江苏省扬州市2025-2026学年高一下学期期末测试数学试题

PAGE10NUMPAGES10江苏扬州市2025-20268540分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求sin63∘cos33∘−cos63∘sin33∘= −

若一组数据𝑥1,𝑥2,𝑥3⋯𝑥𝑛的平均数为2，方差为3，对于数据2𝑥1−，2𝑥2−，2𝑥3−1,⋯,𝑥𝑛−，下列说法正确的是( )平均数为3，方差为 B.平均数为4，方差为C.平均数为4，方差为 D.平均数为3，方差为已知𝛼∈ 2B. C.(1,24.已知向量𝑎=(3,1)，𝑏=(1,3)，则𝑏在𝑎方向上的投影向量为 323C.(323C.( 若𝑙//𝛼，𝛼//𝛽，则 B.若𝑙//𝛼，𝑙//𝛽，则C.若𝑙//𝛼，𝑙⊥𝛽，则𝛼⊥ D.若𝛼⊥𝛽，𝑙//𝛼，则𝑙⊥船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西30∘，且与甲船相距5𝑘𝑚的𝐶处的乙船，则乙船前往营救

.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球𝑂的球面上，该圆锥的底面半径为23扇形，则球𝑂的半径等于 ​

​

9999已知正五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸内接于半径为2的圆𝑂99995+

318下列关于统计量的说法正确的有 一组数据的众数唯 B.一组数据的平均数唯C.一组数据的第60百分位数唯 D.一组数据的方差越大，数据波动越已知𝛼，𝛽∈ ，sin(2𝛼+𝛽)=3sin𝛽，则下列说法正确的有 若𝛼=，则tan𝛽=

B.tan(𝛼+𝛽)= C.∃𝛼，𝛽，使得𝛼= D.tan𝛽的最大值为11.如图，正四棱台𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的上、下底面中心分别为𝑂1､𝑂，且𝐴𝐵=2𝐴1𝐵1=4，𝑂1𝑂= 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷1//平面二面角𝐵−𝐵𝐶−𝐴的大小为 若𝑃为线段𝐵𝐷1上的一动点，则𝐴𝑃+𝐶𝑃的最小值为351512.已知事件𝐴，𝐵相互独立，且𝑃(𝐴)=0.4,𝑃(𝐵)=0.6，则𝑃(𝐴𝐵)= 13.在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，已知点𝐸满足𝐴𝐸=3𝐸𝐵，若𝐶𝐸=𝑥𝐴𝐵+𝑦𝐴𝐷，则𝑥+𝑦的值 14.在𝖺𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=135，𝐷1,𝐷2,𝐷2026依次为边𝐵𝐶上的点，且𝐵𝐷1𝐷1𝐷2𝐷2𝐷3𝐷2026=𝐷2026𝐶，设∠𝐵𝐴𝐷1=𝛼1，∠𝐷1𝐴𝐷2=𝛼2，∠𝐷2025𝐴𝐷2026=𝛼2026，∠𝐷2026𝐴𝐶=𝛼2027 sin𝛼2sin𝛼4⋅⋅⋅sin𝛼2026的值 577 已知0<𝛼<2，0<𝛽<2，𝑎=cos𝛼,sin𝛼 3sin𝛽，𝑏=sin𝛼,−cos𝛼 3cos𝛽，且(1)求cos(𝛼𝛽)(2)若tan𝛼=4，求sin𝛽如图，正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐶∩𝐵𝐷=若点𝐸为棱𝐴𝐴1的中点，求证：平面𝐸𝐵𝐷⊥平面若点𝐹为线段𝐴1𝐵1上的动点(不包括端点)，在下图中画出平面𝐷与上表面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1作图的理由．0123401234求条形图中的频数从一周内使用自行车次数为1次和2次的居民中，按分层抽样的方法抽取5人．现从这5人中任意抽取人，求这2已知𝖺𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，满足𝑐(2−3cos𝐴)=求𝑏(2)已知角𝐴的平分线交𝐵𝐶于𝐷，𝐸为𝐴𝐶的中点，𝐴𝐷与𝐵𝐸交于点𝐺，且𝐵𝐸=4①若𝐴𝐺=33，求角𝐴②求𝖺𝐺𝐵𝐶如图，在等腰梯形𝐴𝐴1𝐵𝐶中，𝐵𝐶//𝐴𝐴1，𝐵𝐶=3，𝐴𝐴1=4．𝑃为线段𝐴𝐴1的中点，点𝐺为等边𝖺𝑃𝐵𝐶的中求证：𝐵𝐶平面(3)已知𝑙为平面𝑃𝐵𝐶内过点𝐺的一条直线，交𝐵𝐶为𝑀，设𝐵𝑀=𝜆𝐵𝐶(0<𝜆<1).是否存在直线𝑙，使得𝑙与所成角的正弦值为242【答案】【答案】【答案】【答案】【答案】【答案】【答案】【答案】【答案】【答案】【答案】【答案】【答案】【答案】【答案】解：(1)∵𝑎=cos𝛼,sin𝛼 3sin𝛽，𝑏=sin𝛼,−cos𝛼 3cos𝛽，且∴cos𝛼−cos𝛼 3cos𝛽=sin𝛼sin𝛼 3sin𝛽即3(cos𝛼cos𝛽−sin𝛼sin𝛽)=𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼，整理得3cos(𝛼+𝛽)=所以cos(𝛼𝛽)=(2)由tan𝛼=3，𝛼∈ ，可得sin𝛼=3，即sin𝛼=则𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼=

𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=1，解得sin𝛼=5，cos𝛼= ∵0<𝛼<2，0<𝛽<2，则0<𝛼+𝛽<1−𝑐𝑜𝑠2(𝛼+1−𝑐𝑜𝑠2(𝛼+∴sin(𝛼+𝛽)

=∴sin𝛽=sin[(𝛼+𝛽)−𝛼]=sin(𝛼+𝛽)cos𝛼−cos(𝛼+=

46−33× ×5

【答案】解：(1)如图，连接∵正方体∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝐴𝐴1⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐵𝐷⊂平面∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷且𝐴𝐴1⊥𝐵𝐷,∵𝐴𝐶，𝐴𝐴1⊂平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1，𝐴𝐶∩𝐴𝐴1=∴𝐵𝐷平面∵𝐸𝑂，𝐶1𝑂⊂平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1,∴𝐵𝐷⊥𝐸𝑂，𝐵𝐷⊥设正方体的棱长为2，则𝐴𝐸=1，𝐴𝑂= 2，𝐴1𝐶1=22，由勾股定理得𝐸𝑂= 3，𝐶1𝑂= 6，𝐶1𝐸=3，∴𝐸𝑂2+𝐶1𝑂2=𝐶1𝐸2，∴𝐸𝑂⊥(方法一)∵𝐶1𝑂，𝐵𝐷⊂平面𝐵𝐷𝐶1，𝐶1𝑂∩𝐵𝐷=𝑂∴𝐸𝑂⊥平面∵𝐸𝑂平面𝐸𝐵𝐷平面𝐸𝐵𝐷平面(方法二)由𝐸𝑂⊥𝐶1𝑂得二面角𝐸−𝐵𝐷−𝐶1的大小为90∘，所以平面𝐸𝐵𝐷⊥平面𝐵𝐷𝐶1．(2)如图，连接𝐵1𝐷1，过点𝐹作𝐹𝑀//𝐵1𝐷1交𝐴1𝐷1于则𝐹𝑀为平面𝐵𝐷𝐹与正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1∵正方体∴平面𝐴𝐵𝐶𝐷//平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，𝐵𝐵1//𝐷𝐷1且𝐵𝐵1=∴四边形𝐵𝐷𝐷1𝐵1∴∵平面𝐵𝐷𝐹∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐷，平面𝐵𝐷𝐹∩平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1=∴∴17.【答案】解：(1)由题意，总人数为50，0次频数：𝑚=500.1=2次频数：50×0.3=15；3次频数：17；4次及以上频数：3；所以1次频数：𝑛=50−𝑚−15−17−3=50−5−15−17−3=10；(2)用分层抽样法抽取的5人中，使用自行车1次的居民 ×5=2人，记为𝐴，𝐴 使用2次的居民有15×5=3人，记为𝐵，𝐵，𝐵记“2人使用次数不同”为事件

𝛺=(𝐴1,𝐴2),(𝐴1,𝐵1),(𝐴1,𝐵2),(𝐴1,𝐵3),(𝐴2,𝐵1),(𝐴2,𝐵2),(𝐴2,𝐵3),(𝐵1,𝐵2),(𝐵1,𝐵3),(𝐵2,𝐵3)，共1种，其中𝐴=(𝐴1,𝐵1),(𝐴1,𝐵2),(𝐴1,𝐵3),(𝐴2,𝐵1),(𝐴2,𝐵2),(𝐴2,𝐵3)，共6种，所以，𝑃(𝐴)= 10=(3)记30名男性样本为𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥30，平均数为𝑥=3，方差为𝑠12=20；记20名女性样本为𝑦1,𝑦2,⋯,𝑦20，平均数为𝑦=1，方差为𝑠22=30；所有样本的总平均数为𝑥总，方差为𝑠总2，样本容量为50． =30×3+20×1=11(次 30𝑠2+30(𝑥−𝑥)2+20𝑠2+

)2

30×20+30

+20×30+20 =18.【答案】解：(1)由𝑐(2−3cos𝐴)=3𝑎cos𝐶，利用正弦定理得3sin𝐴cos𝐶=2sin𝐶−3cos𝐴sin𝐶，可得3sin𝐴cos𝐶+3cos𝐴sin𝐶=2sin𝐶，则3sin(𝐴𝐶)=2sin𝐶，即3sin𝐵=2sin𝐶

=

= (2)①由(1)得2𝑐=3𝑏，由题意知𝐸为𝐴𝐶的中点，故2𝐴𝐵=6𝐴𝐸，即𝐴𝐵= =𝐵𝐺 𝐴𝐸 由于角𝐴的平分线交𝐵𝐶于𝐷，故sin∠𝐵𝐴𝐺=sin∠𝐸𝐴𝐺，而sin∠𝐵𝐺𝐴= 可得𝐴𝐸=𝐺𝐸=3，结合𝐵𝐸=47，可得𝐵𝐺=37，𝐺𝐸 不妨设𝑏=2𝑘，𝑐=3𝑘,𝑘>在𝖺𝐴𝐵𝐺中，由余弦定理可得，𝐴𝐵2=𝐺𝐵2+𝐺𝐴2−2𝐺𝐵⋅𝐺𝐴cos∠𝐵𝐺𝐴，即9𝑘2=63+27−1821cos∠𝐵𝐺𝐴，在𝖺𝐴𝐸𝐺中，𝐴𝐸2=𝐴𝐺2+𝐺𝐸2−2𝐴𝐺⋅即𝑘2=27+7−621cos(𝜋−∠𝐵𝐺𝐴)，和9𝑘2=63+27−1821cos∠𝐵𝐺𝐴联立，得𝑘=则𝐴𝐵=12,𝐴𝐶=8,𝐴𝐸=在𝖺𝐴𝐵𝐸中，cos𝐴=𝐴𝐵2+𝐴𝐸2−𝐵𝐸2=

=2，𝐴∈(0,𝜋)，则𝐴=②在𝖺𝐴𝐵𝐶中，不妨设𝐴=2𝛼，𝑏=2𝑘，𝑐=3𝑘，𝑆𝖺𝐴𝐵𝐷𝑆𝖺𝐴𝐷𝐶=得到𝐴𝐵⋅𝐴𝐷sin𝛼

1𝐴𝐶⋅𝐴𝐷sin𝛼

1𝐴𝐵⋅可得(3𝑘2𝑘𝐴𝐷sin𝛼=3𝑘2𝑘2sin𝛼cos𝛼，即𝐴𝐷=同理在𝖺𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐺3𝑘cos𝛼，所以𝐴𝐺则

△𝐺𝐵𝐶=8𝑆△𝐴𝐵𝐶=4𝑆△𝐴𝐵𝐸，𝑆△𝐴𝐵𝐸=2𝑘×3𝑘×sin𝐴而𝐵𝐸2=𝐴𝐵2+𝐴𝐸2−2𝐴𝐵⋅即112=9𝑘2+𝑘2−6𝑘2cos𝐴，𝑘2=

2sin𝐴cos 𝑠𝑖𝑛2𝐴

2tan 1+𝑡𝑎𝑛2

84tan 故𝑆△𝐴𝐵𝐸

=84

2

22𝐴=84

22𝐴

𝐴2

𝐴1

2−𝑠𝑖𝑛

4𝑡𝑎𝑛2

4tan 𝑠𝑖𝑛2𝐴+𝑐𝑜𝑠2

1+𝑡𝑎𝑛2

tan4tan𝐴⋅4tan𝐴⋅tan

，故tan𝐴>0，则4tan𝐴+1≥

=由于𝐴∈(0,𝜋)，2 1≤21，即4tan

≤

tan2tan

当且仅当

=2取得等号，则𝑆𝖺𝐺𝐵𝐶

×21=4∵𝑃𝐶=𝑃𝐵=3，∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐴𝑃𝐵=60∘，𝐴𝑃=𝐴𝑃2+𝑃𝐶2−2𝐴𝑃×𝑃𝐶×cos𝐴𝑃2+𝑃𝐶2−2𝐴𝑃×𝑃𝐶×cos∵点𝐺为等边𝖺𝑃𝐵𝐶∴𝑃𝐷⊥𝐵𝐶，𝐷为𝐵𝐶∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶∵𝐴𝐷,𝑃𝐷平面𝐴𝑃𝐷，𝐴𝐷𝑃𝐷=∴𝐵𝐶平面𝐴𝑃𝐷，即𝐵𝐶平面∵正三角形𝖺𝑃𝐵𝐶中，𝑃𝐶=𝑃𝐵=3，𝑃𝐷=3 7−∵𝐴𝐵=𝐴𝐶 7,∴7−

19，

2，𝐵𝐷=∵𝐴𝑃=2，∴cos∠𝐴𝐷𝑃

2+33 = ，∠𝐴𝐷𝑃 2×19×3 4 19 3

19×3 4 3∴sin∠𝐴𝐷𝑃

=，𝑆△𝐴𝐵𝑃=2×2×2×sin∠𝐴𝐷𝑃

× ∴𝑉=

+

32×3=3

𝐶−𝐴𝐷𝑃=3×