2027年高考数学一轮复习资料 专题13 立体几何初步

专题 立体几何初x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′45°(135°)，z′x′y′轴y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

＝2S

原图形＝2

OC4OA6，则四边形OABCS（

【分析】先求🎧平行四边形OABCS22S直接求解【解析】因为四边形OABC是平行四边形，且OC4OA6

OCOAsin4546

2S原22S所以S原22S直2243 S表面积＝S侧＋2SV＝SS表面积＝S侧＋SV＝1SS表面积＝S侧＋S上＋SV＝(S上＋S下＋SS下)hV＝4

【真题实战】（2025·湖南湘潭·模拟预测）AC6ABC水平

ABCABCV1V11 AABB1V1 则无水部分为水平放置的小三棱柱CDECGH（一侧面为水面）1V

1

CD

2AC6，故CD

，故AD6 a的正方体中，内切球半径ra，棱切球半径r=2a，外接球半径r=31 a，b，c的长方体中,r=ah=6a，外接球半径r=6a，内切球半径r=6 2球的体积为（

2ABCBC2ABAC3MBC3232

12 22 rSABCSAOBS△BOCS1ABr1BCr1ACr1332r 解得r

2，其体积V4πr3

2π

12：经过两条相交直线有且只有一个平面．3是证明三线共点或三点共线的依据角)ab所成的角(或夹角)．a在平面αa在平面α【真题实战】（2025·甘肃定西·模拟预测）ABCABCACABAA2,BAC12011 B1C1ADB1C所成角的余弦值为（

3

2A1D，取C1CEAEDEB1C∥DE，所以ADE（或其补角）ADB1C所成的角.ACABAA12,BAC120，

23,BC

4,AD1,AD

5,DE2,AE BC2BBBC2BB1所以cosADE

54

5225ADB1C所成角的余弦值为50505a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥αEF1AB，OABCD的中心，则（A．EO平面ABCDB．EO//平面FBCC．EO// D．EO/BC中点GFGOGOABCD的中心，所以OG//ABOG=1ABABFE是等腰梯形，所以OG//EFOG=EF所以四边形OGEFEO//FGFGFBCEOFBCEOFBC，B正确；FGABCDEOABCDFBCABCDAEO//FGEOFBCFGFBBEOFBCEOFC也D错误.a∩b＝O 2一个平面过另一个平面的内垂直于交线的直线与另 【真题实战（2025·湖北·模拟预测ABCDA1B1C1D1中，ABBC2BB11，点MMAMCMC的最大值为（B．3C．4【解析】如图，连接AC，由ABBC2，得AC MAMCMAC的中点O

MB1CDA1MB1CDA1与球O的截面圆上的动点.CDE，ABF,A1B1的中点GEFFGEG，则由长方体的性质得CDEFGEFG为直角三角形，而CDB1CDA1B1CDA1EFG，作OO1GE于O1B1CDA1EFGGEOO1EFG，故OO1B1CDA1，故O1为截面圆的圆心又OO1OEsinOEOsinOEOGF 1 2255 故截面圆的半径为O1M 5M在以O135故CM65MC65 01BB1CC1DD1AEEFFGGA1的最小值为（

A，E，F，G，A1AEEFFGGA1取得最小值，(4(44)2

2】（2025高三·全国月考）1ABCDA1B1C1D1PM分别为线BD1BB1NB1C的中点，则PMN的周长的最小值为（）

42

1

4展开并摊平，在平面图形中连接ONBB1MD1BP，此时PMNON，BD的中点为OPO（PB重合）PBPBOBNBDBD1C1BD1所以BOP≌BNP，所以

POBDD1B1BC1B1在平面图形中连接ONBB1MD1BP，此时PMNON2 22 2 cos90 在△BON

所以PMN的周长的最小值为422 C1CABCDBDABCD，所以C1CBDABCDACBDACCC1CBDACC1AC1ACC1BDAC1EFBCCDBDEFEFAC1NEAC1NEEFEAC1EFGHMN，EFGHMNABCDA1B1C1D1的中心O，平面D1E垂直，则ABCDA1B1C1D1所得截面的面积为（）

C．3

D．3FH分别为棱C1CDCHFAB1AHFB1DC1CD1C1EHF∥DC1AB1∥DC1HF∥AB1AB1FH四点共面D1C1BB1C1CB1FBB1C1CD1C1B1F，又RtB1C1F≌RtC1CEB1FC1E，B1FD1EC1D1ED1EC1B1FD1EBCDD1C1CHFDD1C1CBCHFFH分别为棱C1CDCHFD1C，BCD1CCBCD1CD1ECHFD1EC，D1ED1ECHFD1E.B1FHFF,B1F,HFAB1FH，D1EAB1FHAB1FH为平面，ABBB12AB1

HF

2,AHB1F ABFH32 ABFHS12222329 【典例1（2025·江苏泰州·模拟预测在三棱锥SABC中，ACBC2，ACB2π侧棱长都等于 SABC在球O的表面上，则球O的表面积为（ 【分析】先求🎧ABC外接圆的半径r，再根据三棱锥的特征找🎧球心O与ABC外接圆圆心的位置关系，进而求🎧球OR，最后根据球的表面积公式求🎧球O的表面积.ACBC2ACB2πAB2AC2BC22ACBCcosACB222222212AB23

2 2r2由正弦定理，底面ABC的外接圆半径r满 2r，sin

，故r2由于侧棱长SASBSC 则顶点SABCDADr2SDhSA2SD2AD2，即252h222h4，则外接球的球心OD且垂直于底面的直线上，r2d设O到D的距离为d，则OAOBr2dOS|hd|AOSO222232

|4d|d32222dR

，表面积为4πR225π.柱与球的体积之比为，表面积之比为，则（）A．C．

R，因为球的直径恰好与圆柱的高相等，所以圆柱的高h2R，又因为球是圆柱的内切球，所以圆柱底面半径rR.根据圆柱体积公式Vπr2h，可得圆柱体积VπR22R2πR3

4πR3

已知圆柱与球的体积之比为，则1

2

2πr22πrh

2πR22πR2R6πR2S4πR2

6πR2已知圆柱与球的表面积之比为

.所以

AA1AB2,AA13．(1)ABDE 1AE E

（2从而得到OE//PA1CDEPA1C，即可得证.所以

ABDEVE

1AES

13122132（2）PDD1PA1CEBD，AC∩BDO，连接OE，ABCD为正方形，所以OACEAA1所以OE//A1C，又OEPA1CA1CPA1C，所以OEPA1C，PDD1DP//A1EDPA1EDPA1E为平行四边形，DE//A1P，DEPA1CA1PPA1CDEPA1C，DEOEEDEOEBDE，PA1CEBD2（2025高三·全国月考）ABCD中，ADBC，ABBC，BC3AB，AD2ABEAD的中点．把ABE折起，使AAP是线段CA①PDPABE②PDPAE③AABABE④AABA¢DE．其中不正确的序号是．【解析】解：对于①，取CBM，使CM2BM，当CP2PAAB//PMDE//BM，ABE//PDMDPPDMDPABE，因此①正确；对于②PADPAE共面，故②错误；对于③ABABEAB垂直于平面内的任何直线，而ABE=45对于④ABA¢DEABAAABAB，RtBAA中不成立，故④错误．01由斜二测法画直观图步骤如下：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系【典例1】（2025高三·福建莆田·期中）ABCDABCD用斜二测画法得到的AD2BCAB1ABCDAC的长度为（）

AB2AB2BCBC1AB24所以AB24OAOC2OCxABxBC//y轴，则四边形OABC的面积为（

ABy因为OCxABx轴，所以OC//BDBC//y轴，所以四边形ODBCOCBD2AODπABxOA2AD2AB4则四边形OABC

12426所以四边形OABC的面积为SOABC22SOABC 02辨析：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的1】【多选】（2025·贵州贵阳·模拟预测）E，F，G，HABCDA1B1C1D1ABBC,CC1,C1D1AB2，则（EFHGDC KA1ADD1内（含边界）KEAA1K的轨迹长度为B选项，取DC中点为M，延长DC,EF交于点N，连接EM，如图1，因为BCEM且BCEM,F是BC的所以CFEMCF1EMMCCNDCHGT，则TCCMNTEFHGDCB222212CD1GDCQAQBCP2B选项，易证，PBC222212AP

GD1,

22,PG

2所以截面周长为

C D选项，因为EA平面AA1D1D，所以|KE|2|KA|2|AE|2，即4|KA|21，所以|KA 因此K的轨迹是以A为圆心，3为半径的1圆，所以轨迹长度为1 分别为棱C1D1C1C的中点，则下列结论正确的是（AMBNBNMB1直线MNAC所成的角为MNBA 【分析】提🎧假设证明得🎧AB正确，作🎧异面直线的平面角可CD正确.AEBNAMBNAEAMAEAM相交于点A矛盾，故ABB1BCC1B1，MBCC1B1，B1BN，BNBCC1B1BN与MNCD,ACD为直线MNAC所成的角，而ACD60 MNAC所成的角为60↗.C正确1DA1BA1BMNA1MBNA112A1B22MN

2,BN

5 52522

，因此S梯形

2 ，即D正确03辨析：在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立1】（2025·北京·模拟预测）已知平面,，直线l,m，则下面结论正确的是（若lmm，则ml若lmlm，则mA，由mm，则存在相异于l的直线abab，使mamb，即ab又a,b，所以a//，又a,l，所以a//l，故m//lA正确；B，若lm//lm//，则m//或mB错误；C，若,lm，则m//或mC错误；Dml仅说明直线mm垂直于D错误；【典例2】（2025·上海徐汇·模拟预测）已知m,n为空间中两条不同的直线，,为两个不同的平面，若m,∩n，则m//n是m//的 【解析】充分性：因为m,nm//n，所以mn共面，又因为,n，所以m，所以m必要性：因为m,n，所以n，又因为m//，所以m//n，故必要性成立，所以m//n是m//的充要条件.04辨析：注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，【典例1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）ABCDADBCCD2AB2CDAB的EABCDDEADEB为60AB、AC得到如图所示的ABCDEFAD的中点．ABECF【分析】（1）BEDCBD交CE于点O，连接OF，即可得到OF//AB，AG、CG，过点AAHCG交CGH，即可得到AGCADEB的平面角，求🎧AHAHBCDE，最后根据

A

1AHS

【解析】（1）ABCDADBCCD2AB2CDEAB的中点，BE//DCBEDC，BD交CE于点O，连接OF，则OBDFAD的中点，所以OF//AB，ABECFOFECF，AB//ECF.（2）ABCD中，由（1）ADDEAEBEBC2，即ADE为等边三角形，则AB60，连接CE，则BCE也为等边三角形，即CE2，所以DEC也为等边三角形，ABCDEDE的中点GAG、CG，过点AAHCG交CGH，AGDE且CGDE，所以AGCADEB的平面角，即AGC60AGGC323232

2222AGGCGAGGCAGCDEAGCAHAGCAHDE又GCDEGGCDEBCDEAHBCDE

2122sin6023所以

A

1AHS

13 3【典例2】（2025·河南·模拟预测）ABCDE在边CDADDE2,CE1，将ADEAEDPPABCE.FAPEF∥PBCF若PB ，求四棱锥PABCE的体积【答案】(1)FAPP(2)(2)2【分析】（1）FFGABPB于点G（2）AE的中点OPOABCE，然后利用锥体的体积公【解析】（1）FFGABPB于点G，连接CG，FGABECEFGC四点共面，EFPBCEFEFGCEFGCPBCCGEFCGEFGCFGCE1ABPFFG1 FAPPEFPBC（2）如图，取AE的中点O，连接OB，取BC的中点M，连接OM，则OM2,BM1，所以OB 又PAPE2，则OAOEOP ，又PBPOOB

7，则OB2OP2PB2POAEPOOBAEOBOAEOBABCE，POABCE，PABCE的体积为V1

213242 01求空间几何体表面积1】（2025·广西柳州·模拟预测）已知圆锥的表面积为12π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（） 则由πl2πr，得l2r，Sπr2πrl12π，即3πr212π，所以r2【典例2】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知AC4,BC2，则直角三角形ABC绕斜边AC旋转一周所形成的几何体的侧面积为 【答案】233π

的圆形，母线长为23和2AC4BC2AC,AB23由此可以得到底面的半径为r S12π

3

223

3π233πC．C．

圆柱的高为h2，则圆柱的底面半径为2a 则有a2hπ ah，整理得1

正四棱柱与圆柱的侧面积之比2π2a 1】【多选】（2025·江西·模拟预测）一个三棱锥和一个正三棱柱的所有棱长与一个表面积为S的正方体的棱长相等，则下列结论正确的是（）三棱锥的表面积为3三棱柱的表面积为(33三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为61三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为2

3: 【解析】对于A项，设正方体的棱长为a，则S6a2，解得a 则三棱锥的表面积为41a2sin60

3a2 S

3SA 对于B项，三棱柱的表面积为21a2sin603a2 3a23a2(36)S，故B错误 AD2 AD2 a2 a AD2高hAD2

6则三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为6a:a:a 6:1:1，故C正确 对于D项 11a2sin60h1

3a26a 2三棱

1a2sin60a 3a3,

a3三棱

2a3

3a3:a3

2:31D正确 A1B12AB

【答案】144 ∘4

1，则四棱台的体积V12828 中点，平面EFDB将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为 3B1D1AB2A1B14h所以

h2244224428h EFA1B1A1D1AB4A1EAD4A1FA1EF∥ABDA1EFABD则VAEF

h111144

1111411114所以分割之后较大部分的体积为V

ABCDABCD

28h7h35h VAEF 所以较小部分与较大部分的体积之比为2．

1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中不过同一点的三条直线abc，则abc共面”的一个充分不必要条件是（）Aab，且cC．ab，且c

B．ab，且c∥Aab，且cb，三条直线可能在不同的平面.选项B：ab，且c∥b，三条直线可能分布在三个平行平面内选项C：ab，且cb，c垂直于b但可能不在a与b确定得平面内GDCDG1GCEFGBBHBH（1

它们的交线GFEH平行，H的位置，利用三角形相似即可求🎧BH的值EFG与它们的交线GF,EH平行，E作直线GFEPB1B延长线交于一点，EFGB1BHPF，如图所示.EPFGEPFG，EFAA1CC1AEC1F因为EAPFC1G90，所以EAPFC1GAPC1G，又因为EAP~HBPBHBP1， BH1AE1AA1 C3】（2025·江西·模拟预测）ABCDBCBDACADEFMNBC，BD，AC，AD的中点，则下列选项正确的是（）MF

MN

MF

ENCA，B，D.MN//CDEF//CDMNEF1CDMEFN为平行四边形BCBD，ACADCDBG，CDAGAGBGGAGBGABGCDABGABABG，所以CDABME//ABMEEFMEFNMFEN，CMFENMEFNNMME,ABCDABCDA，BENCDENMNENMNN矛盾，D选项错误也平行，即α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β.1】（2025·河北保定·模拟预测）PABCDABCDABADADBCADAP2AB2BC2PAABCDEPDEPDECPABPE2EDEACPAB(2)PAFEFBF，EPD的中点，EFADEF1ADADBCAD2BC，EFBCEFBC，EFBCECBF．BFPABECPAB，ECPABABADPAABCDABADAP故可以AABADAPxyz轴建立如图所示的空间直角坐标系．A000P002D020C1,10， 42因为PE2ED，所以E0,,， 33

42 33EAC的法向量为nxyznACxy则→–– nAEyz y1x1z2，所以n1,12．ABADAPADABAPAABAPPABADPABAD020PAB的一个法向量．EACPAB的夹角为，→ncosn,则→ncosn,2 EACPAB夹角的余弦值为6

3ADABPDPAD150EPD的中点PBACEAEPAC所成角的正弦值(2)ABCDHBD的中点.EPD的中点，在△PBDHEPB.HEACEPBACEPB又底面ABCD为边长为2的正方形，PA3AD，则AD2,PA ,0

nAC

x3y2z设平面PAC的一个法向量为nx,y,z，则→–– ，即 z1，得n2,01AEPAC所成角为θsinAEPAC所成角正弦值为5

AE

1 AEAE3】（2025高三·广东广州月考）PABCDPADAD为斜边的等腰BC//ADCDADAD2DC2CB2，EPD的中点.若PAB60CEPBC的夹角的余弦值(2)33（2）PO平面ADCB，可建立如图所示空间直角坐标系，求🎧PBC法向量，然后由空EF1ADBCFECB为平行四边形ECFBECPABFBPAB，则CEPADADAD2PA

2，PO1AD1.AOODBC1AD1ODBC 则四边形ODCBBO1BOCD，结合CDAD则BOAO，AB ，结合PAB60，则PAB为等边三角形PB

2.BO1PO1PO2BO2PB2POOBPOADADOBO，AD，OBADCBPO平面ADCB11因E为PD的中点，则E0,,

2211 22

PBnxz 设平面PBC法向量为nx,y,z，则–––→ 1 1111 则

n,

，从而

1sin2 1（2025·上海·模拟预测PABC中，ABAC,PAABC,PAAB3,AC4,MMPABAC、PCE、F(1)PMABC(2)证明：平面MEFPAB，并求直线MEPAB的距离【答案】(1PAABCAM则PMAPMABC所成的角，PAAB3AC4ABAC，MBCBC5AM5所以tanPMA

6PMABC6（2）MEPABMFPABMEMFMMEMFMEF，MEF//PAB.PAABCACABC，PAAC，ACABABPAPABABPAA，ACPABME//PAB，AEMEPAB的距离，MBC中点，AE1AC2MEPAB的距离为2ADF1A1BC(2)ADBC，ADA1BCBCA1BCADA1BC因为CDA1F1CDA1F1，所以四边形CDF1A1DF1A1C，DF1A1BCA1CA1BCDF1A1BC，ADDF1DADF1A1BC（2）ADF1A1BC间的距离等价于点AA1BC的距离，设为d连接AC，则四面体AABC的体积V1 AA1 d 3 3因为V1 AA1111sin2π 13△

3 AB2AC2 AB2AC212226所以cosABC 1，从而sinA1BC 21 1121515 所以d 15，即平面ADF与平面ABC间的距离为15 S△ A1EFAD1GA1ABCDABCDA1A2AB4A1AD1G的体积(2)2EGD1A1D1GA1E.D1GAD1GA1EAD1GA1E∥AD1GE，FBB1B1C1EFBC1AD1BC1EF∥AD1AD1AD1GEFAD1GEF∥AD1GEFA1EFA1EA1EFA1EEFEA1EF∥AD1G因为2AB4ABAD2AO1AC2

14ABCDA1B1C1D1的体积V2故三棱锥GAA1D1的体积V1V1

414214 A1AD1G21406证明线线垂直的方法

共面

证明ll看两线置系 相交于点OPADABCDEPCADBDPD2,AB2OE22(1)APBD(2)再从条件①，条件②BDEABCD夹角的大小．条件①AP//BDE；条件②CE3(2)【分析】（1）ADBDPADABCDBDPAD由空间向量的夹角公式计算即得；选条件②，由条件先证OEPCEPCPD平ABCDDC的中点QQE,OQQEABCD🎧QE,OQEOQBDEABCD夹角或补角，求解即得.【解析】（1）因为在△ABD中，ADBD2，AB AD2BD2AB2ADBDPADABCDPADABCDADBDABCD，BDPADAPPADAPBD．选条件①APBDEAPBDEAPPAC，PACBDEOEAP//OE．ABCDOACE为CPAP2OE22ADPD2AD2PD2AP2ADPD．由（1）BDPADPDPADBDPD，BDADAD,BD,PD两两垂直． mDE xyzBDE的法向量为mx,yz，则

，即2y x1z1，所以m10,1ABCDn0→→ m cosm,n→→m

2BDEABCD4选条件②CE322如图，由（1）ADBD，则OC22

5又OE

2，由OE2CE2OC2，可得OEPC，因PO OC，则E为PC的中点则OE1PA

2PA

PDADPADABCDPADABCDADPDPADPDABCDDC的中点Q，连接QEOQ，则QEPD，故QEABCDBDABCD，则QEBD又QE1PD1OQ1AD1，且OQBD 又OQQEQ,OQ,QE平面OQEBD平面OQE因OE平面OQEBDOE，即EOQBDEABCD在RtOQEQEOQ，则EOQπBDEABCDπ 2】（2025·江苏南京·模拟预测）ABCDAB∥CD，ABC90AB3，BCDC1DEABEDE将ADE折起，使得点AP的位置，使PEB90NF分别BCPB的中点.EFBC(2) （1）DEPEBDEEFBCDEEFBC【解析】（1）DE将ADEPEDEBEDE，PEBEEPEBEPEB，DEPEB，EFPEBDEEFBCDEBCDEBCEF，得证（2）由（1）DEPEBPEPEBDEPEEBEDEPxyzExyz(如图NFBCPBF10,1N(110 则EF(,0,1),EN(1,,0) EFN的法向量为m(xyz––→ EFm2xz则–––→ ENmx

y

，故可取m241)DC100DP012PCD的法向量为nabc DCna ，故可取n(0,2,1)245245cosm,

105即平面EFN和平面PCD的夹角的余弦值为 105【典例3】（2025·江西·模拟预测）如图，在三棱锥ABCD中，ABBD2，BCCD ，ABBD，点E为AD的中点.BDCEABDBCDACBCE所成角的正弦值(2)【分析】（1）BD中点O，由题意可证OEBDCOBDBD平面COE，再由线面垂直BDCE；【解析】（1）BD中点O，连接COEO，则OEAB，ABBD，所以OEBD，BCCDOBD中点，所以COBD因为OCOEOOCOE平面COEBD平面COE，又CE平面COEBDCE．（2）ABDBCDABDBCDBDOEBD，且OEABD，所以OEBCD，又OCBCD，所以OEOC由（1）BDOCBDOE，所以OCOBOE以点O为坐标原点，直线OCOBOExyz nBC xyBCE的一个法向量nx,yz，则有

，即yz0n111112121n11111212121212(1)2

则sin

ACBCE所成角的正弦值为2071】（2025·河南驻马店·模拟预测）PABCPA6PBABBC32，ABBC

，PC62PAABCDPD2DCABDACD(2)【分析】（1）PAABPAAC【解析】（1）PA6PB

，AB

PA2AB2PB2PAABABBC32ABBCAC6PA6PC62，PA2AC2PC2PAACABACAABACABC，PAABC；（2）如图，以点AACAPyzABCAxACABD的一个法向量为mxyz则mAB3x3y0，令x1，则y1， ACD的一个法向量为n100，ABDACD的夹角为→

→m,

m →→m

ABDACD的夹角的余弦值为62】（2025·山东威海·模拟预测）PABCDPADABCD，△PAD为PDABADBCAD4ABBC2，MPA的中点.DMPAB(2)【分析】（1）AD中点为OPOPOADPOAB，再由（2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注🎧相关点坐标，并求🎧PBMCD的方向向量、【解析】（1）AD中点为OPO，因为△PADPOADPADABCDPADABCDADPOPAD，POABCDABABCDPOAB，PDABPOPDPPOPDPADABPAD，DMPADABDM，MPA△PADDMPAABPAAABPAPABDMPAB由（1）ABPADADPADABAD连接COAO1AD2AOBCAOBCABCO为平行四边形，故OCAB，所以OCAD故以OOC,OD,OPx,yz轴，建立空间直角坐标系，P(0023B(220M(01,3C(200D(020)，PB(2,2,23),MC(2,1,3),MD(0,3,MCD的法向量为

nMC2xy

3zy1，则n1,1,3(x,y, nMD3y3zPBPBPB,

PB,

325253】（2025·湖南益阳·模拟预测）ABCDADEFBCADEF//AD，AD4，AB ，BCEF2，AFBD,BE,BM证明BC⊥BFMABFDBE的夹角的余弦值

11，FB⊥ABCD，MADFMAD(2)3【分析】（1）FBADFMADBCAD【解析】（1）FB⊥ABCDADABCDFBAD.FMADFBFMFFBFMBFM，AD⊥BFM.BCADBC⊥BFM（2）ENADN.FMENEFAD，FMNEENAD，FMNEADEF4且AD4，EF2，所以AM 由（1）AD⊥BFMBMBFMBMADAF2AM又AB ，所以BM1，在Rt△AF2AM

10FM2BMFM2BM

3BBMBCBFx轴、y轴、z轴，A110B000F003D130E023ABF的法向量为mx1,y1z1，

x1y1由→

，得

3z1z0x1y1‴110 mDBE的法向量为nx2y2z2

x23y2由

，得2

0x29y23z223可得n9323

→ →

9因此

m,

m1101108192m

47ABFDBE34708证明面面垂直的方法1】（2025·河北衡水·模拟预测）如图，圆柱O1O2AB是底面圆O2PQ分别是底面O2O1PQ//O1O2AB2PQP不与AB两点重合.APQBPQ(2)PQO1的法向量，由线面角的向量公式求🎧BQPQO1所成角的正弦值.【解析】（1）AB是底面圆O2上的一条直径，APBP，因为O1O2⊥底面圆O2PQ//O1O2，PQ⊥底面圆O2，BP底面圆O2PQBPAPPQPAPPQAPQ，BP⊥APQ，BPBPQAPQ⊥BPQ（2）因为O1O2⊥底面圆O2APPQ2圆O2，所以O1O2PO2O1O2AO2，故AO2P60AO2PO2，所以APO2PPBPAPQxyzAB2AB2PQ，设AB2，故APAO2PO2PQ1，PBAB2B3,0,0,Q0,0,1,P0,0,0,O311 ,,1

2 , PQO→xyz则→mPO3z xyz ,1解得z0，令x1，得y ，故m1,3,0，设直线BQ与平面PQO1所成角的大小为，则

cosQB,

3QBQBQBQB3,0,11,3,30113BQPQO1所成角的正弦值为32】（2025高三·重庆南岸月考）ABCA1B1C1ACAA14BC2，ACB90A1B(2)【分析】（1）作🎧A1CAC1A1BAC1AC1BC，ACBC得到线面垂直，从而证明🎧面面垂直；【解析】（1）ABCA1B1C1A1ACC1ACAA1，A1ACC1A1C，A1BAC1A1BA1CA1A1BA1CA1BC，AC1A1BCBCA1BCAC1BC，由ACB90ACBCACAC1AACAC1A1ACC1BCA1ACC1BCABCA1ACC1⊥ABC（2）A1ACC1内过C作CQAC由（1）A1ACC1⊥ABCA1ACC1ABCACCQA1则CQABC以C为原点，以射线CACBCQxyz如图，因为A1AC60ACAA14，所以△AA1C为等边三角形，PACA1PACAPPC2AA2AA2

BC2 BA12223BP220 →–––→2x2y23z

yBAP的一个法向量nxyz，则有nBA1

nBP2x2y

zx11,10AACC→0,10 11011010

n,

→n

则

→n,

1cos BAPAACC的正弦值为 3】（2025高三·江西·期末）ABCDEFADBECFADFC与四边形BEFCADFCBEFCAD4CFAC2，点GHL分别为ADCFBC的中点.证明：平面GHLDEF(2)2330【分析】（1）根据已知有GHCF，结合面面垂直的性质有GHBEFC，进而有GHEFMFMCMBFLHEF【解析】（1）ADFCGADH为CF所以GHCFADFCBEFCADFC∩BEFC=FC所以GHBEFCEFBEFC，所以GHEFBEMFMCMBFBMFC2的菱形，BFCMLHBFCMEFLHEF，因为GHHLH且都在面GHLEF平面GHL，EFDEF，所以平面GHLDEF.（2）由（1）HMHFHGHHMHFHGx、y、z则C01,0B

3,2,0,A0,

所以CA01,3,CB

3,1,0,AE

3,4, ，nCAy3z设平面ABC的法向量为n(x,y,z)，则→–– nCB3xyz1，得n1,3,1nn34352则sincosn,AE

AEABC233009面面垂直性质的应用ABCDPACABCDPOABCD若OA2OD2DCPBC45PACPBC(2)【分析】（1）ACPOBDPOPOABCD【解析】（1）ABCDACBDPBDABCDBDACABCD，AC⊥PBD，POPBDACPOPACABCDACBDABCD，BD⊥PAC，POPACBDPOACBDOACBDABCD，POABCD；（2）由（1）ACPOBD以OOAOBOPxyzOA2OD2D010C200B0,10DC2,10，P00tt0PB0,1tCB2,10，PBC的一个法向量为mxyzmPBx,y,z0,1,tytz z2y2txt→t2t2DCPBC45DCDC

DC,

2,1,2,1,0t,2t,41t24t24化简得t1，负值舍去，则m122，PAC的一个法向量为n0,10，PACPBC夹角为cos

→m,

→ m m

214PACPBC22】（2025·四川成都·模拟预测）ABCA1B1C1的各棱长均为2BB1ABCπABBAABC 1B1ABC上的射影OAB求二面角CAB1B【分析】（1）B1OAB于OABB1A1ABCB1OABC，再证得ABB1为等边三角形，可得OAB中点；（2）过O作OHAB1H，则OHC是二面角CAB1B的平面角，由已知数据计算tanOHC【解析】（1）B1B1OAB于OABB1A1ABCABB1A1ABCABB1OABB1A1B1OABB1OABC，因此B1BA60ABBB12，从而ABB1OAB（2）由于ABC是等边三角形，所以COABABB1A1ABCABB1A1ABCABCOABC，所以COABB1A1AB1ABB1A1，则有COAB1，过O作OHAB1H，连接CHCOOHOCO,OH平面COH，AB1平面COH，由CH平面COHAB1CH则OHC是二面角CAB1B由于CO ，OH 3，所以RtOHC中，tanOHCCO2 因此二面角CAB1B的正切值为23（2025高三·河南月考PABC中，PAACPACABCPAABPAPCABAC2MPB3PMAPACM(2)【分析】（1）PACABCPDACPDABCPDAB，又PAABABPACABAC； 2223的空间坐标，对于点M满足PB3PM，可用向量线性运算求🎧AM, 3 3APACM【解析】（1）PACPACPACABCPACABCACPDPAC，PDABCABABCPDAB，PAABPAPDPPDPACPAPAC，ABPACACPACABAC．（2）由（1）以AAxyzA(000B(200P(0,1,3C(020PB213AC020

3PM3PB33

3

3 2223AMAPPM0,1,33,

3,,3

2223

3 即AM, 3 3ACM的一个法向量m(x,yz

mAC2y

z1→

3,0,1)mAMxy

3zAP0,1,3APACM所成角为mmm则sincos 3m,

2 APACM所成角的正弦值为310第四步取舍：因为异面直线所成角θ0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为DD1PQAO所成角的大小为（

PQ//BD1PQAOBD1AOBD1AD1,PQ//BD1PQAOBD1AO所成的角由AB//A1B1//D1C1,ABA1B1D1C1可得ABC1D1,则BD1与AO相交在Rt△ABO和RtDABtanBAOBO

2，tanADB

AB 2

所以tanBAOtanADB，所以BAOADB，所以BAOABDADBABDπ AOBDPQAOπ 2】（2025·新疆喀什·模拟预测）2ABCDA1B1C1D116，则直ACA1B所成角的余弦值为（）2

3AD1CD1A1BD1CAC的中点O，连接OD1，则OD1AC

2

442AC22AD142212所以cosACD

10 ACA1B所成角的余弦值为10BEPC所成角的余弦值为（

ACAC的中点OBOEO，EOPC，BEPC所成角为BEO（或其补角在△BOE中，EO1PC1,OB1AC 2,BE 3PA BE2EO2 312则cosBEO 22BE BEPC所成角的余弦值为31111BAA向平面做垂线，确O；1】（2025高三·广东东莞·期末）PABCDABCD2的正方形，E,FBD,AP的中点．(1)EFPBC(2)PAPC22PCPBD(2)π（2）ACPBD，即得∠CPEPCPBD所成角，借助于Rt△CPE，即可求得答案【解析】（1）ACABCDEACFAPEF//PCEFPBCPCPBCEFPBC（2）EP，由（1）EACPAPCEPACABCDACBDBDAC，BDIEPE,BD,EPPBDACPBDPCPBD所成角为∠CPE因为在Rt△CPE中，CE2,PC ，则sinCPECE1 故CPEπPCPBD所成角的大小为π 2】（2025高三·全国月考）如图，在四棱锥CABNMABNM2ABC为MBNCEFMN,AC的中点．ACMB①四棱锥CABNM②MB6 ，求直线EF与平面MBC所成角的正弦值(2)15【分析】（1）MBANC（2）选①BC的中点GFGNGMGMFBFMGEFO，直线OF与平面F到平面MBCh🎧h🎧EF与平面选②：前同①的方法，由等体积法有VFMBCVCMFB，求🎧h，进而求🎧EFMBC所成角的正弦值【解析】（1）ABNM2，BMAN．MBNCANANCNCANCANNCNMBANCACMBBC的中点GFG,NGMGMFBFFGABMN，所以ME,GFMGEFOFG1ABEM，所以OMGEF所以直线OFMBC所成的角即为所求，记为，F到平面MBCh．因为ABCFAC的中点，BFAC．由（1）ACMBBFMBB且两直线在平面内。ACMFBACMF，FAC的中点知，

1

1 1F C

C

4C 则1h 1CF 1 又CF1AC1，得 3 在MFBMFBF3MFBFMB6在△MBCMCBC2MB6S△MBC

15，所以h

15MFBFMFACBFACF且两直线在平面内，MFABCMFFG．在RtMFGOF1MG1，则sinh

15EFMBC所成角的正弦值为15在MFBMFBF

3MB

6MFBFMFACBFACF且两直线在平面内，MFABCMFFG．在RtMFGOF1MG在△MBCMCBC2MB由等体积法有VFMBCVCMFB

6S△MBC

15即1h 1CF

1131

所以h

15，则sinh

15EFMBC所成角的正弦值为153（2025高三·黑龙江牡丹江·期末PABCDABCD为平行四边形，△PCDPACPCDPACDCD2AD3．PAPCDADPAC(2)【分析】（1）PCNDNDNPAC，DNPA，再由线面垂直的判定得证即可.（2）由线面角的概念可得NADADPAC所成的角，再结合定义法得解即可【解析】（1）PCNDN因为△PCDDNPCPACPCDPACPCDPCDNPCD，DNPAC，PAPACDNPAPACDDNCDDDNCDPCDPAPCD由（1）DNPAC，故NADADPACAD2DN由CD2，AD3可得DN3，ANAD2DN故cosNADAN 6 12AB作棱的垂CAC，则∠ACB或其补角即为二面角的平面角．射影面积法：若二面角一个面上的几何图形的面积为S

＝(客观题1（2025高三·全国月考）ABCD中，B60D90AD3DC4ABBC（如图）AC将ABCBADCE恰落在CD上（如图）．ADBCDACB求CDABD(2)(3)【分析】（1）ADBCDACFBFFE，由题可得BFEDACBECx，x表示相关边长，即可得答案；由（1），可得BDE为所求角，然后由题意及余弦定理可得答案【解析】（1）BEADCADADC，BEADADDCBE，DCBCDBEDCE，ADBCDBCBCDADBC由题可得ABCACFBFBFAC，又由（1）BEACBF，BEBFEBFBEBACBFEFEFEBFEACFE从而BFEDACB的平面角ECxEFECsinACDAC5，则sinACDAD3 EF3xFCECcosACD4x.又由题可得ABCBF

3FC43xBEADCFEADCBEFE则cosBFEFE

34 由（1）ADBCDADABDADBBDCCABDDBCDBBDE为所求角.BEADCDCADCBEDCBC2BC2EC

，又由（2）BE

9x

25BF225x239x25BF2 55BE2DE则BE ，从而DEDCECBE2DE

4 164925从而cosBDE

DEBE

72BD

24 ADCD1AB，EAB中点 AA1ABCDABAA1ABADADA1B(2)（ⅰ）证明见解析;【分析】（1）取AA1的中点F，连接EF，DF，证明CDFE，可得CE//DF，再由线线平行证得线面平（2）（ⅰ）AA1ADADABB1A1ADA1B；（ⅱ）过点AAHBCHBCAA1HBCA1H，则得A1HAA1BCA的平面角，利用平面几何知识推理即可在Rt△A1AH中，求得其正切值.AA1FEF，DFEABEFABEF1AB AB//CDCD1ABEF//CDEFCD故得CDFE，则CE//DF因CEADD1A1DFADD1A1，故CEADD1A1.（2）（ⅰ）AA1ABCDADABCDAA1ADABADAA1ABAAA1ABABB1A1ADABB1A1，A1BABB1A1ADA1B.（ⅱ）ABCD内，过点AAHBCHA1H，AA1ABCDBCABCDAA1BC，AA1AHAAA1AHAA1HBCAA1HA1HAA1HBCA1H，故A1HAA1BCA的平面角12(2设12(2

2，AA12在ABC1ABAD1BCAHAH212 在Rt△AAHtanAHAAA122 即二面角A1BCA的正切值 3】（2025高三·湖南怀化·期末）PABCD