2025-2026学年高二数学下学期期末模拟考试一含解析人教A版

2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（一）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

答案速查表

12345

DABBB

678910

DBDACDBCD

1112131415

（1）列联表见

3

ABD32=02解析，18

36419

（2）有关

�−�−�

16171819

19

2（1）（2）

（1）=（1）+2=127（1）见解析

41

(+2)�()=1，证e

（2）（2）（i）证明见解�（2）[0,]

���

证明见解析析（ii）明见�解析（3）证明（3）证明见解析

6���−�

���见解析

第一部分选择题（共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合={0,1,2,3,4}，={1+3}，则=（）

A.{1�3}B.�{0,1�,∣2�,≥3}C�.∩{�1,2,3}D.{3,4}

【答案】D�∣−≤�≤

【解析】由={0,1,2,3,4}，={1+3}，

又1+32�.732，��∣�≥

∴=≈{3,4}.

【点�拨∩】�本题考查集合的交集运算，正确估算无理数的大小是解题的关键.

2.复数2i对应的点位于（）

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】由题意，复数2i=2i(1i)=1+i，∴复数对应的点(1,1)，故选A.

1+i(1+i)(1i)

−

【点拨】本题考查复数的除法运算及−复数的几何意义，属于基础题.

第1页，共11页

6

3.已知>0，若2+的展开式中，常数项等于240，则=（）

�

A.3���B.2C.6�D.4

【答案】B

26123

【解析】由二项展开式的通项公式可得+1=C6()=C6，

�

�−����−�

令123=0，解得=4，������

44

即常数−项为�5=C6=�240，解得=2.

故选：B���

【点拨】本题考查二项式定理中特定项的求解，掌握通项公式是解题的关键.

4.已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的

情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则

解答出第二问的概率为（）

A.0.46B.0.22C.0.18D.0.04

【答案】B

【解析】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件，

由题意可得：()=30=0.6,()=0.1,()=0.7，

50��

则()=0.4,�(�)=0.3，��∣���∣�

∴�(�)=()�(�∣�)+()()=0.60.3+0.40.1=0.22.

故选�：�B����∣�����∣�××

【点拨】本题考查全概率公式的应用，正确识别事件并套用公式是解题的关键.

5.已知点在曲线:=1(>0)上，点在直线2+=0上，则,两点距离最小值为

（）����������

A.10B.210C.5D.25

5555

【答案】B

1'111

【解析】:=,>0,=2,>0，设0,，过的切线斜率为2，当且仅当切线与

00

�����−������1−�2

2+=0平行时，,两点距离最小值为两平行线的距离.由2=2，解得0=，此时

02

�

�2�,2，最小距�离为�=22=210，故选B.−−�

255

�【点拨】本题考查利用导数�求曲线上一点到直线距离的最小值，利用平行线间的距离求解是常用技巧.

6.在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同

的着色方法共有（）

第2页，共11页

A.1450种B.1480种C.1520种D.1560种

【答案】D

【解析】先涂3区域，共有6种涂法，然后涂1区域，共有5种涂法，

112

然后涂5区域，若1和5区域同色，一共的涂法种数为A6A5(4+A4)=480；

1112

若1和5区不同色，一共的涂法种数为A6A5A4(3+A3)=10×80.

故一共的涂色总数为480+1080=1560.×

故选：D.

【点拨】本题考查排列组合在涂色问题中的应用，采用分步与分类相结合的方法是解题的关键.

7.等差数列{}的前项和为，且3=9,6=36，则9为（）

A.45���B.81����C.90�D.162

【答案】B

【解析】∵等差数列{}的前项和为，

∴3,63,96�也�成等差数�列，即9�,�27,936成等差数列，

∴�2�27−=�9+�9−3�69=81，�−

故选：×B.�−⇒�

【点拨】本题考查等差数列前项和的性质，利用片段和成等差数列可快速求解.

8.已知=20222024,=2023�2023,=20242022，则,,的大小关系为（）

A.�>>�B.�>>��C.�>>D.>>

【答案】�D�����������

ln2022

【解析】∵ln=2024ln2022=2023，

ln2023ln2023ln2023

�2024

�

构造函数()=ln(e2)，'()=(+1)ln，

+1(+1)2

��−��

令()=�(�+1)��ln≥，则�'(�)=l�n�<0，

2

∴�(�)在�[e,+−�)上�单减，��−�

22

∴�(�)(e)=∞1e<0，

'2

故�(�)≤<�0，∴(−)在[e,+)上单减，

ln2022

∴�（�2022）>（�2�023）>0l∞n=2023=（2022）>1ln>ln>，

lnln2023（2023）

�2024�

��ln2023⇒��⇒��⇒��

∵ln=2023ln2023=2022，

ln2022ln2024ln2024

�2023

�

构造函数()=ln(e2)，'()=(1)ln，

1(1)2

��−−��

ℎ��−�≥ℎ���−

第3页，共11页

令()=(1)ln，则'()=ln<0，

2

∴�(�)在�[−e,+−�)上�单减，��−�

22

∴�(�)(e)=1∞e<0，

'2

故��()≤<�0，∴(−)在[e,+)上单减，

ln2023

∴ℎ（�2023）>（ℎ2�024）>0l∞n=2022=（2023）>1ln>ln>，

lnln2024（2024）

�2023ℎ

故ℎ>>.ℎ⇒�ℎ⇒��⇒��

故选�：D�.�

【点拨】本题考查利用导数构造函数比较大小，通过取对数并构造合适的函数是解决此类问题的通法.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目

要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.假设其坐公交车用时和骑自行车用时均服从正态分

布，密度曲线如下图所示，则（）��

A.()<()

B.�(�)<�(�)

C.�如果�某天�有�34min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择坐公交车

D.如果某天有38min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择骑自行车

【答案】ACD

【解析】对于A，()=30,()=34，∴()<()，故A正确；

对于B，的密度�曲�线矮胖，�数�据分散，的�密�度曲�线瘦�高，数据集中，∴()>()，故B错误；

对于C，显然(34)>1=(34)，则当有34min可用时，坐公交车不迟到的概率大，故C正

�2�����

确；��≤��≤

对于D，显然(38)<(38)，则当有38min可用时，骑自行车不迟到的概率大，故D正确；

故选：ACD.��≤��≤

【点拨】本题考查正态分布密度曲线的性质，理解均值决定对称轴位置、方差决定曲线形状是解题的

关键.

2

10.已知函数()=+1，则下列结论正确的是（）

e

��−

�

A.函数(�)�存在三个不同零点

��

第4页，共11页

B.函数()既存在极大值又存在极小值

C.若[,+)时，()=5，则的最大值为2

��maxe2

D.当�∈e<�<∞0时，方�程�()=有且�只有两个实根

【答案】BCD−����

22

【解析】由函数()=+1，可得'()=++2，

ee

��−−��

��

令'()=0，解�得�=1或=2，��

'''

当�<�1时，()�<0−；当�1<<2时，()>0；当>2时，()<0，

∴函�数−()在�(�,1),−(2,+�)单调递�减�，在(1,�2)上单调�递增�，

当=�1，�函数−(∞)取−得极小值∞(1)=e；−

当=2，函数()取得极大值（2）=5，

�−���−e2−

当�时，�(�)+，当�+时，()0，

作出�函→数−∞()的�图�象→，结∞合图象�得→：∞��→

对于A中，�函�数()存在两个不同的零点，∴A不正确；

对于B中，函数�(�)既存在极大值又存在极小值，∴B正确；

对于C中，当[,+)时，()=5，可得2，∴的最大值为2，∴C正确；

��maxe2

对于D中，若方�程∈�()∞=有且�只�有两个实根，�≤�

即=()与=��的图�象有两个不同的交点，可得e<<0，∴D正确.

故选�：B�CD�.��−�

【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值与零点问题，数形结合是解决此类综合问题的有

效方法.

11.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球者都等可能传

给另外三人中的任何一人，则（）

A.第一次球传出后恰好传给丙的概率为1

3

B.第二次球传出后恰好传给丙的概率为2

9

C.第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率为1

3

1

D.球第()次传出后恰好传给丙的概率为1+11

4123�−

∗

【答案】ABD��∈�⋅−

【解析】对于A，第一次球传出后恰好传给丙的概率为1，故A正确；

3

对于B，第二次球传出后恰好传给丙，分为两种情况：甲传给乙，乙传给丙，概率为11=1；甲传给

339

丁，丁传给丙，概率为11=1，∴第二次球传出后恰好传给丙的概率为2，故B正确；×

3399

对于C，第二次球传出后恰×好传给丙，且此球是由乙传出的概率为11=1，故C错误；

339

对于D，设球第次传出后恰好传给丙的概率为，则第次传出×后没有传给丙的概率为1，

����−��

第5页，共11页

∵每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，

∴=(1)1=1+1，

13313

∴��1=−�1�−×1−，��−

4314

又��=−1，−∴��−1−=1，

131412

∴数�列1�是−以1为首项，1为公比的等比数列，

4123

�11

∴1�=−11，即=1−+11，故D正确.

4123�−4123�−

故选�：�−ABD.⋅−��⋅−

【点拨】本题考查离散型随机变量的概率及概率递推数列模型，构造等比数列求通项是解决递推概率

问题的核心技巧.

第二部分非选择题（共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.曲线()=ln+21在点(1,1)处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.

【答案】3��2=�0�−�

1

【解析】由�−(�−)=ln+21，得'()=+2，

∴'（1）=�3，�又（�1）�=−1，���

∴曲�线在点(1,1)�处的切线方程为1=3(1)，即32=0.

【点拨】本题�考查利用导数求曲线的切�线−方程，�熟−练掌握导数�的−几�何−意义是解题的关键.

13.若把满足2+2=2(<<)的正整数组(,,)称为“勾股数组”，则在不大于14的正

整数中，随机选取�3�个不�同的�数�，能�组成“勾股数组�”的�概�率为＿＿＿＿＿＿.

【答案】3

364

3

【解析】由题意可知基本事件的总数为C14=364，

能组成“勾股数组”的有(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13)，共3个，

故所求概率为3.

364

【点拨】本题考查古典概型的概率计算，列举出符合条件的勾股数组是解题的关键.

14.已知定义域为的偶函数()满足(12)=(1+2)，且当[0,1]时，()=，

若将方程()=log�+1||(�)�实数解的�个数−记�为�，则�=＿＿＿�＿∈＿＿.���

∗

【答案】2�����∈�����

【解析】∵�(12)=(1+2)，∴()关于直线=1对称，

又()是偶�函数−，�∴�()=�()，���

∴�(�+2)=(1+(+�1))�=(�1−(�+1))=()=()，

∴�(�)是以�2为周期�的周期函�数−，��−���

当��[0,1]时，()=，

�∈���

第6页，共11页

∵log+1(+1)=1，当>+1时，log+1>1，

在[0,�+�1]上，()的�图象�与=log+�1�的图象有个交点，

又()�与=log�+�1||均为偶函�数，图�象�关于轴对�称，

∴在�[�(+�1),0)�上�也有个交点，�

∴实数解−的�个数=2.�

【点拨】本题考查�函�数的�奇偶性、周期性及函数零点个数问题，利用数形结合思想画出草图是解题的

关键.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某种传染性疾病的检测通过采集血样利用相关检测试剂盒进行检测，若呈阳性，则诊断为患病，

若呈阴性，则诊断为不患病.某企业开发了一种新型检测试剂盒，现采用卡方检验的方法检验该试剂盒

的检测效果，为此随机抽取了100份患病的血样和100份不患病的血样进行检验，试验结果显示，100

份患病的血样中，检测出阳性血样90份，阴性血样10份；100份不患病的血样中，检测出5份阳性血

样，95份阴性血样.

（1）填写下面列联表，记检测结果为阳性者患该疾病的概率为，求的估计值；

检测结果患病不患病合计��

阳性90595

阴性1095105

合计100100200

…………………………3分

检测结果为阳性的共95人，其中患病的为90人，

∴的估计值为90=18……………………6分

9519

(2)�零假设为0：某人血样经该检测试剂盒检测诊断结果是否为阳性与其是否患病无关，

…�………………………8分

根据列联表数据计算得

2

2=200(9095105)=57800>57800=144.5…………11分

10010095105399400

××−×

�因为144×.5>×1×0.828=0.001……………………12分

根据小概率值=0.00�1的独立性检验，我们推断0不成立，

即认为某人血样�经该检测试剂盒检测诊断结果是否为�阳性与其是否患病有关……13分

【点拨】本题考查列联表的完善及独立性检验，熟练套用卡方公式是解题的关键。

16.已知数列{}中，1=3,3=15，且数列为等差数列．

��

（1）求{}的通��项公式；���

（2）记�为数列1的前项和，证明：<3．

�4

�������

第7页，共11页

【答案】（1）=(+2)（2）证明见解析

【解析】解：（�1）�∵��数列为等差数列，设该数列的公差为，

��

依题意则有2=31………�…………�………2分

31

��

已知1=3,�3=15−，解得=1…………………4分

∴数�列�是以3为首项，�公差为1的等差数列，

��

=1+(�1)=3+(1)=+2………6分

1

���

即�=�(−+2)�………�…−………�…………………7分

（2）�由（1）可得1=1=111………………9分

���(+2)2+2

�����−�1111

=++++

132435(+2)

�

=111+111+111+�+111…………1⋯1分

232242352×+2××��

=11+−11−1………−……⋯………�…−…�……13分

22+1+2

=32−+3�−…�………14分

44(+1)(+2)

�

∵−�，�∴2+3>0，则<3………………15分

4(+1)(+2)4

∗�

【点�拨∈】�本题考查�等差�数列的通项�公�式及裂项相消法求和，掌握裂项技巧是解题的关键.

22

17.已知椭圆+=1(>>0)的离心率为3，,分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上

222

��

顶点，且�=�3.�����

（1）求椭�圆�的⋅�标�准−方程；

（2）过点(1,0)作斜率不为0的直线交椭圆于,两点，直线与相交于点.

（i）证明：�点在定直线上；�������

（ii）求�的最大值.

∠���

2

【答案】（1）+2=1（2）（i）证明见解析（ii）

46

��

【解析】解：（1）�由题意知，=(,),=(,)，

222

∴=+==3�，�即−=�3−…�……��……�……−…�…………2分

3

又��=⋅�=�，−∴��=2,−�=−22=�1…………………4分

2

�

2

∴椭�圆的�标准方程�为+�2=�1−…�……………5分

4

�

（2）（i）由于直线�过点(1,0)且斜率不为0，∴可设直线的方程为=+1…6

分��������

=+1

由2，得(2+4)2+23=0………………7分

+2=1

�4��

�����−

设(�,),(,)，则+=2,=3，

1122122+4122+4

�

��������−���−�

第8页，共11页

∴=3(+)…………8分

12212

∵椭�圆�的�左，右�顶点�分别为(2,0),(2,0)，

1

∴直线的方程为=�(−+2)，�

1+2

�

直线��的方程为=�2�(�2)……………9分

22

�

313

�−(+)+33+

+2��2(1+2)2(�1+3)2�−1222122

∴===3=13=3………10分

21(22)1(21)(+)+

������2�1�2�12�12�2

解得�−=�4，�−∴点��在�定−直线��=4−�上…�……�…………………11分

（ii）�设直线�,的倾斜�角分别为,，则=||，

2

tan��22��2(1+2)��∠����−�

�

由（i）知=1==3………………13分

tan�−1(22)

�1+2��

�

∴tan=3ta�n，���−

tantan2|tan|

∴tan�=|�tan()|==………………15分

1+tantan1+3tan2

�−��

=2∠���2=�3−…�……………�…�……………�…16分

1+3|tan|233

|tan|

��≤

当且仅当|tan|=3时取等号，∴的最大值为…17分

36

�

【点拨】本题考�查椭圆标准方程的求解∠及��直�线与椭圆的综合应用，利用韦达定理和斜率关系转化为定

点定线问题是解题的关键.

18.编号为1的小球随机放入编号为1的盒子中，记表示个盒子中空盒子的个数.

（1）当=3时∼，�求编号为1的盒子中有球的∼概�率；���

()

（2）求�()并证明关于单调递增；

���

���()�1�

（3）求证：=1<.

�e1

����

��−

注：若随机变量,1,2,,满足==1，则()==1().

��

���⋯������������

【答案】（1）19（2）()=11，证明见解析（3）证明见解析

27�

【解析】解：（1）设事件���表示�编号−为�1的盒子中有球

23

则()=1()=1�=19…………3分

327

��−�1,�第个盒−子有球

（2）设=(=1,2,,)

0,第个盒子没球

�

���⋯�

(=0)=1,�(=1)=11………………5分

�−��−�

��

∴��()=1�1�(�=1,2,−,)�……6分

�−�

��

∴��=−=1�⋯�

�

���−���1(1)

∴()==1()=1=1……………8分

��

��−�−

�−

����−�����−�−��

第9页，共11页

∴()=(1)=11，

�

����−�

�11

�1�−�1+1ln1ln1

即证：1<1，即证：<+1………10分

+111

��−�+−1�

−�−���ln(1)

ln(1)'1

考虑函数()=,(0,1)，()=�2,(0,1)

−�−−�−−�

11

先证：lnℎ�1，�∴1�∈ln(1ℎ�)<0��∈

1

∴()�在≥(0−,1�)上单调−递−减�−………−…�…………11分

11()

∴ℎ�<，即关于单调递增…………12分

+1

���

（3ℎ）�考虑ℎ函�数()=l�n(1+)�,(1,0)

'()=11>0在(1,0)恒成立，∴()在(1,0)上单调递增……14分

1+���−��∈−

∴��()<�−（0）=0，即−ln(1+)<,�(�1,0)−…………15分

取�=�1�得ln11<1，即�1�1∀�<∈1…−…16分

�e

∴�(−)=�(1)=1−�1−<�1，∴−(�)<1

�ee

����−������

�

���111�

()−1ee1

�

∴=1<=1=1<……17分

�e�1−e1

�����e

��

【点拨】本�题考查离散型随机变−量的期−望及利用导数证明不等式，引入指示变量求期望并构造函数证

明不等式是解题的关键.

19.已知函数()=e.

�

（1）讨论函数�(�)的单−调�性�；

（2）若()�0，�求实数的取值范围；

（3）若函�数�