专题20 一次函数与三角形综合问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

1/10专题20一次函数与三角形综合问题的五类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、一次函数与三角形的面积问题类型二、一次函数与三角形全等问题类型三、一次函数与三角形存在问题类型四、一次函数中的折叠综合问题类型五、一次函数中的旋转综合问题压轴专练类型一、一次函数与三角形的面积问题1.求交点坐标：先求出一次函数图像与坐标轴的交点，或几条直线之间的交点。这些交点就是三角形的顶点。2.确定底和高：观察顶点坐标，选择在坐标轴上或平行于坐标轴的边作为"底"。这样长度计算最简单。另一条垂直于它的边就是"高"。3.套用面积公式：计算出底和高的长度后，代入公式S=½×底×高即可求出面积。例1．（25-26八年级上·浙江·月考）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点．(1)求点坐标；(2)求的面积；(3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【变式1-1】（2025·河北·一模）如图，直线交x轴于点A，直线l交x轴于点，且与直线交于点．(1)求直线l对应的函数解析式；(2)求的面积；(3)若P是直线上的点，当的面积与的面积的比为时，求点P的坐标．【变式1-2】（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E．(1)求点A、B的坐标；(2)求直线的解析式；(3)求的面积；(4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标．【变式1-3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，点，，且，满足，将直线沿轴向右平移个单位长度交轴于点，交轴于点．(1)求三角形的面积；(2)如图1，若，求的值；(3)如图2，当时，过点作轴的平行线交直线于点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿射线运动，设运动时间为秒，连接交轴于点，若三角形的面积不大于三角形的面积的一半，求的取值范围．类型二、一次函数与三角形全等问题1.求坐标是前提：利用一次函数解析式求出关键点的坐标。比如直线与坐标轴的交点，或两条直线的交点。这些坐标是后续计算的基础。2.计算边长或斜率：根据坐标计算三角形的边长。用"两点间距离公式"可算出边长。也可计算直线斜率来判断角度关系。3.运用全等判定：把计算得到的边长或角度关系，与全等三角形判定定理相对照。通过SSS、SAS、ASA等定理判断两个三角形是否全等。例2．如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（

）

A．3或 B．4或 C．3或 D．4或【变式2-1】如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为．【变式2-2】如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，于点C，点P在直线上运动，点Q在y轴的正半轴上运动．

(1)求点A，B的坐标；(2)求的长；(3)若以O，P，Q为顶点的三角形与全等，求点Q的坐标．【变式2-3】（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点．(1)求，两点的坐标；(2)求点的坐标，并求出直线的函数关系式；(3)若点是图中直线上的一点，连接，得到图，当点的纵坐标为时，求的面积；(4)若点是图1中坐标平面内不同于点、点的一点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，直接写出点的坐标．已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．(1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标；(2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；(3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．类型三、一次函数与三角形存在问题1.

明确已知与未知：先确定题目中已给出的点和直线。明确要构造的三角形需要满足的条件。例如，"以AB为边"或"面积为5"等。2.

分情况讨论：根据条件的不确定性进行分类。-若未指定底边，分别以不同线段为底进行讨论-若涉及等腰或直角三角形，要考虑不同顶点的可能性3.

代数化求解：设出未知点坐标，利用函数关系表示其坐标。根据几何条件（如边长相等、面积公式、斜率关系）列出方程。解出坐标后代回验证，确保符合题意。例3．如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点．(1)求直线l的解析式及点A，B的坐标．(2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标．【变式3-1】如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．

(1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围；(2)当的面积为时，求出点的坐标；(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标．【变式3-2】如图，已知点是正方形的一个顶点，E是AB的中点，点P是直线CE上一点．(1)求点E的坐标和直线的解析式；(2)若的面积为21，求此时P点坐标；(3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由．类型四、一次函数中的折叠综合问题1.利用折叠性质：折叠前后，对应线段长度相等，对应角相等。折叠后，对应点的连线被折痕垂直平分。这是解题的关键。2.坐标与函数结合：根据一次函数解析式，确定关键点坐标。例如直线与坐标轴的交点，或折叠前后的对应点。利用"两点间距离公式"计算线段长度，或利用中点坐标公式找到对称点。3.方程思想求解：设出未知点的坐标，根据折叠的性质列出方程。解方程求出坐标后，再代入函数解析式，得到最终答案。例4．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图．一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，将沿直线对折，点恰好与点重合，直线与轴交于点，与交于点．(1)求点的坐标；(2)求四边形的面积．【变式4-1】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．(1)点的坐标是______，点的坐标是______，的长为______；(2)求点的坐标；(3)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知长方形的顶点在轴上，顶点在轴上，，，、分别为，上的两点，将长方形沿直线折叠后，点刚好与点重合，点落在点处，再将其打开、展平．(1)点的坐标是__________；(2)求直线的函数表达式；(3)设动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线向终点运动，运动时间为秒，当的面积是30时，求的值．【变式4-3】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与直线交于点，两直线与轴分别交于点和．(1)填空：_____，_____，点的坐标为_____；(2)点是直线上一点，当最小时，求三角形的面积；(3)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，若为直角三角形，求点坐标．类型五、一次函数中的旋转综合问题方法总结1.抓旋转中心：绕某点旋转时，该点坐标不变，利用此点建立前后直线方程的联系。2.斜率关系：旋转90°时，新k与原k互为负倒数(k≠0)；旋转特殊角度时，结合三角公式求新斜率。解题技巧1.先求中心点坐标：通过已知条件求出旋转中心的准确坐标。2.点斜式建方程：已知中心点和旋转后的斜率，用点斜式直接写出新直线方程。例5．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）【模型建立】（1）如图①，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：．【模型应用】（2）如图②，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转至直线的位置，求直线的函数表达式．【变式5-1】（25-26七年级上·山东泰安·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：；【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式；【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积．【变式5-2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）【模型建立】（1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：≌；【初步应用】（2）将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为______；将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为______．【解决问题】（3）已知一次函数的图象为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为______．【综合运用】（4）将函数的图象先向上平移个单位，再向左平移个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转，所得图象相应的函数表达式为______．【变式5-3】（25-26八年级上·江苏苏州·周测）【提出问题】（1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________；【初步思考】（2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为___________，___________，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为___________．【解决问题】（3）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．将一次函数的图象关于轴对称，所得图象对应的函数表达式为___________；【深度思考】（4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题：①如图1，将直线绕点逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为___________．②如图2，将直线绕点逆时针旋转45°．则所得图象对应的函数表达式为___________．【拓展应用】（5）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为___________．一、单选题1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点E为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在x轴正半轴上存在点F，使得以O、E、F为顶点的三角形与全等，这样的点F有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．42．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（

）A． B．或 C．或 D．3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，直线（是常数）与三角形的边有交点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、填空题4．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）函数的图象不经过第____________象限，它与轴的交点坐标是____________，它与轴的交点坐标是____________，与两坐标轴围成的三角形面积是____________．5．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，已知一次函数的图象为，当，，不能围成三角形，则_____．6．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）一次函数与x轴，y轴分别交于A点和B点，点P为x轴上的一个动点，若以P、A、B三点形成的三角形为等腰三角形，则点P坐标为____．三、解答题7．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点．(1)求一次函数的表达式．(2)点在一次函数的图象上．若是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标．8．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合．(1)求直线对应的函数表达式；(2)求的长；(3)P为直线上一点，，求点P的坐标．9．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．(1)求两点的坐标；(2)若轴正半轴上有一点，当时，求点的坐标；(3)若轴上有一点，将沿直线折叠，当点恰好落在直线上时，请求出点的坐标．10．（24-25八年级下·河北唐山·月考）如图1，直线经过两点，且与直线交于点．(1)求直线的表达式和点的坐标；(2)如图2，已知点，过点作直线的平行线交直线于点．①求直线的表达式；②判断是什么特殊的三角形？（直接写出结果，不必说明理由）11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与直线相交于点，直线与轴交于点．(1)填空：，；(2)求的面积；(3)点是轴上一个动点，①当值最小时，请直接写出点的坐标；②当以点为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标．12．（25-26八年级上·全国·单元测试）【探索发现】如图①，等腰直角三角形中，．直线经过点，过作于点，过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．【迁移应用】已知直线与轴、轴分别交于两点．(1)如图（2），当时，在第一象限构造等腰直角三角形．①________，________；②点的坐标为________．(2)如图③，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，且．连接的面积是否发生变化？请说明理由．13．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：已知直线l：（k为常数）绕定点旋转，则称直线l为“旋转簇直线”，点为“旋转簇直线”的不动点，(1)求直线l：的不动点坐标；(2)已知直线：与x、y轴分别交于点A、B．①如图1，直线l：（k为常数）绕不动点P旋转时，与y轴正半轴相交于点Q，且点Q在点B上方，当时，求点Q坐标；②）如图2，直线与x正半轴交于点C，与直线相交于第一象限内的点D，且恒有，试问直线是否为“旋转簇直线”，若是，请求出不动点的坐标；若不是，请说明理由．14．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型．【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：．（1）①如图1，若，则__________；②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标．【拓展探究】（2）如图3，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标．综合训练一、选择题1.下列各图象分别给出了x与y的对应关系,其中y是x的函数的是()2.下列函数:①y=x6;②y=-4x;③y=3-12x;④y=3x2-2;⑤y=x2-(x-3)(x+2);⑥y=6x.A.5个 B.4个 C.3个 D.2个3.某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时(最低工资)的收入是()A.3100元 B.3000元C.2900元 D.2800元4.下列关于一次函数y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是()A.该函数图象经过第二、第一、第四象限 B.y随x的增大而减小C.该函数图象与y轴交于点(0,b) D.当x>-bk时,y>5.一次函数y=kx+b(k≠0,b为常数)的部分对应值如下表:x…012…y…12a2a+3…则该一次函数的解析式为()A.y=x+1 B.y=2x+1 C.y=3x+1 D.y=4x+16.如图,已知点A的坐标为(2,2),点B的坐标为(0,-1),点C在直线y=-x上运动,当CA+CB最小时,点C的坐标为()A.25,-25 BC.-25,25 7.已知一次函数y=32x+m和y=-12x+n的图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于B,C两点,则△ABC的面积等于(A.2 B.3 C.4 D.68.已知小强家、体育场、文具店在同一直线上,右面的图象反映的过程是:小强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,y表示小强离家的距离,则下列结论不正确的是()A.小强从家到体育场用了15min B.体育场离文具店1.5kmC.小强在文具店停留了20min D.小强从文具店回家用了35min二、填空题9.已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图象与y轴交点的坐标为.

10.设正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m=.

11.请写出符合以下两个条件的一个函数解析式.

①过点(-2,1),②在第二象限内,y随x的增大而增大.12.已知直线l1,l2的解析式分别为y1=ax+b,y2=mx+n(0<m<a),根据图中的图象填空:(1)方程组y=ax+(2)当-1≤x≤2时,y2的范围是;

(3)当-3≤y1≤3时,自变量x的取值范围是.

三、解答题13.我们知道,海拔高度每上升1km,温度下降约6℃.某时刻,益阳地面温度为20℃,设高出地面xkm处的温度为y℃.(1)写出y与x之间的函数解析式.(2)已知益阳碧云峰高出地面约500m,求这时山顶的温度大约是多少摄氏度?(3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃,求飞机离地面的高度约为多少千米?14.已知一次函数y=kx-4,当x=2时,y=-3.(1)求一次函数的解析式;(2)将该函数的图象向上平移6个单位长度,求平移后的图象与x轴交点的坐标.15.在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x(单位:h)时,汽车与甲地的距离为y(单位:km),y与x的函数关系如图.根据图象信息,解答下列问题:(1)这辆汽车的往、返速度是否相同?请说明理由.(2)求返程中y与x之间的函数解析式.(3)求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.16.如图,过点A(2,0)的两条直线l1,l2分别交y轴于点B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=13.(1)求点B的坐标;(2)若△ABC的面积为4,求直线l2的解析式.17.某镇组织20辆汽车装运完A,B,C三种脐橙共100吨到外地销售.按计划,20辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满.根据下表提供的信息,解答以下问题.脐橙品种ABC每辆汽车运载量/吨654每吨脐橙获利/百元121610(1)设装运A种脐橙的车为x辆,装运B种脐橙的车为y辆,求y与x之间的函数解析式.(2)如果装运每种脐橙的车都不少于4辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案.(3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?并求出最大利润的值.综合训练一、选择题1.A确定函数的标准为“如果给出了一个x值,相应地就确定了一个y值”,选项B,C,D的图形中,对于x的一个值,y都有多个值与之对应,不符合函数的定义.2.C3.B4.D5.C根据题意得b=1,k+b=2a,6.A连接AB交直线y=-x于点C,此时CA+CB最小.设点A,B所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0).将A(2,2),B(0,-1)代入y=kx+b,得2k+∴点A,B所在直线的解析式为y=32x-1联立两直线解析式,得y=-∴当CA+CB最小时,点C的坐标为257.C8.B解析对于A,小强从家到体育场用了15min,故A选项正确;对于B,体育场离文具店2.5-1.5=1(km),故B选项错误;对于C,小强在文具店停留了65-45=20(min),故C选项正确;对于D,小强从文具店回家用了100-65=35(min),故D选项正确.故选B.二、填空题9.(0,-1)10.-211.答案不唯一,如y=x+312.(1)x=2,y=3(2)0≤y2≤3(3)0三、解答题13.解(1)y=20-6x(x>0).(2)500m=0.5km,y=20-