黑龙江省2026届高三数学上学期期中联考巩固一试题含解析

黑龙江省2026届高三数学上学期期中联考巩固（一）试题

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答

题卡规定的位置上．

2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，

再涂其它答案．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试

卷上无效．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．

112x

B{x|()3}

1.已知集合A{x|log3(3x2)1}，3，则AB（）

255

A.,1B.(,1)C.(,)D.(1,)

333

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数与对数函数的性质解不等式求出集合A,B，利用交集的运算求出结果.

25

【详解】∵，

Axlog33x21xlog33x2log33x03x23,

33

12x12x1

111

Bx3xx12x1,1，

333

2

∴AB,1.

3

故选：A.

2.命题：x[0,1]，x2x20的否定是（）

A.x(,0)(1,)，x2x20B.x[0,1]，x2x20

C.x(,0)(1,)，x2x20D.x[0,1]，x2x20

【答案】B

【解析】

【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．

【详解】命题“x0,1,x2x20”的否定为“x0,1,x2x20”.

故选：B．

1i

3.已知z，则z（）

1i

A.1B.2C.5D.5

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的商的运算法则可求得zi，进而可求得z，可求z.

1i(1i)212ii2

【详解】zi,zi，所以z1.

1i1i22

故选：A.

2

4.已知向量a1,2,bx,x，则“x2”是“a//b”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量平行的坐标表示列方程求参数值，结合充分、必要性定义判断即可.

2

【详解】因为a1,2,bx,x，a//b，所以2xx20，解得x0或x2，

所以“x2”是“a//b”的充分不必要条件.

故选：A.

5.函数yloga(9ax)（a0且a1）在区间(1,3)上是减函数，则a的取值范围是（）

A.(0,1)B.(1,9)C.(1,3)D.(1,3]

【答案】D

【解析】

a1

【分析】设t9ax，即可判断t9ax的单调性，结合对数型复合函数的单调性，得到，

93a0

解得即可.

【详解】设t9ax，则ylogat，

a0且a1，t9ax为减函数，

若函数yloga(9ax)在区间(1,3)上是减函数，

则需ylogat是增函数且x(1,3)时t9ax0恒成立，

a1

，解得1<a£3，即a的取值范围是(1,3].

93a0

故选：D.

6.已知实数x，y满足2x3y，则下列不等式一定成立的是（）

A.xy2xyB.(xy)(xy)0

C.0xy1D.xyxy

【答案】B

【解析】

ln2

【分析】根据已知得yx，即有x,y同号或xy0，结合不等式的性质判断各项的正误.

ln3

ln2ln2

【详解】两边取对得xln2yln3，则yx且01，即x,y同号或xy0，

ln3ln3

所以，当x,y0时，xy2xy不成立，A错；

ln2

由(xy)(xy)x2y2x2[1()2]0，B对；

ln3

ln2ln3

由xyx2，若x2时，xy1，C错；

ln3ln2

ln2ln2ln2

由xy1x，且xyx2|x||x|，

ln3ln3ln3

ln2ln2

当|x|时，|1||x|，此时xyxy，D错.

ln3ln3

故选：B

7.已知函数fx2sinx（0，），满足f03，将函数fx的图象向右平移

26

3

个单位得到函数gx的图象，若gx的图象关于直线x对称，则的取值可以为（）

4

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

由f03，求得fx2sinx，进而得gx2sinx，再结合三角函数的

363

7

性质，求得k，kZ，即可求解.

126

3

【详解】因为f03，即fx2sin3，所以sin，

2

又因为，所以，所以fx2sinx，

233

函数fx的图象向右平移个单位得到gx2sinx，

663

33

gx的图象关于直线x对称，k，kZ，

44632

7

即k，kZ，令k1，得2.

126

故选：B.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，熟记三角函数的

图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2logx1,x(1,4]

2

8.定义在(,4]上的函数f(x)满足：f(x)1，若函数g(x)f(x)a(4x)恰

f(x3),x(,1]

2

有3个零点，则实数a的取值范围是（）

12111112

A.,B.,C.,D.,

33636333

【答案】C

【解析】

【分析】由解析式画出fx的图象，g(x)f(x)a(4x)恰有3个零点转化为f(x)的图象和直线

ya(4x)恰有3个交点，结合图象找到临界情况即可得出a的范围.

2logx1,x(1,4]

2

【详解】由题意作出f(x)1的大致图象如图中曲线所示：

f(x3),x(,1]

2

g(x)f(x)a(4x)恰有3个零点，f(x)的图象和直线ya(4x)恰有3个交点，

ya(4x)过定点(4,0)，

11

当直线过点(2,1)时，此时斜率为a，

246

11

当直线过点(1,1)时，此时斜率为a，

143

1111

结合图象可知当a，即a时，函数f(x)的图象和直线ya(4x)恰有3个交点，即

3663

11

a,.

63

故选：C

.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

a

9.已知函数fxax1(a0，且a1)，若fx在0,1上的最大值为M，最小值为N，且MN，

2

则实数a的值可以是（）

123

A.B.C.D.2

232

【答案】AC

【解析】

【分析】由a的范围讨论单调性，确定最值即可求解；

x1

【详解】当a1时，fxa单调递增，此时Ma2，Na，

a3

所以MNa2a，解得a，

22

x1

当0a1时，fxa单调递减，此时Ma，Na2，

a1

所以MNaa2，解得a，

22

13

所以实数a的值可以是或，

22

故选：AC.

10.如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），h（单位：m）

表示在时间t（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点P距离地平面50m.最低点Q距

离地平面10m.入口处M距离地平面20m.当t4s时，过山车到达最高点P，t10s时，过山车到达最低

π

点Q.设htAsintBA0,0,，下列结论正确的是（）

2

A.函数ht的最小正周期为12

π

B.

6

C.t14s时，过山车距离地平面40m

D.一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意抽象出函数的最值，列式求A,B，根据周期求，最后根据h020求，再根据函

数的解析式判断CD.

T

【详解】由题意可知，周期T满足1046，得T12，

2

2πAB50

所以12，得，又，解得A20，B30.

6AB10

π1π

所以ht20sint30，又h020，即20sin3020，得sin，因为，

622

πππ

所以，所以ht20sint30.

666

π

对于A，T12，A正确；对于B，，B错误；

6

πππ

对于C，h1420sin143020sin3040，C正确；

666

ππππ1

对于D，由ht20，得20sint3020，即sint，

66662

7πππ11π

2kπt2kπ，kZ，解得812kt1212k，kZ，

6666

所以一个周期内过山车距离底面低于20m的时间是1212k812k4s，D正确.

故选：ACD.

31

11.已知函数fx的定义域为Ixx0，对于xI，都有fxf3f，则（）

xx

3

A.f3

2

B.函数f3x的图象关于点0,3中心对称

1

C.函数f3x的图象关于直线x对称

2

2025

D.f3i3039

i0

【答案】ACD

【解析】

【分析】令x1求出f3可判断A；利用f3xf3x3，可判断B；利用f3xf31x，

x3xxx2

可判断C；设gxf3fg1x，又gxf33gx，得f3f3，

3x

可判断D．

【详解】对于A，令x1，则f1f33f1，可得2f13，

33

解得f1,f3，故A正确；

22

1xx

对于B，由fxf3，可得f3f33，

x

x3

所以函数f3的图象关于点0,中心对称，故B错误；

2

3x1x

对于C，由fxf可得f3f3，

x

1

所以函数f3x的图象关于直线x对称，故C正确；

2

x3

对于D，设gxf3fg1x①，

3x

x1

又gxf33f3gx②，由①②可得g1x3gx，

3x

所以g1x3gx，即gx23gx133gxgx，

3

所以f3xf3x2，所以f3f33f35f32025，

2

32025

f1f32f34f32024，所以f3i3039，故D正确．

2i0

故选：ACD．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.设6m2，6n3，则m2n22mn___________

【答案】1

【解析】

【分析】根据题意，求得，，得，得解.

mlog62nlog63mn1

【详解】由题意可得，，，

mlog62nlog63

mnlog62log63log661，

2

m2n22mnmn1.

故答案为：1.

13.已知关于x的不等式ax23x20的解集为{x|x1或xb}(b1).并且m0，n0且满足

ab

1时，有2mnk2k2恒成立，k的取值范围为________.

mn

【答案】[3,2]

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解，结合韦达定理求出a,b，再利用1的妙用求出最小值，进而求解一元二

次不等式即可.

【详解】由不等式ax23x20的解集为{x|x1或xb}(b1)，

3

1b

aa1

得1和b是方程ax23x20的两个实数根且a0，则，解得，

2b2

1b

a

1212n4m

于是m0，n0且1，则2mn(2mn)()4

mnmnmn

n4mn4m

428，当且仅当，即n2m4时取等号，

mnmn

依题意，k2k28，解得3k2，所以k的取值范围为[3,2].

故答案为：[3,2]

2x112xππ2

14.已知函数fxeesinx1，则不等式fx2x3f2x2的解集为

24

______．

【答案】2,1

【解析】

【分析】先证明函数的对称中心，即fxf1x2，化简不等式得到fx22x3fx1，

然后由导函数得到函数单调性，然后由单调性得到不等式，就不等式即可.

12x2x1ππ

【详解】f1xeesinx1,

24

则fxf1x2，即f1x2fx，

∴2f2xfx1，

∵fx22x3f2x2，

∴fx22x32f2xfx1，

2x112xπππ2x112xππ

∵fx2e2ecosx22e2e40，

22422

即函数fx在R上单调递增，

∴x22x3x1，即x2x20，∴x2x10，

即2x1.

故答案为：2,1.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知函数fxax2ax1.

（1）若fx0的解集为{x|bx2}，求ab的值.

（2）若a>0，解关于x的不等式fxx.

3

【答案】（1）

2

1

（2）当0a1时，原不等式的解集为x|1x；

a

当a1时，原不等式的解集为；

1

当a1时，原不等式的解集为x|x1.

a

【解析】

【分析】（1）可知x2是方程ax2ax10的解，代入可求出a，再解一元二次不等式可求出b的值，

即可得出答案；

（2）不等式fxx变形可得x1ax10，则讨论0a1;a1;a1三种情况，解不等式得到

答案.

【小问1详解】

由题意可知，x2是方程ax2ax10的解，将x2代入，可得4a2a10，

111

所以a，原不等式为x2x10，即为x2x10，所以原不等式的解集为

222

{x|1x2}，所以b1．

13

所以ab1.

22

【小问2详解】

由不等式fxx，可得ax2a1x10，

1

即x1ax10，故对应方程x1ax10的两根分别是x1或x，

a

11

当0a1时，1，原不等式的解集为x|1x；

aa

1

当a1时，1，原不等式的解集为；

a

11

当a1时，1，原不等式的解集为x|x1；

aa

综上所述，

1

当0a1时，原不等式的解集为x|1x；

a

当a1时，原不等式的解集为；

1

当a1时，原不等式的解集为x|x1.

a

ππ

16.已知函数f(x)sinxsinx3sinxcosx的最小正周期为π.

44

（1）求f(x)的解析式；

（2）在ABC中，O为ABC的外心，角A所对边的长为a，若ABC的外接圆半径为1，且

sin2Asin2B2cos2C0，求ABC面积的最大值.

π

【答案】（1）fxsin2x

6

（2）25

5

【解析】

【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用周期计算即可得；

（2）利用正弦定理及同角三角函数基本关系可得a2b22c28，再设出BC边上的ADh及BDx，

可得、、的关系，再利用面积公式可用、表示出2，结合二次函数性质计算即可得解.

hxaaxS△ABC

【小问1详解】

223

f(x)(cosxsinx)(cosxsinx)sin2x

222

13

cos2xsin2xsin2x

22

13π

cos2xsin2xsin2x，

226

2π

f(x)的最小正周期为π，π，1，

2

π

f(x)sin2x；

6

【小问2详解】

已知角A所对边的长为a，设角B，C所对边的长为b，c，

abc

ABC的外接圆半径为1，sinA,sinB,sinC，

222

sin2Asin2B2cos2C0，sin2Asin2B22sin2C0，

222

abc222

220，化简得ab2c8，

222

设BC边上的高为AD，垂足为D，令ADh,BDx，则CDax，

则a2b22c2a2h2(ax)22h22x28，

1

h22a23x22ax8，

3

2

2122122212152

SABCaha2a3x2ax8a3xaa8

4121233

2

12525424252121444

aa8aaa，

123365365255

25215215

S，当且仅当a,x时取等，

5515

25

ABC面积的最大值为.

5

17.由m个正整数构成的有限集Ma1,a2,a3,,am（其中a1a2a3am），记

PMa1a2am，特别规定P0，若集合M满足：对任意的正整数kPM，都存在集

合M的两个子集A,B，使得kPAPB成立，则称集合M为“满集”.

（1）分别判断集合M11,2与M22,3是否为“满集”，请说明理由；

（2）若集合M为“满集”，求a1的值.

【答案】（1）M1是“满集”，M2不是“满集”；理由见解析

（2）1

【解析】

【分析】（1）由集合M11,2，M22,3，根据集合“满集”的定义，逐个判定，即可求解（2）设

k0PM，由题意得到存在集合M的两个子集A,B，使得kPAPB成立，得出PAk0或

PAk01，分PAk0和PAk01，两种情况讨论，进而求得a1的值.

【小问1详解】

解：由集合M11,2，可得PM13，且M1的子集为，1，2，1,2，

当k1时，kP1P；当k2时，kP2P；

当k3时，kP1,2P，所以集合M11,2是“满集”；

又由M22,3，可得PM25，且M2的子集为，2，3，2,3，

当k4时，不存在集合M的两个子集A,B，使得4PAPB成立，

所以M22,3不是“满集”.

【小问2详解】

解：设k0PM，因为集合M为“满集”对任意的正整数kPM，

都存在集合M的两个子集A,B，使得kPAPB成立，

所以k01PAPB，且PB0，所以PAk0或PAk01.

当PAk0时，PB1，此时a11；

当PAk01时，PB0，

因为a1a2a3am，所以a2am为最大k01，此时a11，

综上可得：a11.

18.记f(x)sinx,g(x)cosx,F(x)f2n(x)g2n(x),nN*.

（1）判断并证明F(x)的奇偶性；

n

（2）将的最小值记为，若恒成立，求的最小整数值.

F(x)an(2i1)aimmm0

i1

【答案】（1）函数F(x)为偶函数，证明见解析

（2）10

【解析】

【分析】（1）借助函数奇偶性定义与三角函数诱导公式计算即可得；

（2）利用换元法结合导数讨论可得函数F(x)的单调性，即可得其最小值，从而可得an，再利用错位相减

法计算可得Sn，即可得解.

【小问1详解】

函数F(x)为偶函数，理由如下：

F(x)(sinx)2n(cosx)2n，定义域为R，

有F(x)[sin(x)]2n[cos(x)]2n(sinx)2n(cosx)2nF(x)，

所以函数F(x)为偶函数；

【小问2详解】

F(x)(sinx)2n(cosx)2n，

当n1时，Fx1，a11，

当n2时，令tsin2x，则t[0,1]，cos2x1t，F(x)tn(1t)n,

nnn1n1

设H(t)t(1t),t[0,1]，则H(t)nt(1t)，

1

当0t时，1tt，又nN*，(1t)n1tn1，

2

1

H(t)0，H(t)在0,上单调递减；

2

1

当t1时，1tt，又nN*，(1t)n1tn1，

2

1

H(t)0，H(t)在,1上单调递增，

2

n1

111

当t时，H(t)取最小值，最小值为H，

222

n1

1，当时，亦适合上式，

ann1

2

n1

1.

an

2

n

令，

Sn(2i1)ai

i1

012n2n1

11111，

Sn357(2n1)(2n1)

22222

123n1n

111111，

Sn357(2n1)(2n1)

222222

012n1n

111111

则Sn32(2n1)

222222

11

1n

22n1142n12n5

32(2n1)55，

1nn

1222

2

2n5

S1010，

n2n1

所以m10，即m的最小整数值m0为10.

fxb

19.对于一个函数fx和一个点Ma,b，令函数sx，若x0是sx的极值点，则称点

xa

Px0,fx0是M在fx的“边界点”．

x

（1）对于函数fxe，证明：对于点M1,0，存在点P，使得点P是M在fx的“边界点”．

142

（2）对于函数fx