黑龙江省2025届高三数学上学期期中联考巩固二试题含解析

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答

题卡规定的位置上.

2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，

再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷

上无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.若集合A{x|2mx30,mR}，其中2A且1A，则实数m的取值范围是（）

33333333

A.,B.,C.,D.,

42424242

【答案】A

【解析】

【分析】借助元素与集合的关系计算即可得.

2m23033

【详解】由题意可得，解得m.

2m13042

故选：A.

2zi

2.若复数z满足3i，则z（）

z

A.1iB.1iC.1iD.1i

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数除法运算，即可求得答案.

2zi

【详解】由3i，

z

2i2i1i22i

得z1i，

1i1i1i2

故选：A

3.已知tan3，则sin2sin2（）

2233

A.B.C.D.

3322

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦的二倍角公式、弦化切可得答案.

sin22sincostan22tan3

【详解】sin2sin2.

sin2cos2tan212

故选：C.

2x3

4.已知xR，则“x23x20”是“1”的（）

x1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】分别求得两个不等式解集，由集合间关系即可判断.

【详解】由x23x20可得：1x2，

2x32x3

由1可得：10，

x1x1

x2

即0，

x1

x2x10

即，可得1x2，

x10

又x1x2x1x2

2x3

所以“x23x20”是“1”必要不充分条件，

x1

故选：B

1

5.若正数a，b满足ab2ab3，则ab的最小值为（）

2

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】

11

【分析】利用2ab322ab3，可求ab最小值.

22

11

【详解】因为a,b为正数，所以ab2ab322ab32ab3，

22

1

当且仅当2ab时取等号，所以(ab)22ab30，

2

所以(ab3)(ab1)0，

所以ab3或ab1（舍去），

3

所以ab9，当且仅当b,a6时等号成立.

2

故选：C.

1

fx

6.已知函数2在0,2上单调，则实数a的取值范围为（）

log2xax3

A.,0B.,02,

C.,222,D.0,22,22

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数函数的性质可得不等式x2ax31在0,2上恒成立，利用分离参数法和基本不等式

可得a22.再结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解实数a的取值范围.

2

【详解】由题意可知，log2xax30在0,2上恒成立，

所以x2ax31在0,2上恒成立，

2

即ax在0,2上恒成立.

x

22

又由基本不等式可得x2x22，当且仅当x2时，取得等号，

xx

所以a22.

因为函数fx在0,2上单调，

2

所以gxlog2xax3在0,2上单调，

由复合函数单调性可知yx2ax3在0,2上单调，

aa

所以结合二次函数的性质可得：0或2，解得a0或a4.

22

综上所述，实数a的取值范围为a0.

故选：A.

7.已知函数yfx的定义域为R，且fxfx，若函数yfx的图象与函数

xx

ylog222的图象有交点，且交点个数为奇数，则f0（）

A.1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

xx

【分析】易证明ylog222为偶函数，根据题意，两个函数的交点必定是原点，据此求解.

xx

【详解】令ygxlog222，其定义域为R，

xx

因为gxlog222gx，所以gx为偶函数，

由题易知fx也为偶函数，

因为两个函数图象的交点个数为奇数，

所以两个函数的交点，必有一个是原点，

00

故f0g0log2221.

故选：C.

3111

8.已知a,bcos,c4sin，则（）

3244

A.cbaB.bacC.abcD.acb

【答案】A

【解析】

c11

【分析】由4tan结合三角函数的性质可得cb;构造函数fxcosxx21,x0,,利用

b42

导数可得ba,即可得解.

【详解】[方法一]：构造函数

π

因为当x0,,xtanx

2

c1c

故4tan1，故1，所以cb；

b4b

1

设f(x)cosxx21,x(0,)，

2

f(x)sinxx0，所以f(x)在(0,)单调递增，

1131

故ff(0)=0，所以cos0，

4432

所以ba，所以cba，故选A

[方法二]：不等式放缩

π

因为当x0,,sinxx，

2

2

1121131

取x=得：cos12sin12，故ba

848832

11114

4sincos17sin，其中0,，且sin,cos

44421717

1111

当4sincos17时，，及

444224

1411

此时sincos，cossin

417417

11411

故cossin4sin，故bc

4171744

所以ba，所以cba，故选A

[方法三]：泰勒展开

310.25210.2520.254

设x0.25，则a1，bcos1，

322424!

1

sin24

10.250.25

c4sin41，计算得cba，故选A.

413!5!

4

[方法四]：构造函数

c1π11c

因为4tan，因为当x0,,sinxxtanx，所以tan,即1，所以cb；设

b4244b

1

f(x)cosxx21,x(0,)，f(x)sinxx0，所以f(x)在(0,)单调递增，则

2

1131

ff(0)=0,所以cos0，所以ba,所以cba，

4432

故选：A．

[方法五]：【最优解】不等式放缩

c1π11c

因为4tan，因为当x0,,sinxxtanx，所以tan,即1，所以cb；因为当

b4244b

2

π1121131

x0,,sinxx，取x=得cos12sin12，故ba，所以cba．

2848832

故选：A．

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；

π

方法5：利用二倍角公式以及不等式x0,,sinxxtanx放缩，即可得出大小关系，属于最优解．

2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

π

9.已知函数fxsinx0，则下列说法正确的是（）

6

4π7π

A.当3时，fx在,上单调递增

99

π

B.若fxfx2，且xx，则函数fx的最小正周期为π

1212min2

π

C.若fx的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的最小值为3

12

2329

D.若fx在0,2π上恰有4个零点，则的取值范围为,

1212

【答案】ABD

【解析】

Tπ

【分析】对于A，由复合函数单调性即可判断；对于B，直接可得，由此即可判断；对于C，由题意

22

πππ

得kπ,kZ结合的范围即可判断；对于D，根据0，x0,2π，得到

1262

πππ

x,2π，进一步列出不等式组即可求解.

666

4π7ππ3π5π

【详解】对于A，当3时，若x,，则3x,，

99622

3π5π4π7π

由于ysinx在,上单调递增，故fx在,上单调递增；故A正确；

2299

πTπ

对于B，若fxfx2，且xx，则当且仅当Tπ，故B正确；

1212min222

π

对于C，若fx的图象向左平移个单位长度后，

12

ππ

得到的图象所对应的函数表达式为：f1xsinx0，

126

πππ

若fx的图象关于y轴对称，则kπ,kZ412k,kZ，

11262

注意到0，

所以当且仅当k0时，的最小值为4，故C错误；

πππ

对于D，0，x0,2π，得到x,2π，

666

若fx在0,2π上恰有4个零点，

π

2π4π

623292329

则当且仅当，解得，即的取值范围为,，故D正确.

π12121212

2π<5π

6

故选：ABD.

πππ

【点睛】方法点睛：正弦型函数的零点问题，关键在于利用x0,2π的范围求得x,2π，

666

进而结合正弦函数的图象特征求得的取值范围.

3

10.定义在R上的函数fx满足fx2fxf2,fx6fx,f1，则（）

2

A.fx是周期函数

Bf20240

.

C.fx的图象关于直线x2k1kZ对称

20241

D.kfk2024

k12

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A，由已知，可得fx4fx，则fx的周期为4，即可判断；对于B，令x0，可

得f00，则f2024f04506f00，即可判断；对于C，由已知，可得函数fx关

于x3对称，fx关于x1对称，则的fx的图象关于直线x2k1kZ对称，即可判断；由已

知，得f2f00，fx2fx0，代值可推得

20241

kfk1234567820212022202320242024，即可判

k12

断.

【详解】由fx2fxf2可得fx4fx2f2，

所以fx4fx，所以fx的周期为4，故A正确；

由fx2fxf2，令x0，

则f2f0f2，所以f00，

又f2024f04506f00，故B正确；

由fx6fx，可知函数fx关于x3对称，

又fx的周期为4，则fx6fx2，

所以fx2fx，即函数fx关于x1对称，

则fx的图象关于直线x2k1kZ对称，故C正确；

由f00，且fx关于x1对称，

则f2f00，所以fx2fx0，

3151

又ff1，且ff0，

2222

5173

则ff1，又ff0，

2222

7

所以f1，

2

20241

kfk123456782021202220232024

k12

45062024，故D错误.

故选：ABC.

2

x2x1,x02

11.已知函数fx，若关于x的方程fxafxa0有四个不同的实数

lnx1,x0

解，它们从小到大依次记为x1，x2，x3，x4，则（）

≤

A.0x1x21B.1x3e

1

C.0xxxxe2D.a0

12342

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据给定条件，探求出函数f(x)的性质，作出函数图象，令f(x)t，gtt2ata,利用

二次函数根与系数的关系解决即可.

【详解】令fxt，则t2ata0，

当x0时，fxx22x1，在x,1单调递减，fx0,，

在x1,0单调递增，fx0,1；

当x0时，fxlnx1，在x0,e单调递减，fx0,，

在xe,单调递增，fx0,，作出f(x)的图象如下：

2

2

若关于x的方程fxafxa0有四个不同的实数解，结合图像可知，tata0在t0,1

只有一个解，

记gtt2ata，

①当g(t)有两个零点时，则一个零点为负数，另一个零点在0,1，

Δ0a24a0

1

由题意g00，有a0，解得a0；

2

g1012a0

a

②当g(t)有且仅有一个零点时，0，即a0或a4时，需要01才行，无解，

2

1

所以综上①②，a的取值范围是a0，故D正确.

2

≤

因为0t1，由0fx31得01lnx31，所以1x3e，故B正确；

2

又x1,x22,0，根据韦达定理可知fxx2x1t中x1x22，

2

x1x21t0,1，lnx31lnx41lnx31lnx41x3x4e，

所以2，故C错误，A正确.

0x1x2x3x4e

故选：ABD

【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形

结合推理作答.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知是第四象限的角，则点Ptan,cos在第______象限．

【答案】二

【解析】

【分析】根据三角函数在各象限的符号确定即可.

【详解】因为是第四象限的角，

所以tan0,cos0，

故点Ptan,cos在第二象限.

故答案为：二

13.已知数列的前项和为，满足2，则_____*.

annSnSnn3n2annN

6,n1

【答案】

2n2,n2

【解析】

【分析】取n1得到a1，n2时，根据anSnSn1计算得到答案.

【详解】当时，2；

n1a1S113126

当时，22，

n2Sn1n13n12nn

22

所以anSnSn1n3n2nn2n2，

代入n1得a121246；

6,n1

an.

2n2,n2

6,n1

故答案为：

2n2,n2

x2

14.直线axby10a0,b0经过函数fxlog3x1图象的对称中心，则

4xx2

21

的最小值为__________.

ab

【答案】9

【解析】

【分析】根据函数单调性分析可知函数fx的对称中心为2,1，进而可得2ab1，结合乘“1”法求

最值.

x2

【详解】对于函数fxlog3x1，

4xx2

x

0

令4x，解得0x4且x2，可知函数fx的定义域为0,22,4，

x20

x24x2

因为fxf4xlog3x1log34x1

4xx2x2x

x4x22

log3log322，

4xxx2x2

可知函数fx的对称中心为2,1，

由题意可知：直线axby10a0,b0经过点2,1，

则2ab10，即2ab1，

21212b2a2b2a

可得2ab5529，

abababab

2b2a1

当且仅当，即ab时，等号成立，

ab3

21

所以的最小值为9.

ab

故答案为：9.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量

π2π

m(2sinA,3sinA3cosA),n(cosA,cosAsinA),f(A)mn,A,.

63

（1）求函数f(A)的最小值；

6

（2）若f(A)0,a3,sinBsinC，求ABC的面积.

2

【答案】（1）2

3

（2）S

ABC4

【解析】

π

【分析】（1）由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得f(x)2sin(2A)，再结合三角函数的

3

值域计算即可求得；

π

（2）由题中条件计算可得A，再由正弦定理得bc6，由余弦定理可得bc1，再由三角形的面

3

积公式计算即可求得．

【小问1详解】

f(x)mn2sinAcosA(3sinA3cosA)(cosAsinA)

π

sin2A3(cos2Asin2A)sin2A3cos2A2sin(2A)

3

π2ππ2π5π

因为A,，所以2A,，

63333

π3π7π

所以当2A，即A时，f(x)有最小值212；

3212

【小问2详解】

ππ

因为fA0，所以2sin(2A)0，所以2Akπ,kZ，

33

π2π

因为A,π，所以A，

633

a3

2R2

由正弦定理得：sinA3，

2

bbcc

所以sinB，sinC，

2R22R2

6bc6

又因为sinBsinC，所以，

2222

所以bc6，

由余弦定理有：a2b2c22bccosA，

即3(bc)23bc，所以bc1，

1133

所以SbcsinA1．

△ABC2224

16.已知函数fxex，其中e是自然对数的底数．

（1）若f(x)gxhx，其中gx为偶函数，hx为奇函数，求函数gx的解析式以及最小值；

（2）若yf(x)的图像与直线l:ykx1相切，求实数k的值.

exex

【答案】（1）gx，最小值1

2

（2）1

【解析】

【分析】（1）通过函数奇偶性，构造方程组即可解析式，再通过基本不等式即可求最小值；

kex0

（2）设切点坐标x0，由导数的几何意义得到求解即可.

x0,ex

0

e1x01

【小问1详解】

函数fxex的定义域为R.

由f(x)gxhx及gx为偶函数，hx为奇函数，

得f(x)gxhxgxhx，

f(x)f(x)exex

两式相加，解得：gx

22

因为函数fxex的定义域为R，

所以ex0，ex0，

exex

所以gxexex1，

2

当且仅当exex，即x0时等号成立.

故当x0时，函数gx的最小值为1.

【小问2详解】

xx0

由条件得fxe，设两图像切点为x0,e，

x0x0x0x0

则l:yeexx0，即yexe1x0，

kex0

所以

x0

e1x01

令m(x)ex1x，则m(x)ex1x1xex，

当x0时，m(x)0，m(x)递减，

当x0时，m(x)0，m(x)递增，

当x0时，m(0)m(x)max1，

又mx01，所以x00，

所以kex01.

17.已知集合Axx23xb0，Bxx2x23x40．

ð

（1）当b2时，求AB，BA；

（2）若b4时，存在集合M，使AMB，求出所有的集合M；

ð

（3）集合A,B能否满足RBA？若能，求出实数b的取值范围；若不能，请说明理由．

ð

【答案】（1）AB4,1,2，BA4

（2）4，1，2，4,1，{-4,2}，1,2

9

（3）能，bb2

4

【解析】

【分析】（1）先求出集合A,B，再根据并集，补集的定义求解即可；

（2）由题设可得M是非空集合，且M是B的真子集，进而求解即可；

（3）由题设可得AB，进而分A和A讨论求解即可.

【小问1详解】

当b2时，Axx23x201,2，

Bxx2x1x404,1,2，

ð

所以AB4,1,2，BA4．

【小问2详解】

当b4时，Axx23x40，

2

又因为Δ3440，所以A，

因为AMB（M是非空集合，且M是B的真子集），B4,1,2，

所以这样的集合M共有6个：4，1，2，4,1，{-4,2}，1,2．

【小问3详解】

ð

能，由RBA，可得AB，

9

若A，此时由Δ94b0，可得b；

4

若A，由（1）知B4,1,2，

①当4A时，1612b0，即b28，

2

此时Axx3x2804,7，A不是B的一个子集，舍去；

②当1A时，13b0，即b2，

2

此时Axx3x201,2，此时A是B的一个子集；

③当2A时，46b0，即b2，

2

此时Axx3x201,2，此时A是B的一个子集．

ð

综上可得，当A或A1,2时，满足RBA，

9

此时实数b的取值范围为bb2．

4

18.已知函数fxax2a2xlnx1aR.

（1）当a1时，求fx的极值；

fx1fx2

（2）若x1,x20,，当x1x2时，2恒成立，求a的取值范围.

x1x2

1

【答案】（1）f(x)的极大值为ln2,f(x)的极小值为1．

4

（2）[08]．

,

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，进而可得函数单调性，根据导数与极值的关系，即可求得答案；

fx1fx2

（2）将2化为fx12x1fx22x2，由此令m(x)f(x)2x，则

x1x2

m(x)ax2axlnx1，则原问题转化为m(x)在(0,)上单调递增，继而结合导数与函数单调性的关系，

即可求解．

【小问1详解】

当a1时，f(x)x23xlnx1，定义域为(0,)，

12x23x1

则fx2x3，

xx

11

令fx0，则0x或x1；令fx0，则x1；

22

11

则f(x)在(0,)，(1,)上单调递增，在(,1)上单调递减，

22

11311

故函数f(x)的极大值为f()ln1ln2，

24224

f(x)的极小值为f(1)13ln111．

【小问2详解】

不妨设0x1x2，

fx1fx2

因为2对一切0x1x2都成立，

x1x2

所以fx12x1fx22x2对一切0x1x2都成立，

令m(x)f(x)2x，则m(x)ax2axlnx1，定义域为(0,)，

则原问题转化为m(x)在(0,)上单调递增；

12ax2ax1

又m(x)2axa，

xx

1

当a0时，m(x)0，m(x)在(0,)上单调递增；

x

当a0时，需m(x)0在(0,)上恒成立，即2ax2ax10在(0,)上恒成立，

1

对于y2ax2ax1，图象过定点(0,1)，对称轴为x，

4

故要使得2ax2ax10在(0,)上恒成立，

11

需满足a0且2a()2a10，

44

解得0a8，

综合可得0a8，即a的取值范围为[0,8]．

fx1fx2

【点睛】关键点点睛：由2对一切0x1x2都成立，转化为