2026年自贡市中考数学试卷（含答案及解析）

机密★启用前[考试时间:2026年6月13日09:00-11:00]自贡市2026年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答卷时，须将答案答答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如果无人机上升60m记作+60m，那么下降80m记作（）A.+80m B.-60m C.+20m D.-80m2.2026年春节期间，自贡市江姐故里、玉章故里等红色旅游景区接待游客约95700人次.将95700用科学记数法表示为（）A.0.957×104 B.9.57×1043.下面几何体中，分别从正面、左面、上面观察到的图形都相同的是（）4.自贡灯会素有“天下第一灯”的美誉.下面四幅灯组图案中，属于轴对称图形的是（5.下列说法正确的是（）A.了解全国中学生的视力和用眼卫生情况应采购全面调查B.“经过两点有且只有一条直线”是必然事件C.任意一组数据的众数都只有一个D.甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S甲6.科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强P（单位：Pa）与受力面积S（单位：m²）存在函数关系.下表是他们实验的几组数据：S（单位:m²）1248P（单位:Pa）80402010则压强P（Pa）与受力面积S（m²）之间的函数关系式是（）.A.P＝S80 B.P＝80S C.P＝80S D.P＝7.如图,Rt△OAB中,∠B＝30°,OA＝2,AB平行于x轴,将Rt△OAB绕原点O顺时针旋转180°到△OCD位置,CD交y轴于点P，则点P的坐标为（）A.（0，﹣3） B.（0，3）C.（0,-1） D.（﹣3，8.我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理.如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作S₁，S₂，正方形ABCD的面积记作S₃,则S₁,S₂与S₃的关系是（）A.SB.SC.SD.29.如图,在▱ABCD中,AB＝8,AD＝6,∠D＝60°,∠DAB与∠ABC的角平分线分别交CD于点E,F,AE与BF相交于点P,连接CP,则sin∠PCF的值为（）A.2－3 B.C.32 D.10.如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B＝90°,点P从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿D→A→B→C匀速运动，到达点C后停止运动；同时点Q从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿D→C匀速运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动，过点P作PF⊥CD于点F,设运动时间为x秒,PF+DQ＝y,y关于x的函数图象如图2所示,则CD的长为（）A.8 B.9 C.10 D.11第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚，答在试题卷上无效。二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）11.分解因式：n212.正五边形ABCDE与等腰Rt△CDF按如图摆放,则∠BCF＝°.13.每天适量饮水有利于身体健康.生活老师想了解全班学生饮水情况，随机抽取该班5名学生进行调查,他们每天的饮水量分别为:1,1.5,1.2.2.2.2（单位:L）.这组数据的中位数为.14.“剪纸”是自贡“小三绝”之一.学校劳动实践课上，要求用半径为2dm的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为1dm，剪去空白部分，则剩下部分面积为dm².15.如图,正方形ABCD中,点E为CD的中点,作∠EBF＝45°,交AD于点F.点G,H分别在等腰Rt△DFQ的直角边DQ和斜边FQ上，且GQ＝2FH,FG与DH交于点P.连接BP,若AF＝2,则BP的最小值为三、解答题（共9个题，共90分）16.（本题满分8分）计算：∣17.（本题满分8分）解不等式组：2x＜x＋2①18.（本题满分8分）如图,在矩形ABCD中,点E,F分别为边AD,BC上的点,且DE＝BF,连接AF,CE.求证:AF＝CE.19.（本题满分10分）为促进学生积极参加体育活动，某校准备在八年级开展球类比赛.从“羽毛球”“排球”“乒乓球”“篮球”四类中，通过投票选出最受欢迎的项目.投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：请根据以上信息，完成下列问题：（1）本次投票共人参与，其中“乒乓球”所占百分比为，并补全条形统计图；（2）某班最喜欢乒乓球且又具实力的有4名同学（两男两女），从这4人中随机抽取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人为“一男一女”的概率.20.（本题满分10分）在七年级校园足球赛中，每班球队要进行15场比赛.每场比赛结果分为胜、平、负，胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分.（1）1班负了3场，总积分为20分，求1班胜了多少场?（2）2班总积分为15分，请直接写出2班比赛胜、平、负场数可能的结果（写出两种情况即可）.21.（本题满分10分）如图，反比例函数y1＝mx与一次函数y2＝x+n的图象相交于A，B两点,点A的坐标为（1）求反比例函数的解析式及n的值；（2）请直接写出当y1＞y（3）点P是直线y2＝x+n上的一个动点，当OP⊥AB22.（木题满分10分）如图1,等边△ABC内接于⊙O,D为BC中点,连接OD并延长交⊙O于点E,作EM∥BC.（1）求证:EM是⊙O的切线.（2）如图2，点F为射线EM上的动点，连接FB并延长与⊙O的优弧BAC交于点P（与点B,C不重合）,连接PA,PC.①在点F运动过程中，请探究线段PA，PB，PC的数量关系并说明理由：②连接CE,若AB＝23,当点P到CE23.（本题满分12分）在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度.要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度1.5m）和笔直的竹竿（长度2m）进行测量.（1）小刚建议这样测量：如图1，线段AC表示所要测量的大树，在操场上F点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿DE（长度2m）顶部E恰好看到树顶端A，此时竖直竹竿DE与小刚FG的水平距离DF＝2m.小刚将观测点F后移13m到F′处，采用同样方法，测得D′F′＝3m.小刚眼睛距离地面的高度FG＝F′G′＝0.8m,点F′,D′,F,D与树的底部C在同一水平线上.据此可知点E到BG′的距离EH为m，图中两组相似三角形是，请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到0.1m）：（2）小明提出可以这样改进：如图2，在点F处安置测角仪（高度1.5m）测得树顶端A的仰角∠AGB＝26.7°,前行到点E处测得树顶端A的仰角∠ADB＝45°,点E,F与树的底部C在同一水平线上，量得EF＝16m.请按此方案求树的高度（结果精确到0.1m）.（参考数据sin26.7°≈0.45,cos26.7°≈0.89,tan26.7°≈0.50）（3）两种方法算出树的高度一致吗?如果不一致，请分析原因（写出一条即可）.24.（本题满分14分）平面直角坐标系中，抛物线y＝-12x2＋mx＋n经过（0（1）求m,n的值.（2）如图，过原点O的两条直线与该抛物线相交于点A，B，C，D（点A在第三象限，点C在第二象限）.①求线段OC长度的最小值；②连接AC,BD分别交x轴于E,F两点,设△OAE,△OBF的面积分别为S1,S自贡市2026年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学答案及解析题号12345678910答案D.B.ACBCABDC答案详解1.D【分析】根据已知的上升的记法，即可推出下降的记法.【详解】无人机上升60m记作＋60m，那么下降80m记作－80m.2.B【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ，要求满足1≤|a|＜10，n为整数.【详解】解：∵将原数95700变形为符合要求的a时，小数点向左移动了4位，得到a＝9.57，满足1≤9.57＜10，∴n＝4，因此95700用科学记数法表示为9.57×10⁴.3.A【分析】根据主视图，左视图，俯视图的定义找出从正面，左面，上面看到的几何体的形状图都一样的几何体即可.【详解】对于选项A（正方体）：从正面、左面、上面看都是正方形，图形都相同，符合题意；对于选项B（三棱柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是三角形，图形不同，不符合题意；对于选项C（圆锥）：从正面和左面看是三角形，从上面看是圆（含圆心），图形不同，不符合题意；对于选项D（圆柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是圆，图形不同，不符合题意.4.C【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，对各选项进行判断即可.【详解】A.该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B.该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C.该图形能找到一条竖直的对称轴，沿对称轴折叠后左右两部分能完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意；D.该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意.5.B【分析】根据全面调查的、事件发生的可能性大小、众数的概念以及方差的意义进行分析判断.【详解】A、全国中学生数量庞大，全面调查难度大，应采用抽样调查，故A错误；B、“经过两点有且只有一条直线”是直线的基本公理，该事件一定发生，属于必然事件，故B正确;C、一组数据的众数可以有多个，例如数据1，1，2，2，3的众数为1和2，故C错误；D、方差越小，成绩越稳定，S甲2＞6.C【分析】判断p与S为反比例函数关系，再根据表格数据求比例系数，即可得到函数关系式.【详解】解:∵根据表格数据计算得:1×80＝80，2×40＝80，4×20＝80，8×10＝80，∴压力一定时，压强P与受力面积S成反比例关系，可设p＝kSk≠0，∴p∴p7.A【分析】根据旋转的性质，可得到对应边、对应角相等，再结合平行线的性质，推导出CD与y轴的位置关系，进而利用直角三角形的三角函数关系求出OP的长度，确定点P的坐标.【详解】解:在Rt△AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°，∴∠A＝60°，由旋转的性质得，∠COD＝90°，∠D＝30°，∠C＝60°，OC＝2，CD∥x轴，∴CD⊥OP，∴Rt△OCP中，OP∵P在y轴的负半轴，∴P的坐标为（08.B【分析】取点E，F，容易证明△ADE≌△DCF（AAS），则DE＝CF，由勾股定理可得AE2＋【详解】解:如图，取点E，F，根据题意可知，∠A＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∵∠ADE＋∠CDF∠CDF＋∠DCF＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF（AAS），∴DE＝CF，在Rt△ADE中，A∵∴9.D【分析】先由平行四边形性质及角平分线定义得出相关角度，进而由等边三角形的判定与性质得出△ADE是等边三角形，确定AE＝DE＝AD＝6，再结合含30°直角三角形性质得出PE＝CE＝2，由等边对等角及外角性质求出∠PCF＝30°，最后根据特殊角的三角函数值求解即可.【详解】解:在▱ABCD中，∠D＝60°，AB∥CD，则∠BAD＝120°，∠ABC＝60°，∵AE平分∠BAD，∴∠在□ABCD中，AB∥CD，则∠DEA＝∠BAE＝60°，DC＝AB＝8，在△ADE中，∠D＝∠DAE＝∠AED＝60°，则△ADE是等边三角形，∴AE＝DE＝AD＝6，则EC＝DC－DE＝8－6＝2，∵BF平分∠ABC，∴∠在△ABP中，∠PAB＝60°，∠PBA＝30°，则∠APB＝90°，∴在Rt△APB中，∠ABP＝30°，AB＝8，则PA∴PE＝AE－AP＝6－4＝2，∴PE＝CE＝2，则∠PCE＝∠CPE，∵∠PEF是△PEC的一个外角，且∠PEF＝60°，∴∠PCF∴10.C【分析】过A作AH⊥DC于H，可证得四边形AHCB为矩形，△DPF∽△DAH，根据相似三角形的性质得到比例式，再表示出PF，DQ关于x的式子，代入到PF＋DQ＝y中，得到关系式，再结合函数图象求出AD，AH，DH的长，结合沿BC运动时候的函数图像求出AB的长，进而可求出CD的长.【详解】解:过A作AH⊥DC于H，如图所示，∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∵∠B＝90°，∴∠C＝90°∵AH⊥DC∴∠AHC＝90°∴四边形AHCB为矩形，∴AH＝BC，AB＝HC，当P在DA上运动时，∵PF⊥CD，∴PF∥AH，∴△DPF∽△DAH，∴由题设DP＝2x，则DQ＝x，∴∴由函数图象可知，当x∴当P到达A点后，P在AB上运动时，PF恒等于高AH，此时y＝AH＋x，由函数图象可知，当x＝4时y＝8，∴AH＋4＝8，即AH＝4，∴AH＝BC＝4，把解得AD＝5;∴在Rt△ADH中，DH当点P开始沿BC运动，此时PF＝4－（2x－AD－AB）＝4－2x＋5－AB＝9－2x＋AB，∴y＝PF＋DQ＝9－2x＋AB＋x＝9－x＋AB，代入x＝7时y＝9，得9－7＋AB＝9，∴AB＝7，∴CD＝AB＋3＝7＋3＝10.【点睛】本题考查了动点问题的函数图像的性质，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.11.（n＋3）（n－3）【分析】利用平方差公式分解因式.【详解】解：n12.63【分析】先根据正多边形的性质求出∠BCD＝108°，再根据等腰直角三角形的性质结合三角形内角和定理得到∠FCD＝45°，由∠BCF＝∠BCD－∠FCD即可得出结果.【详解】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠BCD＝（5－2）×180°÷5＝108°，∵△CDF是等腰直角三角形且∠CFD＝90°，∴CF＝DF，∠CFD＝90°，∴∠∴∠BCF＝∠BCD－∠FCD＝63°.13.1.5【分析】先将数据从小到大排序，根据数据个数为奇数，取中间位置的数即可得到中位数.【详解】将这组数据从小到大排序为:1，1.2，1.5，2，2.2，本组数据共有5个，个数为奇数，中位数为排序后第3个数，即1.5.14.（4π－8）##（－8＋4π）【分析】根据题意，分别算出S扇形AOB＝12πdm²，S△AOB＝1dm2，S正方形ABCD＝4，4个空白半圆的面积为【详解】解：根据题意，半径为R＝2dm的圆形纸片的面积为44π（dm²），内部4个小圆的半径都为r＝1dm，则内部4个小圆的面积为4π（dm²），如图所示，根据剪纸中折叠的性质得到，AC⊥BD，垂足为点O，四边形ABCD是正方形，过点O作OE⊥AB于点E，圆心为点E，∴AB＝2r＝2dm，则AE＝OE＝1dm，∴S∴∴同理，大圆内∴阴影部分的面积为2π-4＋15.【分析】根据题意，四边形ABCD是正方形，设边长为a，如图所示，将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△CBK，点K在DC的延长线上，则EF＝EK＝12a＋2，有勾股定理列式求解得到a＝6，再证明△DFH∽△FQG，结合角度的计算得到点PR＝O'D＝DF2＝22，【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，设边长为a，∴AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∵点E为CD的中点，∴∵AF＝2，AD＝a，且△DFQ是等腰直角三角形，∴DF＝DQ＝AD－AF＝a－2，∠DFQ＝∠DQF＝45°∵∠EBF＝45°，∴∠CBE＋∠ABF＝∠ABC－∠EBF＝90°－45°＝45°，如图所示，将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△CBK，点K在DC的延长线上，∴△ABF≌△CBK，∴BF＝BK，AF＝CK，∠ABF＝∠CBK，则∠∠CBK＋∠CBE＝∠ABF＋∴△EBF≌△EBK（SAS），∴EF∴整理得，a解得，a1＝6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∴DF＝DQ＝6－2＝4，DE＝3，∴FQ∴∵∴∴∴△DFH∽△FQG，∴∠FDH＝∠QFG，在△PDF中，∠DPF∵∠PFD＝∠QFD－∠QFG＝45°－∠QFG＝45°－∠FDH，∴∠PDF＋∠PFD＝∠FDH＋45°－∠FDH＝45°，∴∠DPF＝180°－45°＝135°，∴点P在以DF为弦，含135°圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为O'，半径为R，∵圆心角∠DO'F＝2×（180°－135°）＝90°，DF＝4，∴△DO'F是等腰直角三角形，∴R如图，建立平面直角坐标系，以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，∴B（0，0），A（0，6），D（6，6），F（2，6），∵DF在直线y＝6上，且P在正方形内部（y＜6），∴圆心O'在DF的上方，且O'到DF的距离为O∵DF的中点坐标为J（4，6），∴圆心O'的坐标为（4，8），连接BO'，交圆弧于点P，此时BP取得最小值B∴三、解答题（共9个题，共90分）16.【答案】0.【解答】解：原式＝1+1-2＝0.17.【答案】1≤x＜2.【解答】解：{将①移项，合并同类项得：x＜2，将②去括号得:3x+3≥6,移项，合并同类项得：3x≥3，系数化为1得:x≥1,故原不等式的解集为1≤x＜2.18.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD,∠B＝∠D,在△ABF和△CDE中,B＝CD∴△ABF≌△CDE（SAS）,∴AF＝CE.【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD,∠B＝∠D,在△ABF和△CDE中,AB∴△ABF≌△CDE（SAS）,∴AF＝CE.19.【答案】（1）500,40%,补全条形统计图如下：（2）2【解答】解:（1）本次投票参与的学生人数为150÷30%＝500（人）,∴最喜欢乒乓球的人数为500-150-60-90＝200（人）,∴“乒乓球”所占百分比为200÷500×100%＝40%,故答案为:500,40%,补全条形统计图如下：（2）列表如下：男男女女男（男,男）（男,女）（男,女）男（男,男）（男,女）（男,女）女（女,男）（女,男）（女,女）女（女,男）（女,男）（女,女）共有12种等可能的结果，其中所抽取的两人为“一男一女”的结果有8种，∴所抽取的两人为“一男一女”的概率为820.【答案】（1）1班胜了4场;（2）2班比赛胜4场，平3场，负8场或胜3场，平6场，负6场（答案不唯一，写出两种即可）.【解答】解：（1）设1班胜了x场，平了y场，由题意得：{解得：答：1班胜了4场；（2）设2班胜m场,平n场,则负（15-m-n）场,由题意得:3m+n＝15,∵m、n均为非负整数，∴{m＝5n＝0或{m＝4n＝3答：2班比赛胜4场，平3场，负8场或胜3场，平6场，负6场（答案不唯一，写出两种即可）.21.【答案】（1）反比例函数的解析式为y（2）当y₁＞y₂时x的取值范围为x＜-6或0＜x＜3;（【解答】解:（1）把点A（-6,-3）分别代入.y1＝mx与一次函数.y₂＝x-∴m＝18,n＝3,∴（2）解{y＝18xy＝∴B（3,6）,∴当y₁＞y₂时x的取值范围为x＜-6或0＜x＜3;（3）设直线AB与y轴交于D，与x轴交于E，在y＝x+3中,令x＝0,则y＝3,令y＝0,则x＝-3,∴E（-3,0）,D（0,3）,∴OD＝OE,∴△DOE是等腰直角三角形，∵OP⊥AB,∴DP＝EP,∴点P是DE的中点,∴点P的坐标为-22.【答案】（1）∵D为BC中点,E在OD的延长线上,∴OE⊥BC,∵EM∥BC,∴OE⊥EM,∴EM是⊙O的切线;（2）①PC＝PA+PB或PC＝PB-PA,理由如下:当点P在AB上时,如图,在PC上取点T使得PT＝PA,∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°,AB＝AC,∵∴∠APC＝∠ABC＝60°,∴△APT是等边三角形，∴AT＝AP,∠PTA＝60°,∴∠ATC＝120°,∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，∴∠APB+∠ACB＝180°,∴∠APB∴∠APB＝∠ATC,又∵⌢AP∴∠ABP＝∠ACT,∴△ABP≌△ACT（AAS）,∴PB＝TC,∴PC＝PT+TC＝PA+PB,即PC＝PA+PB;当点P在AC上时，如图所示，在CP的延长线上取PS＝PA,同理可得∠APB∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，∴∠APB+∠ACB∴∠APB∴∠APS∴△APS是等边三角形，∴∠S又∵AB＝AC,∠ABP＝∠ACP,∴△SAC≌△PAB（AAS）,∴PB＝SC＝PC+PS＝PC+PA,即PC＝PB-PA;②【解答】（1）证明:∵D为BC中点,E在OD的延长线上,∴OE⊥BC,∵EM∥BC,∴OE⊥EM,∴EM是⊙O的切线;（2）解:①PC＝PA+PB或PC＝PB-PA,理由如下:当点P在AB上时,如图,在PC上取点T使得PT＝PA,∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°,AB＝AC,∵∴∠APC＝∠ABC＝60°,∴△APT是等边三角形，∴AT＝AP,∠PTA＝60°,∴∠ATC∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，∴∠APB+∠ACB＝180°,∴∠APB＝120°,∴∠APB＝∠ATC,又∵⌢AP∴∠ABP∴△ABP≌△ACT（AAS）,∴PB＝TC,∴PC＝PT+TC＝PA+PB,即PC＝PA+PB;当点P在AC上时，如图所示，在CP的延长线上取PS＝PA，同理可得∠APB＝∠ACB＝60°,∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，∴∠APB+∠ACB＝180°,∴∠APB＝120°,∴∠APS＝60°,∴△APS是等边三角形,∴∠S＝∠APB,又∵AB＝AC,∠ABP＝∠ACP,∴△SAC≌△PAB（AAS）,∴PB＝SC＝PC+PS＝PC+PA,即PC＝PB-PA;②∵点P在优弧BAC上，∴当点P到CE的距离最大时,PO⊥CE,如图所示,设PO,CE的交点为M,连接OC,OB,∵△ABC是等边三角形,AB∴BC∴∠BOC＝2∠BAC＝120°,∵OE⊥BC,∴DC又∵OE＝OC,∴△OCE是等边三角形∴∠OCD∴OD∴OD＝1,则OC＝2,EC＝OC＝2,∵OM⊥EC,CD⊥OE,∴OM＝∴CM∴PM在Rt△PCM中,PC＝PM2+CM2＝2+32+12＝2+6,∵∠BOC＝120°,OB＝OC,∴∠OBC＝OCB＝30°,∴∠OBC＝∠BCE＝30°,∴OB∥EC