专题19 用一次函数解决实际问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（解析版）

1/10专题19用一次函数解决实际问题的四类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、用一次函数解决最大利润问题类型二、用一次函数解决分配方案问题类型三、用一次函数解决梯度计费问题类型四、用一次函数解决行程问题压轴专练类型一、用一次函数解决最大利润问题方法总结1.建模列式：设自变量为产量或销量，根据成本、售价等条件建立利润与自变量的函数关系y=kx+b。2.求最值：根据实际问题中自变量的取值范围（如x≥0、x为整数），结合一次函数的增减性确定最大利润点。解题技巧1.增减性定最值：k>0时，x越大利润越大；k<0时，x越小利润越大。2.关注边界：最值通常在自变量取值范围的端点处取得，需计算并比较各端点利润。例1．（2026·河南·一模）河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示．(1)求的值；(2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？【答案】(1)(2)电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大；最大销售额为元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用．(1)设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克，列二元一次方程组求出即为甲种水果打折前的售价，根据销售额单价销量即可求出；(2)设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元，根据销售额单价销量可得，利用一次函数的性质求出销售额的最大值．【详解】（1）解：设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克，根据题意得：，解得：，；

（2）解：设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元，当时，；则，，随的增大而增大，当时，有最大值，,此时(千克)，答：电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大．最大销售额为元.【变式1-1】（2026·山西临汾·一模）山西运城十大特产之一万荣苹果酸甜可口，芳香味浓．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售万荣出产的甲、乙两种苹果，已知3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为360元，5箱甲种苹果和4箱乙种苹果的售价之和为640元．(1)分别求甲、乙两种苹果每箱的售价．(2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数的2倍，问该公司购买这些苹果至少需花费多少元?【答案】(1)甲种苹果每箱的售价为80元，乙种苹果每箱的售价为60元(2)该公司购买这些苹果至少花费800元【分析】（1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元，元，根据3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为360元，5箱甲种苹果和4箱乙种苹果的售价之和为640元；列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱，根据乙种苹果的箱数不超过甲种苹果箱数的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设该公司需花费w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元，元．根据题意得，解得，答：甲种苹果每箱的售价为80元，乙种苹果每箱的售价为60元．（2）解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱，根据题意得，，解得，设该公司需花费元，则．，随着的增大而增大，当时，有最小值，．答：该公司购买这些苹果至少花费800元．【变式1-2】（2026七年级下·全国·专题练习）M县开展“健身促发展，运动强体魄”的体育健身活动，M县的体育器材公司计划购进A，B两种型号的跳绳．根据市场调查：购进2根A型跳绳和3根B型跳绳共需要115元；购进5根A型跳绳和2根B型跳绳共需要150元．(1)求A，B两种型号的跳绳单价分别是多少元？(2)该体育器材公司购进A型跳绳600根，B型跳绳400根，并将这些跳绳全部运往甲、乙两校，甲校共需要跳绳480根，乙校共需要跳绳520根．已知每根A型跳绳运往甲、乙两校的运费分别为1元和元；每根B型跳绳运往甲、乙两校的运费分别为元和元．求该体育器材公司在此项目投入的总费用（购跳绳的总费用总运费）最少是多少元？【答案】(1)A，B两种型号的跳绳单价分别是20元，25元(2)23012元【分析】（1）设A，B两种型号的跳绳单价分别是x元，y元，列出二元一次方程组，据此求解即可；（2）设运输A型跳绳到甲校为n根，该体育器材公司在此项目投入的总费用为w元，根据列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设A，B两种型号的跳绳单价分别是x元，y元，依题意得：，解方程组得：，答：A，B两种型号的跳绳单价分别是20元，25元；（2）解：设运输A型跳绳到甲校为n根，该体育器材公司在此项目投入的总费用为w元，则运输A型跳绳到乙校为根，运输B型跳绳到甲校为根，运输B型跳绳到乙校为根，依题意得：，，∵，∴，∵，∴w值随n值的增大而增大，时，w有最小值为：，答：该体育器材公司在此项目投入的最少总费用是23012元．【变式1-3】（2026九年级下·广东深圳·专题练习）根据如表所示素材，探索完成任务．深圳华强北电子配件采购方案素材一为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A、B两种充电器，两次同型号进价相同；采购批次A数量（件）B数量（件）采购总费用（元）第一次30403800第二次40303200素材二售价A：30元/件；B：100元/件．素材三计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍．问题解决(1)任务一：求A、B充电器每件进价．(2)任务二：求获利最大的进货方案及最大利润．【答案】(1)A、B充电器每件进价分别为20元、80元．(2)获利最大的进货方案为购进800件A充电器，购进200件B充电器，最大利润为12000元．【分析】（1）设、充电器每件进价分别为元、元，根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）设购进件充电器，则购进件充电器，根据“计划共购进1000件充电器，且数量不少于数量的4倍”列不等式，求出，设利润为元，列出关于的一次函数，再根据一次函数的增减性求最值即可．【详解】（1）解：设、充电器每件进价分别为元、元，由题意得：，解得：．答：、充电器每件进价分别为元、元；（2）解：设购进件充电器，则购进件充电器，由题意得：，解得：，设利润为元，则，，随的增大而减小，当时，有最大值为，即获利最大的进货方案为购进件充电器，购进件充电器，最大利润为元．类型二、用一次函数解决分配方案问题方法总结1.建模列式：设分配量为自变量，根据资源限制、需求等条件建立一次函数关系（如总费用、总利润）。2.方案寻优：在自变量取值范围内（常为整数），结合一次函数的增减性，确定使目标函数最优的分配方案。解题技巧1.列表枚举：当自变量范围较小且为整数时，可列表枚举各方案值，直接比较。2.边界优先：最值通常在自变量取值范围的端点处取得，优先计算端点值比较。例2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）某校举行八年级英语演讲比赛，需购买，两种笔记本作为奖品．若购买9本笔记本和6本笔记本，则一共需要元；若购买8本笔记本和本笔记本，则一共需要元．(1)求，两种笔记本每本的价格分别是多少元？(2)若该校计划购买两种笔记本共本，并且购买笔记本的数量至少比笔记本的数量多6本，但又不超过笔记本数量的2倍．则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少费用是多少元？【答案】(1)种笔记本每本元，种笔记本每本8元；(2)购买种笔记本本、种笔记本本时费用最少，最少费用为元．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的最值实际应用问题，关键是根据题意建立方程组和函数关系式，并结合不等式确定变量的取值范围．（1）设两种笔记本的单价为未知数，根据两种购买方案的总费用，列出二元一次方程组，通过消元法求解方程组得到单价；（2）先设购买笔记本的数量，进而表示出笔记本的数量，根据题目中与的数量关系列出不等式组，确定笔记本数量的取值范围，再构建总费用关于笔记本数量的一次函数，利用一次函数的增减性求出费用的最小值．【详解】（1）解：设种笔记本每本元，种笔记本每本元，根据题意，得，解得，答：A种笔记本每本元，种笔记本每本8元．（2）解：设购买种笔记本本，则购买种笔记本本，总费用为元，根据题意，得，解得，且为正整数，总费用，，随的增大而增大，当时，取得最小值，最小值为，此时，答：购买种笔记本本，种笔记本本时，费用最少，最少费用是元．【变式2-1】（25-26八年级下·全国·周测）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格．(2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？【答案】(1)A为600元，B为1000元．(2)应购买A种型号帐篷5顶，B种型号帐篷15顶，购买帐篷的总费用最低为18000元．【分析】（1）设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元．根据若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元，列出方程组进行求解即可；（2）设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，总费用为元．先用表示出，然后由购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，可求出的取值范围，最后根据一次函数性质可求出总费用的最小值．【详解】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元．根据题意列方程组为．解得答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元．（2）解：设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，总费用为元．由题意，得，其中，解得，又∵两种型号的帐篷均需购买，∴解得，综上，的取值范围是且为整数．∵，∴随的增大而减小，∴当时，取最小值，即当购买种型号帐篷顶时，总费用最低，总费用为（元）．∴，故应购买种型号帐篷顶，种型号帐篷顶，购买帐篷的总费用最低为元．【变式2-2】（25-26九年级上·云南昆明·期末）请你根据下列素材，完成有关任务．背景囊括上百种特色美食的昆一西食堂，为丰富菜品，计划采购甲、乙两种食材．素材一购买千克甲食材和千克乙食材共需元，购买千克甲食材和千克乙食材共需元．素材二食堂准备采购这两种食材共千克，乙食材的数量不少于甲食材数量的，且总花费不超过元．请完成下列任务：任务一甲、乙两种食材每千克的价格分别是多少元？任务二给出最节省费用的采购方案．【答案】任务一：甲食材每千克元，乙食材每千克元；任务二：采购甲食材千克，乙食材千克，此时总费用最省，为元【分析】本题考查了二元一次方程组与实际问题、一元一次不等式组、一次函数的性质，关键是熟练应用知识点解题；任务一：根据题意列方程组即可；任务二：根据题意列出不等式组，并列出总费用与甲食材数量之间的一次函数关系式，并讨论其最值．【详解】任务一：解：设甲食材每千克的价格是元，乙食材每千克的价格是元，由题意得：，解得：，答：甲食材每千克的价格是元，乙食材每千克的价格是元；任务二：解：设采购甲食材需千克，总费用为：元，，解得：，∵，，∴随的增大而减小，即：当时，最小，此时买甲食材千克，买乙食材千克，答：采购甲食材千克，乙食材千克，此时总费用最省，为元．【变式2-3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）综合与实践主题：借助函数分析解决生活中的决策问题某商家每天需要寄出多个包裹．有三家快递公司给出了收费方案：公司方案A公司首重费用15元（1千克以内），超出部分按每千克5元计费．B公司无首重，统一按每千克7元计费．C公司每月交18元会员费后，每千克收1元（无首重）．(1)在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象；(2)分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？(3)C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益．若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？【答案】(1)图见解析(2)，选择公司最省钱；，选择公司一样省钱，，选择公司最省钱；(3)见解析【分析】（1）求出三个公司对应的函数表达式，描点，连线，画出函数图象即可；（2）根据图象，进行说明即可；（3）分2种情况，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：由题意，，，，对于，当时，，当时，；故过点；对于，当时，，当时，；∴过点；画图如下：（2）解：当时，；由（1）图可知：当时，选择公司最省钱；当时，选择公司一样省钱，当时，选择公司最省钱；（3）解：由题意，当时，，此时，调整后，当经过时，则：，故当时，令，，当时，选择公司最省钱；当时，选择公司一样省钱，当时，选择公司最省钱；当时，令，，此时，则当时，选择公司最省钱，当时，选择公司和公司一样省钱，当时，选择公司最省钱，当时，选择公司和公司一样省钱，当时，选择公司最省钱．类型三、用一次函数解决梯度计费问题方法总结1.分段函数：根据计费标准（如用水、用电量不同区间单价不同），建立分段一次函数模型。2.分类计算：确定自变量所在区间，选用对应区间内的函数表达式进行计算。解题技巧1.区间判断：先判断自变量的值属于哪个计费区间，再代入对应解析式。2.边界检验：若自变量恰好在分段点，需确认按哪个区间计费（通常按就高或题给规定）。例3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表：行驶里程357车费（元）111723设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数．(1)________，________；(2)求与之间的函数表达式；(3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费．【答案】(1)11，3(2)(3)乘客需付车费50元【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键：（1）根据题意结合表格信息，得到，，即可得出结果；（2）根据收费方式得到，把（1）中的数值代入即可；（3）求出时的函数值即可．【详解】（1）解：由题意，时，；当时，，解得；故答案为：11，3；（2）解：由（1）可知：；（3）解：∵，∴当时，．答：当行驶里程为时，该乘客需付车费50元．【变式3-1】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准：计费档户年用电量单价/[元]第一档0.53第二档0.58第三档0.83(1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式；(2)某户年用电量是，求该户这一年的电费；(3)某户去年一年的电费是1834元，求该户去年一年的用电量．【答案】(1)(2)该户这一年的电费为元；(3)该户去年一年的用电量为．【分析】本题考查了分段函数的应用．根据不同用电量区间的单价来计算电费是解题的关键．（1）需考虑分档计费，第一档的电费按照计算，超过的部分按单价计算，将两部分电费相加并化简即可得到关系式；（2）已知年用电量是，判断其处于区间，将代入（1）中的关系式并计算即可；（3）先计算第一档最多电费为元，与已知电费元比较，可知用电量超过第一档；再计算用电量为时的电费，与已知电费元比较，可知用电量在区间，最后将代入计算即可．【详解】（1）解：，化简得；（2）解：将代入，得到，该户这一年的电费为元；（3）解：元元，该户用电量超过，将代入，解得，该户用电量在区间，将代入，得到，解得，答：该户去年一年的用电量为．【变式3-2】（25-26八年级上·江西赣州·月考）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费，计费方式为超出部分按新档位单价计算．下表是家庭人口不超过5人时户年用水量及分档计费标准：计费档户年用水量单价/（元/）第一档3.5第二档4.8第三档5.8(1)当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式；(2)某户一年用水量是220，求该户这一年的水费；(3)某户去年一年的水费是1238元，求该户去年一年的用水量．【答案】(1)(2)元(3)【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键：（1）根据收费标准，列出函数关系式即可；（2）把代入（1）中表达式进行求解即可；（3）求出时的函数值，进而求出第三档的用水量，即可得出结果．【详解】（1）解：由题意，；（2）解：当时，（元）；答：该户这一年的水费为元；（3）解：当时，，，故该户去年一年的用水量为；答：该户去年一年的用水量为．【变式3-3】（25-26八年级上·山西运城·期中）某省居民生活用电阶梯式收费探索卡素材1能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式．素材2居民生活用电阶梯式价格计费方式如下：第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度．第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度．第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度．问题解决任务1已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式．任务2已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费．任务3某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量．【答案】任务1：；任务2：91元；任务3：240度；【分析】本题考查了分段函数．任务1：分情况列出关系式即可；任务2：用电量180度，在第二档，将代入计算即可；任务3：先求出用电量在第二档，进而根据列方程计算即可．【详解】解：任务1：当时，，当时，，即，当时，，即，任务2：，∴当时，（元）答：小迪同学家8月的电费91元．任务3：当时，，当时，，，．当时，．．答：该户10月的用电量为240度．类型四、用一次函数解决行程问题方法总结1.建立模型：设时间为自变量，根据速度、路程关系，建立路程与时间的函数关系（如s=vt+s0）。2.数形结合：画出s-t图象，利用交点、斜率（速度）分析相遇、追及等问题。解题技巧1.图象辅助：在坐标系中画出各运动物体的s-t图，交点即相遇点。2.单位统一：确保速度、时间、路程单位一致，避免计算错误。例4．（25-26八年级下·全国·课后作业），两地相距，甲车在地，乙车在地，两车同时出发，相向而行，在地相遇．为节约费用（两车相遇并换货后，均需按原路返回出发地），两车换货后，乙车因故障原地检修，甲车按原路返回地．设两车在行驶过程中速度保持不变，两车间的距离（单位：）与时间（单位：h）的函数关系如图所示．根据题中提供的信息，解答下列问题：(1)求甲、乙两车的速度．(2)描述一下从开始出发到5h这段时间内乙车的运动状态．【答案】(1)甲、乙两车的速度分别为和．(2)见解析【分析】（1）第一段函数图象表示：小时后，两车共走完千米，相遇．可求得甲乙速度和，第二段函数图象表示，甲小时走了千米．可得甲速度，用甲乙速度和减去甲速度即为乙速度；（2）乙车只在前小时以每小时千米的速度运动．【详解】（1）解：（1）由题意知，甲、乙两车的速度之和为．换货后只有甲车运动，甲车的速度为，乙车的速度为．故甲、乙两车的速度分别为和．（2）（2）乙车以的速度从地出发后到达地，在地与甲车交换货物用了后，又在地停留2h．【变式4-1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题：(1)点表示的实际意义是什么？(2)求的函数表达式；(3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围．【答案】(1)点表示第14秒时乙组追上甲组；(2)(3)或【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数和一元一次不等式组的应用；（1）根据题意结合函数图象，即可求解；（2）根据点，点，待定系数法求解析式，即可求解；（3）先求得的函数表达式为，根据两组之间的距离不超过时，分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前；②当甲到终点，乙还没有到终点前；建立不等式，并根据函数图象，即可求解．【详解】（1）解：点表示第14秒时乙组追上甲组；或“乙组到第14秒时已经走了24米”，或“甲组第14秒时途中已经掉球2秒”．（2）解：设的函数表达式为点，点，解得，的函数表达式为．（3）解：设的函数表达式为∵，，解得，的函数表达式为，分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前，可解得②当甲到终点，乙还没有到终点前将代入，解得：，，综合①②得的取值范围为：或【变式4-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）钱塘绿道是集生态、运动、休闲、文化、便民等多功能于一体的复合型城市生态廊道．甲、乙在一段绿道上进行运动，两人同时同地出发，甲全程匀速骑行，乙先匀速跑步再选择匀速骑行，最后同时到达终点．已知甲、乙的运动路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图所示．(1)求乙匀速骑行时，关于的函数解析式．(2)当两人相距1千米时，求运动时间的值．【答案】(1)关于的函数解析式为；(2)当两人相距1千米时，运动时间的值为或．【分析】本题考查了一次函数的应用，利用一次函数的性质和数形结合的思想进行解答．（1）利用待定系数法求解即可；（2）利用待定系数法求得甲匀速骑行时和乙匀速跑步时，关于的函数解析式，再分情况讨论，根据题意列式计算即可求解．【详解】（1）解：由题意设乙匀速骑行时，关于的函数解析式为，将点和代入得，解得，∴关于的函数解析式为；（2）解：设甲匀速骑行时，关于的函数解析式为，将点代入得，解得，∴关于的函数解析式为；同理，乙匀速跑步时，关于的函数解析式为，当时，由题意得，解得；当时，由题意得，解得；答：当两人相距1千米时，运动时间的值为或．【变式4-3】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）甲、乙两车同时从地出发，直行前往地，如图，折线与线段分别表示甲、乙两车的行程（单位：）与时间（单位：）的函数关系．(1)乙车的速度为______；(2)分别求线段，C对应的函数表达式；(3)当取何值时，甲、乙两车相距？【答案】(1)(2)，(3)当为或时，甲、乙两车相距【分析】本题考查一次函数的实际应用，涉及行程问题中的分段函数，关键是结合图象分析甲、乙两车的行驶状态，利用待定系数法求一次函数解析式，再根据两车距离分情况列方程求解．（1）乙车为匀速行驶，根据速度公式，用总路程除以总时间即可得到乙车速度；（2）线段是正比例函数，设解析式为，代入点求解系数；线段是一次函数，设解析式为，代入点和，解二元一次方程组得到系数和；（3）根据甲的行驶状态分三段讨论：(甲匀速行驶)、(甲静止)、(甲匀速追赶)，分别写出每段甲、乙的行程函数，根据两车距离为列方程，舍去超出取值范围的解，得到符合条件的值．【详解】（1）解：根据图象，乙车的速度为；故答案为：；（2）解：设线段对应的函数表达式为，∵点在上，∴将代入，得，解得，∴线段的函数表达式为；设线段对应的函数表达式为，∵点、在上，∴将两点坐标代入得，解得，∴线段的函数表达式为；（3）解：线段的函数表达式为，分三种情况讨论：①当时，根据图象，线段的函数表达式为，两车的距离为，解得，，不符合的范围，故舍去；②当时，甲的行程为，两车的距离为，令，解得，，符合该范围；③当时，线段的函数表达式为，此时两车的距离应为，令，解得，，符合该范围．综上，当或时，甲、乙两车相距；答：当为或时，甲、乙两车相距．一、单选题1．（25-26八年级上·河北保定·期末）在一条笔直的公路上，A，B两地相距，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（

）A．甲车的速度为 B．乙车的速度为C． D．当乙车达到A地时，甲车离A地的距离为【答案】D【分析】本题考查了一次函数的图象，求一次函数的解析式及一次函数的应用，根据图象计算出甲车和乙车的速度，即可判断A、B选项，求出两车的路程y与时间x之间的函数关系式，即可判断C、D选项．【详解】解：由图象可知，甲车的速度为，乙车的速度为，∴甲车的速度为，乙车的速度为，故A、B项说法正确，不符合题意；设甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入，得，解得，∴甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为，设乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入，，，解得，∴乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为，当时，，解得，即，故C项说法正确，不符合题意；当时，，故D项说法错误，符合题意，故选：D．2．（25-26八年级下·全国·课后作业）随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（

）A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元【答案】D【分析】先根据图象的交点和不同区间内两条直线的上下位置关系，直接判断不同消费次数下甲、乙两种消费卡的费用高低，对于无法直接从图象判断具体费用的选项，通过待定系数法求出乙消费卡对应的一次函数解析式，代入消费次数计算出具体费用后再进行正误判断．【详解】解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方．对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确；对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确；对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确；对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和，将，代入得，解得，．当时，，不是元，选项D错误；综上，错误的说法是D．3．（25-26八年级上·广西百色·期中）生物课上，生物老师让同学们观察一植物生长，爱思考的小聪发现植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（是线段，射线平行于x轴）．下列说法错误的是（

）A．从开始观察时起，50天后该植物停止长高B．当时，y与x的函数表达式为C．观察第40天，该植物的高度为14厘米D．该植物最高为15厘米【答案】D【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的实际应用，根据射线平行于x轴可判断A；利用待定系数法求出当时，y与x的函数表达式可判断B；求出和时的函数值即可判断C、D．【详解】解：A、∵射线平行于x轴，∴50天后该植物的高度没有发生变化，∴从开始观察时起，50天后该植物停止长高，原说法正确，不符合题意；B、设当时，y与x的函数表达式为，则，∴，∴当时，y与x的函数表达式为，原说法正确，不符合题意；C、在中，当时，，∴观察第40天，该植物的高度为14厘米，原说法正确，不符合题意；D、在中，当时，，∴该植物最高为16厘米，原说法错误，符合题意；故选：D．二、填空题4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明的爸爸用50万元购进一辆出租车（含经营权），在投入营运后，每一年的总收入为18.5万元，而各种费用的总支出为6万元，则可预测该出租车在营运________年后开始盈利．【答案】4【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，及一次函数解析式．总盈利（每年总收入每年总支出）年数购车费用，则可求出一次函数关系式，若要盈利，则总盈利应大于，得出一次不等式，解不等式即可计算多少年后开始盈利．【详解】解：设该车营运年后开始盈利，盈利万元，则，即，∵，∴，∴，∴第年后开始盈利．故答案为：．5．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度．【答案】【分析】本题考查一次函数的应用，当时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，联立与，求出点的坐标即可得到答案．解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式．【详解】解：当时，，∴点的坐标为，由题意知点的坐标为，设，将代入得，∴，∴，∴线段对应的函数表达式为：，由题意可知，则，解得：，∴，∴点的坐标为，∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度，为，故答案为：15．6．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）现有两种品牌的共享电动车，上面图象反映了收费y（元）与骑行时间x（分钟）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应品牌的收费方式对应，当两种品牌共享电动车收费相差4元时，x的值是________．【答案】5或40【分析】本题考查了待定系数法，一次函数的应用；当、时，用待定系数法求出，再用待定系数法求出，结合两种品牌共享电动车收费相差4元，即可求解．【详解】解：当时，，当时，设，则有，解得，，，同理可得：，当时，，解得；当时，，解得或（舍去），综上所述：x的值是或，故答案为：或．三、解答题7．（25-26八年级下·全国·课后作业）大山开车从A地出发前往B地，同时小李从B地出发前往A地，出发一段时间后，小李将车速提高为原来的2倍，如图，图象分别表示两人与A地的距离和行驶时间之间的函数关系．(1)求小李提速后与A地的距离和行驶时间之间的函数表达式；(2)何时大山与B地的距离大于小李与B地的距离？【答案】(1)(2)当时，大山与B地的距离大于小李与B地的距离．【分析】（1）先求出小李提速前的平均车速为，得到小李提速后平均速度为．进而求出小李达到A地时间为．利用待定系数法即可求解；（2）求出大山匀速行驶的函数表达式为，解方程组得，结合图象即可得到当时，大山与B地的距离大于小李与B地的距离．【详解】（1）解：根据题图可得，小李提速前的平均车速为，∴小李提速后平均速度为．由题意得A、B之间距离为，∴提速后行驶时间为，∴小李到达A地时间为．设小李提速后的函数表达式为，把点，点代入得，解得，∴小李提速后的函数表达式为；（2）解：设大山匀速行驶的函数表达式为，把点代入得，∴，∴大山匀速行驶的函数表达式为．解方程组得，所以当时，大山与B地的距离大于小李与B地的距离．8．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少．【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元(2)购进甲型号90套，乙型号30套时花费最少【分析】（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元，根据每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用1100元，得出方程组，解方程即可；（2）设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元，根据题意得到w表达式和不等式，解不等式，根据w随m的增大而减小，即可得到结论．【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元，则，解得，答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元．（2）解：设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元．则，，解得，又∵学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，∴且为整数．∵，∴w随m的增大而减小，∵m为整数，∴当时，w最小，此时，故当购买甲90套，乙30套时，所需费用最少．9．（25-26八年级上·安徽六安·期末）为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍．(1)求、两种道具包的单价；(2)在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答）【答案】(1)道具包的单价为元，道具包的单价为元；(2)购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元．【分析】（1）设道具包的单价为元，则道具包的单价为元，用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍为相等关系列出方程求解即可（2）设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个，道具包的总采购价格道具包的总采购价格，进而根据学校预算不超过元，道具包数量不高于道具包数量的倍可得自变量的取值范围，那么根据函数的增减性和自变量的取值范围可得最低采购成本．【详解】（1）解：设道具包的单价为元，则道具包的单价为元，，解得：，经检验：是原方程的解．∴．答：道具包的单价为元，道具包的单价为元；（2）解：设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个，得：，∵，∴随的增大而减小，由题意得：，解得：，∴当时，最小，，∴．答：购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元．10．（25-26九年级下·河南周口·月考）某健身房推出蛋白能量包和碳水补给包两种食物套餐．套餐中的蛋白粉、燕麦片和水果的质量如下表（不完整）：食物套餐蛋白粉/燕麦片/水果/蛋白能量包碳水补给包调研发现：份蛋白能量包中燕麦片与蛋白粉的总质量比份碳水补给包中燕麦片与蛋白粉的总质量多克，且份蛋白能量包和份碳水补给包中燕麦片的总质量为．(1)求每份蛋白能量包和碳水补给包中的燕麦片质量；(2)小凯为自己预订了连续天的运动补给套餐（每天只订一种套餐），为了保证训练需求，要求水果的总质量不高于．小凯应怎样选择这两款套餐，才能使这天的套餐中燕麦片的总质量最少？【答案】(1)每份蛋白能量包中燕麦片质量为，每份碳水补给包中燕麦片质量为．(2)选择天订蛋白能量包，天订碳水补给包，可使天燕麦片总质量最少．【分析】（1）设每份蛋白能量包和碳水补给包中的燕麦片质量分别为、，根据题目给出的两个等量关系建立二元一次方程组，求解方程组得到两种套餐的燕麦片质量．（2）设预订蛋白能量包天，则预订碳水补给包天，根据水果总质量的限制列出一元一次不等式，求出的取值范围；再建立燕麦片总质量关于的一次函数，根据函数单调性求出最小值对应的值，确定最优套餐选择方案．【详解】（1）解：设每份蛋白能量包中的燕麦片质量为，每份碳水补给包中的燕麦片质量为．，解得答：每份蛋白能量包中的燕麦片质量为，每份碳水补给包中的燕麦片质量为．（2）解：设预订蛋白能量包天，则预订碳水补给包天．，解得，设燕麦片总质量为，则，∴，，随的增大而减小．当时，取得最小值．（天）．答：小凯应预订蛋白能量包天，碳水补给包天，才能使燕麦片总质量最少．11．（2026年浙江省宁波外国语等名校共同体中考数学模拟（3月））某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图2．(1)求乙班返回时的速度．(2)求的函数表达式．(3)求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，的值．【答案】(1)(2)(3)甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或【分析】（1）根据函数关系图，利用速度路程时间即可解答；（2）利用待定系数法求解即可；（3）先求出的函数表达式为，的函数表达式为，再根据函数关系图列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵，∴乙班返回共用走完，∴乙班返回时的速度为：．（2）解：∵，设的表达式为，把代入得：，解得：，∴的表达式为．（3）解：∵，设的函数表达式为，则，解得：，∴的函数表达式为，由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第一次到起点的距离相同，∴，解得：．∵，设的函数表达式为，则，解得：，∴的表达式为，由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第二次到起点的距离相同，∵的表达式为，∴，解得：．综上所述，甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或．12．（25-26八年级上·河南郑州·期末）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准：计费档户年用气量单价/（元）第一档2.73第二档3.28第三档3.82(1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式；(2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费；(3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量．【答案】(1)(2)该户这一年的燃气费为1147元(3)该户去年一年的用气量为【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式，（1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式；（2）直接将代入（1）关系式，可得答案；（3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可．【详解】（1）解：由表格可知，当时，．（2）解：，当时，，所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元．（3）解：当时，（元），当时，（元），，所以，该户用气量属于第二档，当时，，解得，，所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为．13．（2026·湖北十堰·一模）请你根据下列素材，完成有关任务．背景某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．素材一买一个气排球元，买个篮球和一个足球价钱为元，购买个篮球的价格比购买一个足球多花费元．素材二该校要购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍．素材三根据学生兴趣需要，篮球不多于个，总花费不超过元．请完成下列任务：(1)求出篮球和足球的单价．(2)求购买篮球，足球，气排球共花费（元）与购买篮球（个）的函数关系式．(3)制定花费最少的购买方案．【答案】(1)篮球和足球的单价分别为元和元(2)(3)花费最少的购买方案为篮球个，足球个，气排球个【分析】（1）设一个篮球价格元，一个足球价格元，根据素材一列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据素材一的结论、素材二，利用总价单价数量，分别表示出篮球、足球、气排球的花费，求和即可列出与的函数关系式；（3）根据素材三可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】（1）解：设一个篮球价格为元，一个足球价格为元，依题意得，解得，答：篮球和足球的单价分别为元和元．（2）解：购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍，购买篮球个，气排球个数是个，足球个数是个，依题意得：．（3）解：由素材三得，解得，，，随的增大而减小，当时，最小，此时，，花费最少的购买方案为篮球个，足球个，气排球个．14．（25-26八年级上·河南郑州·期中）为响应“节能”“环保”“减排”号召，张明家购买了一台电动汽车，需要申请加装电表，有两种电表可供选择：一种是普通电表，一种是峰谷分时计费电表．该市居民用电的收费标准（注：峰段8：00～22：00，谷段：22：00～次日8：00）：计费档户年用电量普通电价/[元/]峰谷电价/[元/]峰段电价谷段电价第一档0.530.560.28第二档0.580.610.33第三档0.830.860.58(1)张明的朋友李斌家去年总用电量为，峰段用电量为，哪种计费方式电费较少？为什么？(2)截至今年9月底，李斌家的用电量已经超过，已知李斌家10月共用电，峰段用电量为（单位：），写出峰谷计费方式的电费（单位：元）与之间的关系式？并计算李斌家10月峰段用电量为多少时，两种计费方式相同？(3)张明通过调查发现：安装哪种电表，取决于峰段用电量占总用电量的比值，比值越大，越适合安装普通电表，否则，安装峰谷计费电表．若张明家年用电量为，峰段用电量与总用电量的比值为．请你直接写出张明安装电表的方案．【答案】(1)选择普通电表电费较少，理由见解析；(2)，用电量为时，两种计费方式相同；(3)当时，选择安装普通计费电表；当时，两种电表的费用相同；当时，选择安装峰谷计费电表．【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；（1）根据计价表可直接进行求解；（2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解；（3）设峰段电量为，谷段为，然后分类进行求解即可．【详解】（1）解：普通电表：（元），峰谷计费：（元），，因此，选择普通电表电费较少．（2）解：，，解得，因此，小明家月峰段用电量为时，两种计费方式相同．（3）解：设峰段电量为，谷段为，分档讨论：①第一档（）：普通电费，峰谷电费，令相等得，解得：，当时，选普通电表；当时，选峰谷电表；②第二档（）：普通电费，峰谷电费，令相等得，解得：，当时，选普通电表；当时，选峰谷电表；③第三档（）：普通电费，峰谷电费，令相等得，解得：，当时，选普通电表；当时，选峰谷电表，综上，当时，选择安装普通计费电表；当时，两种电表的费用相同；当时，选择安装峰谷计费电表．综合训练一、选择题1.下列各图象分别给出了x与y的对应关系,其中y是x的函数的是()2.下列函数:①y=x6;②y=-4x;③y=3-12x;④y=3x2-2;⑤y=x2-(x-3)(x+2);⑥y=6x.A.5个 B.4个 C.3个 D.2个3.某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时(最低工资)的收入是()A.3100元 B.3000元C.2900元 D.2800元4.下列关于一次函数y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是()A.该函数图象经过第二、第一、第四象限 B.y随x的增大而减小C.该函数图象与y轴交于点(0,b) D.当x>-bk时,y>5.一次函数y=kx+b(k≠0,b为常数)的部分对应值如下表:x…012…y…12a2a+3…则该一次函数的解析式为()A.y=x+1 B.y=2x+1 C.y=3x+1 D.y=4x+16.如图,已知点A的坐标为(2,2),点B的坐标为(0,-1),点C在直线y=-x上运动,当CA+CB最小时,点C的坐标为()A.25,-25 BC.-25,25 7.已知一次函数y=32x+m和y=-12x+n的图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于B,C两点,则△ABC的面积等于(A.2 B.3 C.4 D.68.已知小强家、体育场、文具店在同一直线上,右面的图象反映的过程是:小强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,y表示小强离家的距离,则下列结论不正确的是()A.小强从家到体育场用了15min B.体育场离文具店1.5kmC.小强在文具店停留了20min D.小强从文具店回家用了35min二、填空题9.已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图象与y轴交点的坐标为.

10.设正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m=.

11.请写出符合以下两个条件的一个函数解析式.

①过点(-2,1),②在第二象限内,y随x的增大而增大.12.已知直线l1,l2的解析式分别为y1=ax+b,y2=mx+n(0<m<a),根据图中的图象填空:(1)方程组y=ax+(2)当-1≤x≤2时,y2的范围是;

(3)当-3≤y1≤3时,自变量x的取值范围是.

三、解答题13.我们知道,海拔高度每上升1km,温度下降约6℃.某时刻,益阳地面温度为20℃,设高出地面xkm处的温度为y℃.(1)写出y与x之间的函数解析式.(2)已知益阳碧云峰高出地面约500m,求这时山顶的温度大约是多少摄氏度?(3)此刻,