江苏南通市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏南通市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−4,0,1,2,8},B=x∣x3=x,A.{0,1,2} B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1}2.若复数z=a−4+a−2i为纯虚数，则实数a=(

)A.4 B.2 C.−2 D.−43.向量a=(2,−1,2)，b=(−4,2,x)，若a⊥b，则A.−5 B.−4 C.4 D.54.已知随机变量X∼N2,σ2.若P(X<4)=0.8，则A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.55.已知圆锥的表面积为3π，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的底面半径为(

)A.1 B.3 C.2 D.6.已知m表示一条直线，α,β表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是(

)A.若α//β，m//α，则m//β B.若α//β，m⊥α，则m⊥β

C.若α⊥β，m//α，则m⊥β D.若α⊥β，m⊥α，则7.甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球.先从甲箱中等可能地取出1个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从乙箱中取出的球是黑球”为A，则P(A)=A.12 B.35 C.7108.已知a>b>1，下列关系不可能成立的是(

)A.alnb>blna B.alnb<b二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某实验小组为研究弹簧所受拉力x(单位：N)与伸长量y(单位：cm)之间的关系，根据收集的实验数据，计算得出线性回归方程为y=0.5x+a.已知x=10，yA.变量y与x呈负相关 B.回归直线经过点(10,5.2)

C.a=0.2 D.当x=12时，10.设函数f(x)=x3−3x2+2A.f(x)在区间(2,+∞)上单调递增

B.直线x=1是曲线y=f(x)的对称轴

C.直线y=−3x+3是曲线y=f(x)的切线

D.f(x)有三个零点11.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，BC=3，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，则(

)A.二面角A−PB−C为直二面角

B.三棱锥A−PDF的体积为2

C.当F为BC的中点时，∠PFD>π2

D.三棱锥P−AEF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.二项式(x+12x)6的展开式中的常数项为13.已知正四棱锥的体积为323，则其侧棱长的最小值为

．14.甲、乙两位老师各自从6名学生中随机选2人调研，记X为被两位老师同时选中的学生人数，则E(X)=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数fx(1)求曲线y=fx在点1,f(2)讨论fx的单调性，并求其极值．16.(本小题15分)相关部门为研究全市高三年级学生的性别和身高的关联性，对该市高三年级的学生进行抽样调查，调查结果如下表．性别身高合计低于170cm不低于170cm女301040男154560合计4555100(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为学生的性别与身高有关联？(2)以样本估计总体，以频率估计概率，现从全市高三年级男生中每次随机抽取1名学生，共抽取4次，且每次抽取的结果相互独立.记被抽取的4名男生中身高不低于170 cm的人数为X，求P(X=2)．附：χ2=n(ad−bcP(0.0500.0100.001k3.8416.63510.82817.(本小题15分)已知函数fx=lnx+ax(1)求实数a的值；(2)判断函数fx在区间0,3(3)设gx=2x218.(本小题17分)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，BC=2，AB=BB1=(1)证明：DE//平面BCC(2)证明：DE⊥平面A1(3)P点在侧面BCC1B1内，且到直线AA1的距离为3，直线DP与平面19.(本小题17分)设集合U=1,2,3,⋯,n，n∈N∗，n≥5.从U中一次取出3个不同的数，由小到大依次记作a，b，c.定义随机变量(1)若n=5，求X的分布列；(2)求EX(3)若随机变量Y∼Bn,12，证明：E1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】BCD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】5213.【答案】214.【答案】2315.【答案】解：(1)因为fx=xe设切线的斜率为k，由斜率的几何意义得k=f′1而f1=e，得到切点为1,e，则切线方程为化简得y=2ex−e，故切线方程为y=2ex−e．(2)f′x=ex(x+1)令f′x>0，可得则fx在−∞,−1上单调递减，在−1,+∞得到fx极小值为f

16.【答案】解：(1)零假设H0：学生的性别与身高无关联，

根据列联表数据得χ2=100×(30×45−10×15)240×60×45×55≈24.24，

∵24.24>10.828，依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，

故能认为学生的性别与身高有关联；

(2)从全市高三年级男生中随机抽取1人，身高不低于170cm的概率p=4517.【答案】解：(1)由fx=lnf′x因为x=12是fx此时f′x当0<x<12时，f′x>0，当12<x<1时，f′x<0，当x>1时，f′x>0，fx故x=12是fx(2)函数fx在区间0,3上的零点个数为1由(1)知fx=lnx+x2−3x，x=f12当x→0时，fx→−∞，当x→+∞时，且fx在0,12上单调递增，在1故fx在区间0,3上有且仅有1(3)设px则p′x由于x>0，故x+1>0，当0<x<12时，p′x<0，当x>12时，p′x>0，故px故g(x)−f(x)>0恒成立，则fx

18.【答案】解：(1)取BC的中点F，连接EF,C因为E为AB的中点，故EF//AC,EF=1又D为A1C1的中点，A故四边形EFC1D又DE⊄平面BCC1B1，C1F⊂平面(2)以点B为坐标原点，以BC,BA,BB1所在直线为则A1D1,设平面A1B1C的法向量为n令x=1，则n=1,0,2，故故DE⊥平面A1(3)取B1C1的中点G，连接FG,A1结合题意可知四边形A1AFG为矩形，此时即得GF上任一点到AA1的距离均为3，故P设P1,0,m,m∈0,AC=设平面ACC1A1的法向量为m令a=1，则m=直线DP与平面ACC1A则33=DP⋅mDP故P1,0,

19.【答案】解：(1)当n=5时，集合U=1,2,3,4,5，从U中一次取出3个不同的数，由小到大依次记作a，b，c总的取法数为C5分别是1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,3,4，1,3,5，1,4,5，2,3,4，2,3,5，2,4,5，3,4,5，由于随机变量X=当X=0时，即c−b≠1且b−a≠1，满足的组合只有1,3,5，所以PX=0当X=1时，即c−b=1且b−a=1，满足的组合只有1,2,3，2,3,4，3,4,5，所以PX=1当X=2时，PX=2所以，当n=5时，随机变量X的分布列为：X012P133(2)对于一般的nn≥5，从集合U=1,2,3,⋯,n中一次取出3个不同的数总取法数为Cn当X=0时，即c−b≠1且b−a≠1，所以c−b≥2且b−a≥2，令a′=a,b′=b−1,c′=c−2，由于1≤a<b<c≤n，且b≥a+2,c≥b+2≥a+4，则1≤a′<b′<c′≤n−2，从n−2个数选出3个不同的数a′,b′,c′的方法数为Cn−23，因此满足条件的组合数为所以PX=0当X=1时，即c−b=1且b−a=1，所以a,b,c是三个连续的整数，即a,a+1,a+2，a可以取1,2,3,⋯,n−2，共n−2种选择，所以PX=1当X=2时，PX=2因此，