海南大机械与工程制图课件第3章 立体的投影

第三章立体的投影主讲老师：何金兰本章内容：立体投影、立体表面上点的投影、截切立体的投影、相贯体的投影掌握的内容：

立体投影及其表面上点的投影的作图方法立体截交线的作图方法相贯体的相贯线的作图方法立体在单面、双面投影体系中的投影三视图的形成三面投影与三视图三视图的绘制第一节多面正投影体系的建立和投影规律1立体在单面、双面投影体系中的投影

单一正投影不能完全确定物体的形状和大小两面投影体系主视图俯视图

两面正投影也不能完全确定物体的形状和大小三面投影体系

由右图可知，采用三面正投影可以确定简单物体的形状和大小VWH俯视主视左视形成三视图YXZO三面投影体系x0yzy

主视图俯视图左视图2三视图的形成规定:V面保持不动H面向下向后绕OX轴旋转900W面向右向后绕OZ轴旋转900X方向作为度量物体长度的方向Y方向作为度量物体宽度的方向Z方向作为度量物体高度的方向主视图长、高俯视图长、宽左视图高、宽OXYZVWH高长宽长高长宽高宽视图上物体的相对位置3三面投影与三视图3.1视图的概念主视图

——物体的正面投影俯视图

——物体的水平投影左视图

——物体的侧面投影3.2三视图之间的度量对应关系三等关系长高宽宽主视俯视长相等且对正主视左视高相等且平齐俯视左视宽相等且对应长对正宽相等高平齐视图——指将物体向投影面投射所得的图形主视图长、高俯视图长、宽左视图高、宽x0yzy长高宽宽2026/6/3010例长宽高投影特性长对正宽相等高平齐3.3三视图之间的方位对应关系OXYZVWH上下左右后上下前后左右前上下左右前后

主视图反映：上、下、左、右

俯视图反映：前、后、左、右

左视图反映：上、下、前、后上下左右后前上下前后左右将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行或垂直，进而确定主视图的投影方向整体和局部都要符合三视图的投影规律可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓线用虚线绘制，当虚线与实线重合时画实线特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方位关系4三视图的绘制虚线要画画三视图123要注意宽相等要注意前后关系宽宽前前宽宽前前后后后后课堂练习：对号入座（1）BCDA课堂练习对号入座（2）

4635第三章立体的投影主讲老师：何金兰第二节立体及其表面上点的投影立体的的种类及形成平面立体曲面立体（回转体）第二节立体及其表面上点的投影1立体的的种类及形成常见的基本几何体平面立体曲面立体全部由曲面或由曲面和平面组成的立体全部由平面组成的立体2平面立体2.1棱柱⑵棱柱的三视图（投影）⑴棱柱的组成

由两个底面和几个侧棱面组成。两底面相互平行；侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行，底面与棱面交线称底边线先画反映底面形状的视图工程常见的平面立体:

棱柱、棱锥全部由平面组成的立体2平面立体

a

a

a

(b

)

b

b

A

(B)工程常见的平面立体:

棱柱、棱锥全部由平面组成的立体点的可见性规定：若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见因棱柱的表面都是平面，所以在棱柱表面上取点与在平面上取点的方法相同⑶棱柱面上取点

s

k

k

k

b

a

c

abc

a

(c

)b

s

n

﴾n﴿

S

A

B

C

K

N

n׳

s

2.2棱锥⑵棱锥的三视图（投影）⑶在棱锥面上取点⑴棱锥的组成由一个底面和几个侧棱面组成，侧棱线交于有限远的一点——锥顶同样采用平面上取点法

棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面SAC为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面锥顶底面侧棱面3曲面立体（回转体）工程中常见的曲面立体主要有圆柱、圆锥、球、环等。回转体是一动线（直线、圆弧或其它曲线）绕一定线（直线）回转一周形成的曲面全部由曲面或由曲面和平面组成的立体3.1曲面立体（回转体）的形成OO母线轴线回转面为一光滑的曲面回转体是一动线（轴线）（直线、圆弧或其它曲线）绕一定线（直线）回转一周形成的曲面顶圆素线赤道圆喉圆纬圆底圆回转面的投影用转向轮廓线的投影表示。转向轮廓线是回转面上可见部分与不可见部分的分界线在投影图上表示回转体，就是把组成立体的回转面或平面表示出来，然后判断可见性。如图所示转向轮廓线转向轮廓线3.2曲面立体（回转体）投影的表达3.3.1.2圆柱的投影圆柱表面由圆柱面和顶面、底面所组成。圆柱面是由一直母线与之平行的轴线回转而成如图所示，圆柱的轴线垂直于H面，其上下底圆为水平面，水平投影反映实形，其正面和侧面投影重影为一直线。而圆柱面则用曲面投影的转向轮廓线表示3.3.1圆柱XZY圆柱的三面投影图HVWa’a’b’c’d’c’d’acdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”3.3常见曲面立体（回转体）3.3.1.1圆柱的形成一个投影为圆，其余二投影均为矩形。且规定：回转体对某投影面的转向轮廓线，只能在该投影面上画出，而在其它投影面上则不再画出XZY圆柱的三面投影图HVWa’a’b’c’d’c’d’acdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”aba’a’b’b’a”(b”)a”(b”)c’(d’)c’(d’)cdd’d’c’c’圆柱的投影3.3.1.3圆柱投影图的绘制（1）先绘出圆柱的对称线、回转轴线（2）绘出圆柱的顶面和底面（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线XZYHWa’a’b’c’d’c’d’acdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”V正面转向轮廓线侧面转向轮廓线在圆柱表面上取点

已知圆柱表面上的点A、B、M及N的正面投影a′、b′、m′和n′，求它们的其余两投影3.3.1.4圆柱表面上取点a′a”ab′(b”)bXZY

圆锥的三面投影图HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)3.3.2.1圆锥的投影

圆锥表面由圆锥面和底圆组成。它是一母线绕与它相交的轴线回转而成如图，圆锥轴线垂直H面，底面为水平面，它的水平投影反映实形，正面和侧面投影重影为一直线对于圆锥面，要分别画出正面和侧面转向轮廓线正面转向轮廓线侧面转向轮廓线3.3.2圆锥体3.3.2.2圆锥投影图的绘制s’a’b’sabcdc”d”c’(d’)s”a’(b’)

（1）先绘出圆锥的对

称线、回转轴线（2）在水平投影面上绘出

圆锥底圆，正面投影

和侧面投影积聚为直线(3)作出锥顶的正面投影和

侧面投影并画出正面转向

轮廓线和侧面转向轮廓线圆锥的投影XZYHVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)3.3.2.3圆锥表面上取点

在圆锥表面上求点，有两种方法：一是素线法，二是辅助圆法（伟圆法）方法一：素线法

过M点及锥顶S作一条素线SⅠ,先求出素线SⅠ的投影,再求出素线上的M点XZY圆锥的三面投影图HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)mm’m”M已知圆锥表面的点M的正面投影m’,求出M点的其它投影过m’s’作圆锥表面上的素线，延长交底圆为1’1’11”mm”a’(b’)

圆锥的投影及表面上的点ss”abcdc”d”s’a’b’c’(d’)m’求出素线的水平投影s1及侧面投影s”1”求出M点的水平投影和侧面投影方法二：辅助圆法（伟圆法）

过M点作一平行于底面的水平辅助圆，该圆的正面投影为过m’且平行于a’b’的直线2’3’，它们的水平投影为一直径等于2’3’的圆，m在圆周上，由此求出m及m”XZY圆锥的三面投影图HVWacdba’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)ACBSmMm’m”m’圆锥的投影及表面上的点s’ss”a’ab’bc”d”mm”

以s为中心，以sm为半径画圆已知圆锥面上M点的水平投影m，求出其m’和m”作出辅助圆的正面投影2’3’232’3’求出m’及m”的投影

球的表面是球面。球面是一条圆母线绕过圆心且在同一平面上的轴线回转而形成的3.3.1圆球的形成球的三个投影均为直径与球直径相等的圆，但三个投影面上的圆是不同的转向轮廓线3.3.2球的投影3.3圆球球面对三个投影面的转向轮廓线是球面上平行于相应投影面的最大圆已知M点的水平投影，求出其它两个投影121’m’m”过m作平行于V面的正平圆12

求正平圆的正面投影在辅助正平圆上求出m’和m”o’o”o球的投影及表面上的点mR3.3.3球面上取点同理，可过M点作水平圆或侧平圆求出点的其他投影3.4.1圆环的形成圆环面是由一个完整的圆绕轴线回转一周而形成，轴线与圆母线在同一平面内，但不与圆母线相交3.4圆环3.4.2圆环的三视图主、左视图是极限位置素线（图）和内、外环分圆的投影；俯视图是上、下的投影第三章立体的投影主讲老师：何金兰第三节

截切体的投影相关概念截切平面立体的投影小结第三节

截切体的投影1相关概念截切体:立体被平面截切后所得到的立体截切:用一个平面与立体相交，截去立体的一部分的操作截平面:

用以截切物体的平面截交线

截平面与立体表面的交线截断面:

因截切在立体上形成的平面截交线与截断面截平面截交线截断面讨论的问题：截交线的分析和作图2截切平面立体的投影2.1平面立体截交线的性质

截交线是一个封闭的平面多边形平面立体的截交线的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每条边是截平面与棱面的交线求截交线的实质是求两平面的交线

截交线是截平面和平面立体表面的共有线截交线与截断面截平面截交线截断面2.2平面截切体的画图（投影）⒈求截交线的方法：★求各棱线与截平面的交点→棱线法★求各棱面与截平面的交线→棱面法关键是正确地画出截交线的投影⒉求截交线的步骤：☆截平面与立体的相对位置☆截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性确定截交线的形状★空间及投影分析★画出截交线的投影分别求出截平面与棱线的交点或截平面与棱面的交线，并连接成多边形45例1已知一平面斜截切正六棱柱的正面投影和水平投影，求其侧面投影已知条件1234563

2

1

(5

)4

(6

)（1）画出完整六棱柱的侧面投影（2）求截交线的侧面投影2

●3

●4

●5

●6

●1●1234563

2

1

(5

)4

(6

)（1）画出完整六棱柱的侧面投影（2）求截交线的侧面投影2

●3

●4

●5

●6

●1●（3）确定各棱线的侧面投影，

并判别可见性（1）画出完整六棱柱的侧面投影（2）求截交线的侧面投影（3）确定各棱线的侧面投影，并判别可见性（4）检查、加深图线、完成全图例2、求如图所示：三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影平面与三棱锥相交s'a'b'c'c''a''b''sPvs''(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点1’、2’、3’这三点为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1'2'3'(2)根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”11''2''23(3)连接各点的同面投影即得截交线的三个投影(4)补全棱线的投影3''具体步骤如下：abcSABCⅠⅡⅢ2.3回转体的截切（截切回转体投影）2.3.1回转体截切的基本形式截交线截平面截平面截交线2.3.2曲面立体截交线的性质

截交线是截平面与回转体表面的共有线截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置

截交线一般是封闭的平面曲线或曲线与直线段组成的平面图形2.3.3求平面与回转体的截交线的一般步骤

⒈空间及投影分析☆分析回转体的形状及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状☆分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影⒉画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性☆先找特殊点，补充中间点截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置（三种形状）垂直圆椭圆平行两平行直线倾斜PVPPVPPVP

圆柱体的截切例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影平面与圆柱相交平面与圆柱的轴线斜交，截交线为一椭圆，截交线的正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面投影重影为圆。侧面投影可据圆柱表面取点的方法求出具体步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点（2）再作出适当数量的一般点（3）将这些点的投影依次光滑的连接起来1’15’5373’(7)’1”5”3”7”22’2”4684’4”（4）补全侧面投影中的转向轮廓线8”6”ⅠⅢⅤⅦⅡⅣⅥⅧP例2：求左视图虚实分界点成图圆锥的截切当截平面与圆锥轴线的相对位置不同时，圆锥表面上便产生五种不同的截交线根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状过锥顶两相交直线PV圆PVθθ=90°PV椭圆αθθ＞α抛物线PVθαθ=α双曲线PVαθ=0°＜α例如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影平面与圆锥相交截交线为椭圆因圆锥前后对称，故椭圆也前后对称。椭圆的长轴为截平面与圆锥前后对称面的交线——正平线，椭圆的短轴是垂直于长轴的正垂线ⅠⅡⅢⅣ正平线正垂线平面与圆锥相交具体步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点1’2’121”2”3’4’345’6’65（2）再作一般点（3）依次光滑连接各点，即得截交线的水平投影和侧面投影（4）补全侧面转向轮廓线3”4”5”6”7’8’787”8”ⅠⅡⅢⅣ正平线正垂线成图

平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线球体的截切平面与球相交球体的截切64例：求半球体截切后的俯视图和左视图求开槽半球的投影水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线2026/6/30652026/6/30成图3小结3.1

平面立体的截交线一般情况下是由直线组成的封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与棱面的交线求截交线的方法：棱线法棱面法3.2曲面立体被截切，截交线的形状取决于截平面与被截立体轴线的相对位置

截交线是截平面与回转体表面的共有线⑵分析截平面与被截立体对投影面的相对位置，以确定截交线的投影特性3.3

解题方法与步骤3.3.1空间及投影分析⑴分析截平面与被截立体的相对位置，以

确定截交线的形状

当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接各点注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影3.3.2求截交线3.3解题方法与步骤3.3.3当单体被多个截平面截切时，要逐个截平面进行截交线的分析与作图。当只有局部被截切时，先按整体被截切求出截交线，然后再取局部第三章立体的投影主讲老师：何金兰第四节

相贯线

概述

利用投影积聚性求相贯线

利用辅助平面法求相贯线小结第四节

相贯线平面立体与回转体相贯回转体与回转体相贯多体相贯1.1相贯的种类两立体相交称相贯，其表面产生的交线叫做相贯线本节主要讨论常用的简单的不同立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法1概述立体表面相交（相贯）形式：外表面相交外表面与内表面相交内表面与内表面相交实实相贯实虚相贯虚虚相贯1.2相贯线的主要性质求作相贯线的实质是找出相贯的两立体表面的若干共有线、共有点的投影★共有性★表面性相贯线位于两立体的表面上相贯线是两立体表面的共有线★封闭性相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线1.3相贯线的求作方法

投影积聚性法辅助平面法辅助球面法2利用投影积聚性求相贯线

所得相贯线为由若干段平面曲线(或直线)所组成的空间折线，每一段都是平面立体的棱面与回转体表面的交线2.1平面立体与回转体相贯的相贯线求作相贯线的性质作图方法

分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确定交线的形状

求出各棱面与回转体表面的截交线

连接各段交线，并判断可见性作图步骤：

空间分析：四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧

投影分析：因相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上2.2回转体与回转体相贯的相贯线求作相贯线的性质相贯线为光滑封闭的空间曲线，是两回转体表面的共有线

若相交两回转体有一个是轴线垂直于投影面的圆柱，则相贯线在该投影面上的投影积聚在圆柱面上。利用回转体表面取点的方法可作出相贯线的其余投影如图，求作正交两圆筒或两圆柱的相贯线两圆筒（圆柱）轴线垂直相交

作图方法（表面取点法）

先找特殊点

作图过程

补充中间点确定交线的范围确定交线的弯曲趋势

如图已知两圆柱的三面投影，求作两者相贯线分析：两者为正交圆柱体，因大圆柱轴线垂直于W面，小圆柱轴线垂直于H面，所以相贯线的侧面投影为圆弧，水平投影为圆，只有正面投影需要求作相贯线为前后左右对称的空间曲线求正交两圆柱的相贯线求正交两圆柱的相贯线（1）求特殊点作图步骤：13421'3'1''3''2''4''2'4'直接定出相贯线的最左点Ⅰ和最右点Ⅲ的三面投影

再求出相贯线的最前点Ⅱ和最后点Ⅳ的三面投影ⅠⅢⅡⅣ求正交两圆柱的相贯线12341'3'1''3''2''4''2'4'（2）求一般点：在已知相贯线的侧面投影图上任取一重影点5″、6″，找出水平投影5、6，然后作出正面投影5′、6′

5''6''565'6'(3)光滑连相贯线：相贯线的正面投影左右、前后对称，后面的相贯线与前面的相贯线重影，只需按顺序光滑连接前面可见部分的各点的投影，即完成作图当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势交线向大圆柱一侧弯交线为两条平面曲线（椭圆）两轴线垂直相交（全贯）两轴线倾斜相交（全贯）两轴线垂直交叉（全贯）圆柱与半球的相贯线辅助平面P辅助平面法的原理：

三面共点原理

作一辅助平面P，使它与回转体都相交，分别求出P平面与两回转体的截交线，再作出两回转体表面截交线的交点，即为两回转体表面的共有点，即相贯线上的点3辅助平面法求相贯线

为简化作图，应正确选择辅助平面选择原则:所选平面与两相交立体表面所产生的截交线的投影是简单易画的圆