江西吉安市四所重点县二中2025-2026学年高二下学期6月学科素养阶段训练 数学 含解析

江西吉安市四所重点县二中2025-2026学年高二下学期6月

学科素养阶段训练数学试卷

一、单选题

1

1．若函数fxlnx2x1，则f（）

2

135

A．0B．C．D．

222

2．已知等差数列an的首项为1，公差不为0，且a2,a3,a6成等比数列，则a8等于（）

A．11B．13C．24D．8

3．设随机变量X的概率分布列为

X1234

111

Pa

344

则P2X3（）

1511

A．B．C．D．

21246

b

4．若fxx3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为（）

a

313131

A．或B．或C．D．

222222

5．某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布N200,25，现有12000个该种植园种植

的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数约为（）

附：若XN,2，则PX0.6827，P2X20.9545，

P3X30.9973.

A．130B．273C．1631D．1804

1

6．若函数h(x)lnxax22x在[1,4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（）

2

77

A．,B．(1,)C．[1,)D．,

1616

7．已知Sn为数列an的前n项和，且Sn2an4，若an2log2an1对任意正整数n恒成立，则实数的

最小值为（）

7351

A．B．C．D．

2242

8．过点1,0可以做三条直线与曲线fxxext相切，则实数t的取值范围是（）

5551

A．,0B．,eC．,eD．,0

e2e2ee

二、多选题

2*

9．记数列an的前n项和为Sn，且SnnnnN，则（）

Sn

A．a36B．数列是公差为1的等差数列

an

1nn

．数列的前项和为．数列的前项的和为

CnD1an20252026

Snn1

10．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件A“第

1次抽到代数题”，B“第2次抽到几何题”，则（）

3211

A．P(AB)B．P(AB)C．P(B∣A)D．P(B∣A)

102522

11．已知函数f(x)x32x2，则下列说法正确的是（）

4

A．x是函数f(x)的极大值点

3

216

B．f(x)的对称中心为(,)

327

C．f(x)在(0,1)上恒有f(x)f(x)

D．若f(x)与g(x)x2xm在[0,)有唯一交点，则m0或m1

三、填空题

2

12．已知数列an满足a11，a22，an2，则a2025______．

an

13．设yfx、ygx分别是定义在R上的奇函数和非零偶函数，当x0时，

fxgxfxgx0，且f30，则不等fxgx0的解集是______．

n

14．已知数列an满足an11an2n1，Sn为其前n项和，则S60______．

四、解答题

1322

15．已知函数f(x)xaxb(a,bR)的图象过点1,，且f(1)1.

33

(1)求a，b的值；

(2)求函数f(x)的极值.

16．已知数列an的前n项和为Sn，且满足a12，Snan12．

(1)求数列an的通项公式；

n13

(2)数列bn满足bn2log2an1，记数列bn的前n项和为Tn，求证．

k1Tk4

3

17．已知数列an，a1e，an1an（nN*）．

(1)求数列an的通项公式；

(2)设bn(2n1)lnan，求数列bn的前n项和Tn．

18．中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰

和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国

民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下：

宣传天数x12345

不了解的人数y108100928070

(1)若对中国民间传统文化不了解的人数y与宣传天数x之间满足线性回归关系，求变量y关于变量x的回归

方程yˆaˆxbˆ；

(2)从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下22列联表：

对中国民间传统文化了解的程度

性别合计

了解不了解

老年401050

青年302050

合计7030100

（i）依据显著性水平a0.05进行独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与年龄有关？

（ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表，再从这7份调查表中任意

抽取3份，记X为抽到的调查表来自青年调查表的份数，求X的分布及期望．

nn

xixyiyxiyinxy

ˆi1i1

附：回归方程yˆaˆxb中斜率和截距的最小二乘法公式分别为aˆnn，

222

xixxinx

i1i1

bˆyaˆx，

n(adbc)2

独立性检验常用小概率值和相应的临界值：2，

(ab)(cd)(ac)(bd)

0.050.010.005

k3.8416.6357.879

1

19．已知函数fx2ax2alnx.

x

(1)当a0时，讨论fx的单调性；

1

(2)若a0,gxemxx2mx，讨论方程fxgx0的根的个数.

x

参考答案

1．A

11

1f20

【详解】由fxlnx2x1，得fx2，所以21.

x

2

2．B

【详解】因为等差数列an的首项为1，公差不为0，且a2,a3,a6成等比数列，

2

设an的公差为d，则12d1d15d，解得d2，

所以a817d13.

故选：B

3．B

1111

【详解】PX21，

3446

115

则P(2X3)PX2PX3.

6412

故选：B．

4．C

【详解】因为fxx3ax2bxa27a，则fx3x22axb,

又fxx3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，

f132ab0

a2a6

f11aba27a10，解得或，

2b1b9

Δ4a12b0

当a2，b1时，fx3x34x13x1x1，

1

当x1时，fx0，当x1时，fx0，

3

则fx在x1处取得极小值，与题意不符；

当a6，b9时，fx3x212x93x1x3，

当x1时，fx0，当1x3时，fx0，

b93

则fx在x1处取得极大值，符合题意，则，

a62

故选：C.

5．B

【详解】设N,2，则200，5.

1P2210.9545

所以P210P20.02275.

22

所以估计12000个该种植园种植的脐橙中，单果质量不低于210g的脐橙个数约为：

120000.02275273（个）.

6．B

1

【详解】因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，所以h(x)ax20在[1,4]上有解，所以当x[1,4]时

x

1212112

有解，而当时，2，（此时），所以，所以

a2x1,4]2(1)121x1a1a

xxxxxxxmin

的取值范围是(1,).

故选：B.

7．C

【详解】由Sn2an4，令n1，解得a14，

Sn2an4an

当n2时，由得anSnSn12an2an1，即2n2，

Sn12an14an1

n1

所以数列an是以4为首项，2为公比的等比数列，所以an2，

2n3

由a2loga1，即恒成立，

n2n2n1

2n3n1

令c，则c，而cc0，所以cc，

n2n1nmaxn1n2n1n1n

555

即数列c单调递减，故cc，所以，所以的最小值为.

nnmax1444

故选：C

8．A

【详解】因为yfxxext，所以f(x)ex(x1)，

设过点(1,0)的切线切曲线f(x)exlnxt于点(m,memt)，

则切线方程为ymemtemm1]xm，又其过点(1,0)，

所以0(memt)[em(m1)](1m)，所以根据题意可得该关于m的方程有3解，

即方程temm2m1有3解，

所以yt与yem(m2m1)有3个交点，

设gmem(m2m1)，则g(m)em(m2)(m1)，

所以当m(,2)时，g(m)0，g(m)单调递减；

当m(2,1)时，g(m)0，g(m)单调递增；

当m(1,)时，g(m)0，g(m)单调递减，

5

所以g(m)的极小值为g(2)，g(m)的极大值为g1e，

e2

且m2时，gm0；m时，g(m)，

5

所以要使yt与yem(m2m1)有3个交点，则需t0．

e2

故选：A

9．ACD

2

【详解】数列an的前n项和Snnn，

2

当时，aSSn2nn1n12n，

n2nnn1

而a1S12满足上式，因此an2n.

对于A，a36，A正确；

2

Snnn1Sn1Sn11

对于B，n，n2n1，

an2n2an1an22

S1

则数列n是公差为的等差数列，B错误；

2

an

1111

对于C，，

Snnn1nn1

1n1111111n

数列的前n项和为11，C正确；

Sni1Si223nn1n1n1

2n12n

对于D，1a2n11a2n22n122n2，

n

则数列1an的前2025项的和为21012a20252024220252026，D正确.

故选：ACD.

10．AC

3323

【详解】对于A，由题意得：PA，PAB，正确；

55410

22121

对于B，PA，PAB，错误;

5542010

3

PAB1

对于C，PB|A10，正确；

PA32

5

1

PAB101

对于D，PB|A，错误.

PA24

5

11．BD

4

【详解】对于A，函数f(x)x32x2定义域为R，求导得f(x)3x24x3x(x)，

3

44

当x0或x时，f(x)0；当0x时，f(x)0，

33

444

函数f(x)在(,0),(,)上单调递增，在(0,)上单调递减，x为f(x)的极小值点，A错误；

333

222222

对于B，f(x)f(x)(x)3(x)32[(x)2(x)2]

333333

16832216

4x22(2x2)，因此(,)是函数f(x)x32x2的对称中心，B正确；

27927327

对于C，由选项A得函数f(x)在(0,1)上单调递减，当x(0,1)时，x(0,1)，

且xx，因此f(x)f(x)，C错误；

对于D，由f(x)g(x)，得x3x2xm0，令函数(x)x3x2xm,x0，

求导得(x)3x22x1(3x1)(x1)，当0x1时，(x)0；当x1时，(x)0，

函数(x)在[0,1]上单调递减，函数值集合为1m,m；在[1,)上单调递增，函数值集合为[1m,)，

当1m0，即m1时，(x)0在[0,)上有唯一解，

当m0，即m0时，(x)0在[0,)上有唯一解，

因此当f(x)与g(x)在[0,)有唯一交点时，m0或m1，D正确.

12．1

2

【详解】方法一：由题意知，a11，a22，an2，

an

2222

则a32，a41，a51，a62，，

a1a2a3a4

因此数列an是周期为4的周期数列，所以a2025a50641a11．

222

方法二：把an2看作fn2，则fn4fn，

anfnfn2

因此数列an是周期为4的周期数列，所以a2025a50641a11．

故答案为：1.

13．,30,3

【详解】yfx、ygx分别是定义在R上的奇函数和非零偶函数，

所以fxfx、gxgx，

fxfxfx

令hx，则hxhx，

gxgxgx

因此函数hx在R上是奇函数，

fxgxfxgx

当x0时，hx0，

g2x

hx在,0上单调递增，又函数hx在R上是奇函数，

f0

所以hx在0,上单调递增，且h00，

g0

f30，f3f30，

f3f3

因为h30，h30，

g3g3

fxfx

所以x3时，hx0，3x0时，hx0，

gxgx

fxfx

0x3时，hx0，x3时，hx0，

gxgx

fx

0的解集是,30,3，即fxgx0的解集是,30,3．

gx

故答案为：,30,3．

14．1830

n

【详解】因为an11an2n1，

所以a2a11，a32a1，a47a1，

即a1a2a3a410．

同理a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，

所以a5a6a7a826.

同理可得a9a10a11a1242，

由此可知，S4，S8S4，S12S8，成等差数列，

首项为10，公差为16，

1514

所以S1510161830．

602

故答案为：1830.

2

15．(1)a1,b

3

22

(2)极大值为，极小值为

33

1

【详解】（1）f(x)x3ax2b，f(x)x22ax.

3

12

ab2

由题意得33解得a1,b；

3

12a1,

12

（2）由（1）得，f(x)x3x2，

33

f(x)x22x，

令f(x)0，解得x2或x0，

当x(,2)时，f(x)0，则函数f(x)单调递增；

当x(2,0)时，f(x)0，则函数f(x)单调递减；

当x(0,)时，f(x)0，则函数f(x)单调递增，

2

故当x2时，f(x)有极大值为f(2)；

3

2

当x0时，f(x)有极小值为f(0).

3

22

综上，函数f(x)的极大值为，极小值为.

33

n

16．(1)an2

(2)证明见解析

【详解】（1）因为Snan12，①

当n2时，Sn1an2，②

由①②得anan1an，即an12an，

a4

2

当n1时，a2a124，2，

a12

所以数列an为等比数列，其首项为a12，公比为2，

n1n

所以ana1q2；

n(32n1)

（2）由（1）得，b2loga12n1，所以Tnn2，

n2nn2

11111

所以，

Tkkk22kk2

n111111111

所以1

k1Tk2324n1n1nn2

31113

42n1n24

n13

所以．

k1Tk4

．3n1；

17(1)ane

n

(2)Tn(n1)31.

3

【详解】（1）由a1e，an1an知，an0，

所以lnan13lnan，又lna11，

lna

所以n13，

lnan

所以数列lnan是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以n1，3n1；

lnan3ane

n1

（2）由（1）得bn2n1lnan2n13，

012n1

所以Tn1333532n13，

12n1n

3Tn13332n332n13，

123n1n

所以2Tn1233332n13

33n

122n13n2n13n2，

13

n

所以Tnn131．

18．(1)yˆ9.6x118.8；

(2)（i）是否了解中国民间传统文化与年龄有关；

（ii）

X0123

418121

P

35353535

9

E(X).

7

【详解】（1）根据题干可知，

12345108100928070

n5，x3，y90，

55

5

xiyi110821003924805701254，

i1

5

222222

xi1234555，

i1

n

xynxy

ii1254539096

i1

aˆn29.6，

22555310

xinx

i1

bˆyaˆx90(9.6)3118.8，

所以y关于x的回归方程为：yˆ9.6x118.8

（2）（i）假设H0：是否了解中国民间传统文化与年龄无关；

由题知显著性水平：a0.05，即P23.8410.05；

n(adbc)2100(40203010)2

统计量：2

(ab)(cd)(ac)(bd)70305050

100

4.7623.841，

21

因为24.7623.841，故拒绝原假设，即是否了解中国民间传统文化与年龄有关；

（ii）按分层抽样抽取老年调查表4份，青年调查表3份，X0,1,2,3

C34C2C118

443

PX03;PX13,

C735C735

C1C212C31

433

PX23;PX33.

C735C735

所以X的分布列为：

X0123

418121

P

35353535

4181219

期望：E(X)0123

353535357

19．(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

12x1ax1

【详解】（1）fx2ax2alnx的定义域为0,，则fx，

xx2

2x1ax111

因a0，由fx0，解得x1,x2，

x22