第1课时相等关系与不等关系课件2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第1课时相等关系与不等关系【学习目标】1.了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系.(数学抽象)2.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.(数学抽象)3.会运用作差法比较两个数或式的大小、证明不等式.(逻辑推理)一、不等式与不等关系不等式的定义所含的两个要点:(1)不等符号<,>,__,__或≠.(2)所表示的关系是_________.[思考]1.5≥3,2≥2,2≤2这三个命题都是真命题吗?为什么?提示:都是真命题.不等式a≥b的含义是指“a>b或者a=b”,即若a>b或a=b之中有一个正确,则a≥b正确.a≤b也类似.≤≥不等关系二、实数a,b的大小比较文字语言数学语言等价条件a-b是正数a-b>0a>ba-b等于零a-b=0a=ba-b是负数a-b<0a<b[点睛]这里的a,b两数是任意实数.[思考]2.式子x2+1与2x都随x的变化而变化,其大小关系并不显而易见.你能想个办法,比较x2+1与2x的大小吗?提示:两式作差;因为x2+1-2x=(x-1)2≥0,所以x2+1≥2x.三、重要不等式一般地,∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当____时,等号成立.a=b【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)a不小于b应表示为a>b.()提示:a不小于b应表示为a≥b.(2)任意两个实数a,b之间的大小关系,有且只有a>b,a<b两种关系中的一种.()提示:任意两数之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种,没有其他大小关系.××(3)若x-y<0,我们就说x大于y.()提示:若x-y<0,则x小于y.(4)∀a,b∈R,且a≠b有a2+b2>2ab.()提示:因为a≠b,所以a2+b2>2ab.×√类型1用不等式(组)表示不等关系(逻辑推理)【典例1】(1)下列关于不等关系的说法不正确的是(

)A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车载货物高度h(米)满足h≤4.5B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为a-b>0C.不等式x≥2的含义是指x不小于2D.若a<b或a=b之中有一个正确,则a≤b正确√【解析】选B.因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”,不超过用“≤”表示,A正确;因为“非负数”即“不是负数”,所以a-b≥0,B不正确;因为不等式x≥2表示x>2或x=2,即x不小于2,C正确;因为不等式a≤b表示a<b或a=b,故若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b一定正确,D正确.(2)(2026·保定高一检测)某投资方对某项目提出两个投资方案:方案一为一次性投资1000万元;方案二为第一年投资200万元,以后每年投资30万元.下列不等式表示“经过n年后,方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是(

)A.30n+170≤1000

B.30n+170≥1000C.30n+200≥1000

D.30n+170>1000【解析】选B.由题意得,经过n年后,方案二的总投资为200+30(n-1)=(30n+170)万元,则“经过n年后,方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为30n+170≥1000.√【解题有招】用不等式(组)表示不等关系的步骤(1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等.(2)适当地设未知数表示变量.(3)用不等号表示关键词语,连接变量得不等式.提醒:要注意题中的隐性不等关系,如由变量的实际意义限制的范围.【即学即练】1.中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下:乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a,b,c(单位:cm),若体积不超过73500cm3,用数学关系式可表示为(

)A.a+b+c<130且abc<73500 B.a+b+c>130且abc>73500C.a+b+c≤130且abc≤73500 D.a+b+c≥130且abc≥73500【解析】选C.由长、宽、高之和不超过130cm,得a+b+c≤130,由体积不超过73500cm3,得abc≤73500.√

√

【解题有招】作差法比较大小的步骤【即学即练】(2026·玉溪高一检测)(1)比较大小:x2+y2+2与2(x+2y-2);(2)已知a>0,b>0,试比较a4+a3b和b4+ab3的大小.【解析】(1)x2+y2+2-2(x+2y-2)=x2-2x+1+y2-4y+4+1=(x-1)2+(y-2)2+1>0,因为(x-1)2≥0,(y-2)2≥0,所以(x-1)2+(y-2)2+1>0,即x2+y2+2>2(x+2y-2).(2)依题意,a4+a3b-(b4+ab3)=(a2+b2)(a2-b2)+ab(a2-b2)=(a2-b2)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b)(a2+ab+b2),由a>0,b>0,得a+b>0,a2+ab+b2>0,所以当a>b>0时,a4+a3b>b4+ab3;当a=b>0时,a4+a3b=b4+ab3;当0<a<b时,a4+a3b<b4+ab3.类型3作差法证明不等式(逻辑推理)【典例3】已知a>0,b>0,证明:a3+b3≥ab2+a2b.【证明】a3+b3-(ab2+a2b)=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b)=(a+b)(a2-2ab+b2).因为a>0,b>0,且a2+b2≥2ab,所以a+b>0,a2+b2-2ab≥0.所以a