：一般由内向外，逐层去括号；也可以先去小括号，再去中括号。教师板演两种方法：

  法一（由内向外）：原式=3a-[5a-2a+1]=3a-[3a+1]=3a-3a-1=-1

  法二（先去小括号）：原式=3a-5a+(2a-1)=3a-5a+2a-1=(3a-5a+2a)-1=-1

  比较两种方法，强调运算顺序的灵活性和准确性。总结：去多重括号时，可以逐层去，也可以一次性去掉，但必须确保每层括号前的符号处理正确。

  范例3：先化简，再求值（渗透整体思想）

  求代数式的值：5(3a^2b-ab^2)-4(-ab^2+3a^2b)，其中a=-2,b=3。

  教学处理：教师引导学生分析：直接代入a、b的值计算繁琐，且易错。应先对代数式进行化简（即整式加减），得到一个最简结果，再代入求值。这体现了“先化简，后求值”的优化策略。

  学生尝试独立完成化简过程。

  解：原式=15a^2b-5ab^2+4ab^2-12a^2b（去括号）

  =(15a^2b-12a^2b)+(-5ab^2+4ab^2)（合并同类项）

  =3a^2b-ab^2

  当a=-2,b=3时，原式=3×(-2)^2×3-(-2)×3^2=3×4×3-(-2)×9=36+18=54。

  教师强调化简求值的步骤和书写规范，并指出化简后的式子3a^2b-ab^2本身也清晰地反映了a、b与代数式值的关系，有时比原式更具数学意义。

  范例4：实际应用，建立模型（回扣导入情境）

  承接导入问题，若后来又有新需求：为5名领舞同学额外购置配饰，每套配饰比一套服装（a+b元）贵c元。求最终总费用与最初计划总费用的差额。

  教学处理：引导学生分析数量关系，列出代数式：5[(a+b)+c]。

  则最终总费用与计划总费用的差额为：{20(a+b)+5[(a+b)+c]}-15(a+b)。

  要求学生先列出式子，再尝试化简。

  解：差额=20(a+b)+5(a+b+c)-15(a+b)

  =20a+20b+5a+5b+5c-15a-15b（去括号）

  =(20a+5a-15a)+(20b+5b-15b)+5c（合并同类项）

  =10a+10b+5c

  或：将(a+b)看作整体，差额=(20+5-15)(a+b)+5c=10(a+b)+5c。

  引导学生解释结果10(a+b)+5c的实际意义：10套服装的费用加上5套配饰中超出服装费用的部分。将数学结果还原为实际意义，完成数学建模的闭环。

  （四）巩固练习，形成技能（预计用时：12分钟）

  设计分层练习，满足不同层次学生的学习需求，及时反馈与矫正。

  A组：基础达标（全体学生必须掌握）

  1.去括号：（1）+(2x-3y)(2)-(4a-5b)(3)2(m-n)(4)-3(-p+q)

  2.计算：（1）(2x+3y)+(5x-4y)（2）(8m-7n)-(4m-5n)

  3.化简：(5a-3b)-2(a-2b)

  B组：能力提升（中等及以上学生完成）

  1.计算：(3x^2-2x+1)-(x^2+2x-3)+(-2x^2+x-4)

  2.先化简，再求值：4xy-[(x^2+5xy-y^2)-(x^2+3xy-2y^2)]，其中x=-1/2,y=1。

  3.一个多项式加上2x^2-x^3-5-3x^4得3x^4-5x^3-3，求这个多项式。

  C组：拓展探究（学有余力学生选做）

  1.已知A=3x^2-2x+1,B=2x^2+x-3,C=-x^2+4x-2。计算：A-[B-(C-A)]，并比较结果与A、B、C的关系。

  2.用火柴棒按如下方式搭图形，第1个图形用7根，第2个用12根，第3个用17根……设第n个图形需用S_n根火柴棒。

  （1）写出S_n的表达式（用含n的整式表示）；

  （2）计算第100个图形比第50个图形多用多少根火柴棒？（用整式表示并化简）

  教学处理：学生独立完成练习，教师巡视指导，关注学困生的完成情况。A组练习可采取口答、抢答或全班齐练方式快速反馈。B、C组练习请学生板演或投影展示解题过程，组织学生互评，教师针对典型错误（如符号错误、合并错误、去括号不彻底等）进行集中剖析和纠正。C组第2题引导学生从具体数值归纳规律，抽象出代数式，并进行整式减法运算，体现从特殊到一般，以及代数运算在规律探究中的应用。

  （五）课堂小结，升华认知（预计用时：3分钟）

  教师引导学生从知识、方法、思想、体验等多个维度进行自主总结。

  知识层面：我们学习了什么？——整式加减的运算法则（先去括号，再合并同类项）及其依据（运算律）。

  方法层面：我们是怎么学习的？——从实际问题出发，通过观察、类比、归纳得到法则，并通过练习巩固应用。掌握了“先化简，后求值”的解题策略。

  思想层面：蕴含了哪些数学思想？——类比思想（式与数的运算类比）、转化思想（整式加减转化为合并同类项）、整体思想、模型思想。

  体验层面：你有什么收获和疑惑？——学生自由发言，分享学习心得或提出尚未解决的问题。

  教师用精炼的语言总结升华：整式的加减是代数运算的基石。它告诉我们，看似复杂的“式”的运算，其核心与“数”的运算一脉相承，都遵循着基本的运算律。学好今天的内容，就如同掌握了打开代数世界大门的又一把钥匙。希望大家能像今天一样，既严谨细致地对待每一步运算，又善于发现和总结其中蕴含的规律与思想。

  （六）分层作业，拓展延伸

  必做题：教材课后练习相应章节的基础题；配套练习册A组题。

  选做题：1.教材或练习册B组题（综合应用）。2.探究题：尝试用整式的加减运算，证明“(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd”这一乘法公式（提示：将(a+b)看作整体M，则原式=M(c+d)=Mc+Md，再代回展开）。此为后续学习埋下伏笔。

  实践题：请在生活中（如购物预算、行程规划、图形拼接等）寻找一个可以用整式加减运算来解决或简化的问题，并写出简要的过程。

  七、板书设计

  （左侧主板书区）

  课题：整式的加减运算

  一、核心问题：(20a+20b)-(15a+15b)=?

  二、探究与法则

  1.去括号法则：

  口诀：“正同负反”

  +(…)→…符号不变

  -(…)→…符号相反

  依据：