专题17 待定系数法求一次函数的表达式的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

1/10专题17待定系数法求一次函数的表达式的六类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、已知一点求正比例函数的表达式类型二、已知一点求一次函数中K值或b值类型三、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式类型四、已知两点求一次函数的表达式类型五、两直线平移，求直线的表达式类型六、两直线旋转，求直线的表达式压轴专练类型一、已知一点求正比例函数的表达式方法总结1.设代求k：设正比例函数为y=kx，将已知点坐标(x0,y0)代入，得k=y0x0(x2.回代得解析式：将求出的k值代回y=kx，即得函数表达式。解题技巧1.检查x0：确保已知点横坐标不为0，否则无法确定正比例函数（此时点为原点）。2.化简分数：若k为分数，保留最简形式，便于后续应用。例1．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知正比例函数的图像过点．(1)求这个正比例函数的表达式；(2)已知点在这个正比例函数的图像上，求a的值．【变式1-1】（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知y是x的正比例函数，当时，．(1)求这个函数的解析式；(2)若点是该函数图象上的一点，求m的值．【变式1-2】（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知正比例函数的图象经过点．(1)求这个正比例函数的表达式；(2)若这个图象还经过点，求点的坐标．【变式1-3】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）已知正比例函数（为常数，且）经过点．(1)求该正比例函数的解析式；(2)判断点是否在该正比例函数的图像上．类型二、已知一点求一次函数中K值或b值方法总结1.代点求未知：将已知点坐标代入y=kx+b，得到一个关于k或b的方程。2.结合条件解：若求k，需已知b或另一条件；若求b，需已知k或直线特性（如过原点）。解题技巧1.明确目标：分清是求k还是b，缺啥补啥条件。2.代入即得：直接代入坐标，方程即出，无需额外变形。例2．（25-26八年级上·安徽·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点．(1)求该函数的表达式；(2)若点在该函数图像上，求点P的坐标．【变式2-1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）已知一次函数的图象经过点．(1)求的值．(2)当时，求的取值范围．【变式2-2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数（k为常数，且）．(1)若点在一次函数的图象上，①求k的值；②设，则当时，求P的最大值．(2)若当时，函数最大值与最小值的差为4，求此一次函数的表达式．【变式2-3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象经过点．(1)求的值；(2)当时，求函数的最大值与最小值的差；(3)当时，函数的最大值与最小值的差是否会随着的变化而变化？若不变，则求出这个定值；若变化，请说明理由．类型三、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式方法总结1.设比例式：根据题意设y+m=k(x+n)（其中m、n为常数），k≠0。2.代点求k：代入一组对应x、y值求出k，再整理成y关于x的函数表达式。解题技巧1.化标准形式：最后结果要写成y=kx+b的形式，便于应用。2.注意常数项：原式中m、n可能需移到等号一侧再整理。例3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知与成正比例，且当时，．(1)求与之间的函数关系式；(2)若点在这个函数的图象上，求的值．【变式3-1】（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知与成正比例，且当时，．(1)写出与之间的函数关系式．(2)若点在函数图像上，求的值．【变式3-2】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知，其中与x成正比例，与成正比例，且当时，；当时，．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)求当时，y的值．【变式3-3】（25-26八年级上·江苏苏州·周测）已知与成正比例，且当时，．(1)写出与之间的函数表达式；(2)当时，求的值；(3)若的取值范围是，求的取值范围．类型四、已知两点求一次函数的表达式方法总结1.待定系数法：设一次函数为y=kx+b，将两点坐标(x1,y1)、(x2,y2)代入得方程组。2.解k、b：解方程组求出k与b，代回即得解析式。解题技巧1.先求k：用公式k=y2−y2.验算无误：求出解析式后，用另一点代入验证是否满足。例4．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知一次函数的图象经过，两点．(1)求这个一次函数的关系式；(2)试判断点是否在这个一次函数的图象上并说明理由．【变式4-1】（25-26八年级上·河南周口·期末）已知一次函数的图象经过点和．(1)求这个一次函数的解析式；(2)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知一次函数的图象经过点，．(1)求一次函数的表达式；(2)若点，在一次函数的图象上，．求的取值范围．【变式4-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）已知一次函数的图象经过点和．(1)求这个一次函数的解析式；(2)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标．【变式4-3】（25-26八年级上·江苏·期末）已知一次函数的图象经过点和．(1)求该一次函数的表达式；(2)判断点是否在该函数图象上；(3)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．类型五、两直线平移，求直线的表达式方法总结1.上下平移：y=kx+b向上平移m个单位得y=kx+b+m，向下平移m个单位得y=kx+b-m。2.左右平移：向左平移m个单位得y=k(x+m)+b，向右平移m个单位得y=k(x-m)+b。解题技巧1.左加右减x：左右平移只改变x，口诀“左加右减”是对x本身操作。2.上加下减常数：上下平移直接加减常数项b。例5．（24-25八年级上·北京·期末）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行．(1)求该一次函数的解析式；(2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由．【变式5-1】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点．(1)求一次函数的表达式；(2)若点为一次函数图象上一点，求m的值．【变式5-2】（24-25八年级下·河北沧州·月考）将正比例函数经过平移得到一次函数的图象，且一次函数经过点．(1)求一次函数的解析式；(2)若点在函数的图象上，求值．【变式5-3】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，直线与直线平行且经过点．(1)求与x之间的函数表达式；(2)当时，求函数值的最小值．类型六、两直线旋转，求直线的表达式方法总结1.定点旋转：绕直线上某点旋转，该点坐标不变，利用旋转角与斜率关系（如垂直k1×k1=-1）求新k。2.绕原点旋转：点(x,y)绕原点旋转θ角后用旋转变换公式求新坐标，再确定新直线方程。解题技巧1.抓旋转中心：中心点坐标在旋转前后不变，是列方程的关键。2.斜率转化：旋转90°时，新斜率与原斜率互为负倒数（原斜率不为0）。例6．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点，把直线绕点旋转，则直线旋转后的表达式为．【变式6-1】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为．【变式6-2】（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式．【变式6-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象．【阅读理解】小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象．请你帮助小尧解决他的困难．（1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________．【解决问题】（2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式．【拓展探究】（3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果）一、单选题1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知y与x成正比例，当时，，那么函数的解析式是（）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·全国·期中）中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知点，在同一条直线上，则这条直线的关系式可能是（

）A． B． C． D．4．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）某个一次函数的图象与直线平行，并且经过点，则这个一次函数的解析式为（

）A． B． C． D．5．（25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，直线与轴正半轴交于点，若，则直线的函数表达式是（

）A． B．C． D．二、填空题6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线经过点，且与直线平行，则的值为_____________．7．（25-26八年级下·全国·课后作业）直线关于x轴对称的直线的表达式为________________________；关于y轴对称的直线的表达式为________________________．8．（25-26八年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，过点和作一次函数的图像，再作与关于轴对称的一次函数的图像，则的函数表达式为________．9．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）已知直线与轴，轴分别交于点和点，点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数表达式为______．10．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，两直线相交于点B．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，则直线的表达式为________．三、解答题11．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知一次函数的图象经过点．(1)求此一次函数的表达式；(2)判断点是否在该函数图象上，并说明理由．12．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知一次函数的图象经过点和．(1)求此一次函数的表达式；(2)若点向下移动3个单位后恰好落在直线上，求的值．13．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）根据下列条件求函数表达式(1)已知一次函数的图象经过点，，求这个一次函数的表达式．(2)已知一次函数的图象过点，并且是由一次函数的图象平移得到的，求该一次函数的表达式．14．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知与成正比例，且时，．(1)求关于的函数关系式．(2)判断点是不是上述函数图象上的点，说明理由．15．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上一点，将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处．(1)求点D的坐标；(2)求直线的函数表达式．16．（25-26八年级上·浙江台州·月考）已知一次函数（k为常数，且）(1)若点在一次函数的图象上．①求k的值．②设，则当时，求P的最大值．(2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式．17．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴正半轴上，．(1)求直线的函数表达式；(2)如图2，将直线绕点逆时针旋转与射线交于点，若面积是，求点的坐标；(3)点E是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．同理可得，，；若点在轴的负半轴，如图，过点作轴于点，是等腰直角三角形，，，，，，，，设，则，，解得，，，；若点在轴的正半轴，如图，过点作轴于点，同理可得，，，，，，综上所述，点的坐标为或或或．18．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）（1）【知识结论】我们知道一次函数的图象可以由直线平移个单位得到．那么将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为：________；（2）【拓展探究】我们已学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经过图形变换后的函数表达式”的数学活动．①（平移变换）将图1中一次函数的图象沿着轴向左平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．小组探究发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在原图象上任取两点，，将这两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，，其坐标分别为（________），（________），从而求出直线对应的函数表达式为：______________________________；②（轴对称变换）将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：________________；（3）【学以致用】将一次函数的图象沿轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数图象对应的函数为．由和的图象组成的函数图象对应的函数为．当时，，则的取值范围为________．

综合训练一、选择题1.下列各图象分别给出了x与y的对应关系,其中y是x的函数的是()2.下列函数:①y=x6;②y=-4x;③y=3-12x;④y=3x2-2;⑤y=x2-(x-3)(x+2);⑥y=6x.A.5个 B.4个 C.3个 D.2个3.某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时(最低工资)的收入是()A.3100元 B.3000元C.2900元 D.2800元4.下列关于一次函数y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是()A.该函数图象经过第二、第一、第四象限 B.y随x的增大而减小C.该函数图象与y轴交于点(0,b) D.当x>-bk时,y>5.一次函数y=kx+b(k≠0,b为常数)的部分对应值如下表:x…012…y…12a2a+3…则该一次函数的解析式为()A.y=x+1 B.y=2x+1 C.y=3x+1 D.y=4x+16.如图,已知点A的坐标为(2,2),点B的坐标为(0,-1),点C在直线y=-x上运动,当CA+CB最小时,点C的坐标为()A.25,-25 BC.-25,25 7.已知一次函数y=32x+m和y=-12x+n的图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于B,C两点,则△ABC的面积等于(A.2 B.3 C.4 D.68.已知小强家、体育场、文具店在同一直线上,右面的图象反映的过程是:小强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,y表示小强离家的距离,则下列结论不正确的是()A.小强从家到体育场用了15min B.体育场离文具店1.5kmC.小强在文具店停留了20min D.小强从文具店回家用了35min二、填空题9.已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图象与y轴交点的坐标为.

10.设正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m=.

11.请写出符合以下两个条件的一个函数解析式.

①过点(-2,1),②在第二象限内,y随x的增大而增大.12.已知直线l1,l2的解析式分别为y1=ax+b,y2=mx+n(0<m<a),根据图中的图象填空:(1)方程组y=ax+(2)当-1≤x≤2时,y2的范围是;

(3)当-3≤y1≤3时,自变量x的取值范围是.

三、解答题13.我们知道,海拔高度每上升1km,温度下降约6℃.某时刻,益阳地面温度为20℃,设高出地面xkm处的温度为y℃.(1)写出y与x之间的函数解析式.(2)已知益阳碧云峰高出地面约500m,求这时山顶的温度大约是多少摄氏度?(3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃,求飞机离地面的高度约为多少千米?14.已知一次函数y=kx-4,当x=2时,y=-3.(1)求一次函数的解析式;(2)将该函数的图象向上平移6个单位长度,求平移后的图象与x轴交点的坐标.15.在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x(单位:h)时,汽车与甲地的距离为y(单位:km),y与x的函数关系如图.根据图象信息,解答下列问题:(1)这辆汽车的往、返速度是否相同?请说明理由.(2)求返程中y与x之间的函数解析式.(3)求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.16.如图,过点A(2,0)的两条直线l1,l2分别交y轴于点B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=13.(1)求点B的坐标;(2)若△ABC的面积为4,求直线l2的解析式.17.某镇组织20辆汽车装运完A,B,C三种脐橙共100吨到外地销售.按计划,20辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满.根据下表提供的信息,解答以下问题.脐橙品种ABC每辆汽车运载量/吨654每吨脐橙获利/百元121610(1)设装运A种脐橙的车为x辆,装运B种脐橙的车为y辆,求y与x之间的函数解析式.(2)如果装运每种脐橙的车都不少于4辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案.(3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?并求出最大利润的值.综合训练一、选择题1.A确定函数的标准为“如果给出了一个x值,相应地就确定了一个y值”,选项B,C,D的图形中,对于x的一个值,y都有多个值与之对应,不符合函数的定义.2.C3.B4.D5.C根据题意得b=1,k+b=2a,6.A连接AB交直线y=-x于点C,此时CA+CB最小.设点A,B所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0).将A(2,2),B(0,-1)代入y=kx+b,得2k+∴点A,B所在直线的解析式为y=32x-1联立两直线解析式,得y=-∴当CA+CB最小时,点C的坐标为257.C8.B解析对于A,小强从家到体育场用了15min,故A选项正确;对于B,体育场离文具店2.5-1.5=1(km),故B选项错误;对于C,小强在文具店停留了65-45=20(min),故C选项正确;对于D,小强从文具店回家用了100-65=35(min),故D选项正确.故选B.二、填空题9.(0,-1)10.-211.答案不唯一,如y=x+312.(1)x=2,y=3(2)0≤y2≤3(3)0三、解答题13.解(1)y=20-6x(x>0).(2)500m=0.5km,y=20-6×0.5=17(℃).故这时山顶的温度大约为17℃.(3)-34=20-6x,x=9.故飞机离地面高度约为9km.14.解(1)将x