新版2027历年高考数学真题练习：排列组合与二项式定理（十年）

五年考情(2017-2026)2026全国一卷、2026上海卷、2026天津卷、2025全国一卷、2025上海卷、2025天津卷、2024上海卷、2024天津卷、2023天津卷、2023上海卷、2022新高考全国I卷、2022天津卷、2021全国乙卷、2018苏卷2026全国二卷、2026上海卷、2025北京卷、2025天津卷、2025全国二卷、2025上海卷、2024新课标I卷、2024新课标Ⅱ卷、2024全国甲卷、2024北京卷、2023北京卷、2023全国甲卷、2023全国乙卷、2023新课标I卷、2023新课标Ⅱ卷、2022新高考全国Ⅱ卷、2022全国甲卷、2022全国乙卷、2022北京卷、2022上海卷、2021新高考全国I卷、2021新高考全国Ⅱ卷、2021浙江卷、2021天津卷、2021北京卷、2021全国甲卷、2021全国乙卷、2020山东卷、2020全国I卷、2020全国Ⅱ卷、2020江卷、2019全国I卷、2019全国Ⅱ卷、2019全国Ⅲ卷、2019北京卷、2019天津卷、2019上海卷、2018全国Ⅱ卷、2018浙江卷、2018天津卷、2018北京卷、2017全国Ⅲ卷、2017浙江卷、2017天津卷、考点01排列组合【详解】情况1:甲、乙两人都在A小组，若丙在A组，丁在B组：此时A组已有{甲，乙，丙),还差1人：B组已有{丁),还差3人，则从剩余4人中选1人进A组，方案数为C₄=4.情况2:甲、乙两人都在B小组，所以当甲、乙在B组时，方案数为4+4=8种.【答案】C【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，出场次序共有24种，其中符合题意的出场次序共有8种，故所求概率解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲最后出场共4种方法，同理乙最后出场共4种方法，于是共8种出场顺序符合题意；基本事件总数显然是A=24,根据古典概型的计算公式，所求概率为根据古典概型的计算公式，所求概率为3.(2023-全国甲卷·高考真题)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C²=6件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C₂C₂=4,所以这2名学生来自不同年级的概率为4.(2023-全国甲卷·高考真题)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有()A.120B.60C.30【答案】【答案】B【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.假设a连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有A²=125.5.(2023-全国乙卷·高考真题)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()【答案】C【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.6.(2023-新课标Ⅱ卷·高考真题)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有().【答案】【答案】D【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有CC0种.7.(2022-新高考全国Ⅱ卷·高考真题)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有()【答案】【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有31种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式：注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3×2×2=24种不同的排列方式，8.8.(2022-新高考全国I卷·高考真题)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C²=21种不同的取法，故所求概率9.(2021-全国乙卷·高考真题)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()【答案】C【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有C,种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据乘法原理，完成这件事，共有C²×41=240种不同的分配方案，【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A.0.3B.0.5C.0.6【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：共6种方法，故2个0不相邻的概率为0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有C,=5种排法，若2个0不相邻，则有C²=10种排法，所以2个0不相邻的概率为12.(2020海南-高考真题)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有()【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有C'C²=3种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有A²=2种安排方法所以，不同的安排方法共有3×2=6种【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.13.(2020山东·高考真题)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C!:然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C²;最后剩下的3名同学去丙场馆.j=3且j-=4,则称ai,aj,ak为原位大三和弦；若k-j=4且j-i=3,则称ai,aj,ak为原位小三和弦，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()A.5B.8C.10【答案】【答案】C【分析】根据原位大三和弦满足k-j=3.j-i=4,原位小三和弦满足k-j=4,j-i=3∴i=1,j=5,k=8:i=2,j=6,k=9:i=3,j=7,∴i=1,j=4,k=8;i=2,j=5,k=9;i=3,j故个数之和为10,【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题.的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”,如图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是【答案】【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算.【详解】由题知，每一爻有2种情况，【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有2情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有C₆,所以该重卦恰有3个阳爻的概率为故选A.【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题，本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题.16.(2017·全国Ⅱ卷·高考真题)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()【答案】D【详解】4项工作分成3组，可得：安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，故选D.17.(2026·上海-高考真题)在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有种选法，【答案】6【分析】结合组合知识求解即可.【详解】由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可，则一共有C2=6种选法.故答案为：6.18.(2025·上海-高考真题)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有种.【答案】288【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.【详解】先选两位家长排在首尾有P²=12种排法；再排对中的四人有P⁴=24种排法，故有12×24=288种排法.故答案为：28819.(2024-上海-高考真题)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为.【分析】确定奇数最多1个，再分个位数为0和不为0,结合排列、组合求解即可，【详解】由题意可知，集合A中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，(若有2个以上奇数，则不满足任意两者之积皆为偶数),剩余全是偶数.(1)若个位为0,这样的偶数有Aỉ=72个；(2)若个位不为0,这样的偶数有C·C,-C,=256个；所以集合元素个数最大值为256+72+1=329个.故答案为：329被选中，则共有.种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.故答案为：24;112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.【答案】9【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论VABC为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合VABC三边的轮换对称性即可得解.【详解】因为空间中有三个点A、B、C,且AB=BC=CA=1,不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑VABC三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种：综上所述：总共有9种情况.故答案为：9.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到VABC为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，结合角形的情况，结合VABC三边的轮换对称性即可得解.22.(2023-新课标I卷-高考真题)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种(用数字作答),【答案】64【答案】64【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.【详解】(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C!C!=16种：(2)当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C₄C²=24种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C}C=24种；综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.故答案为：64.23.(2023·上海高考真题)已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为【答案】【答案】【分析】利用组合数和古典概型的概率公式求解即可.【详解】由题意所选的3人中恰有1名男生2名女生的概率故答案为：24.(2022·上海-高考真题)为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为;【分析】由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果.【详解】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有C·C₃-C²+C|·C²·C种，【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3,从5名同学中随机选3有：(甲，乙，1),(甲，乙，2),(甲，乙，3),(甲，1,2),(甲，1,3),(甲，2,3),(乙，1,2),(乙，1,3),(乙，2,3),(1,2,3),共10种选法；解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C,=10B运动C运动D运动E运动7点-8点8点-9点9点-10点10点-11点11点-12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【答案】【答案】23【分析】根据题意，可以判定选择任意3种及其以上否是符合要求的，只是在选择两种的情况下，有些是达不到要求的，利用组合求得总数，减去不合要求的种数即可.故答案为：23.28.(2020·上海-高考真题)从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况，故答案为：180【点睛】本题考查组合问题的计算，属基础题.29.(2020·全国Ⅱ卷·高考真题)4名同学到3个小区参个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.学现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：故答案为：故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.30.(2019·上海-高考真题)首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种(结果用数值表示)【分析】首先安排甲，可知连续2天的情况共有4种，其余的人全排列，相乘得到结果.【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素，从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以【答案】1260.【答案】1260.32.32.(2018·全国I卷-高考真题)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有.种。(用数字填写答案)【分析】方法一；反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从6人中任选3人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.【详解】[方法一]:反面考虑[方法二]:正面考虑种，则不同的选法共有12+4=16种.方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个.(用数字作答)【答案】1080【答案】1080【名师点睛】计数原理包含分类计数原理(加法)和分步计数原理(乘法),组成四位数至多有一个数字34.(2017·浙江-高考真题)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法，(用数字作答)A.6B.-6C.12【答案】【答案】A解得r=2,A.-80B.-40C.40A.-5B.5A.5B.10式的乘积为C₅x⁶-y或C,x⁴⁻y+²形式，对r分别赋值为3,1即可求得x³y³的系数，问题得解.XT=xCx³⁻y=Cx⁶-A.12【详解】由题意得x³的系数为C+2C!=A.10B.20C,40A.-80B.-40由(2x-y)³展开式的通项公式T₁=C;(2x)(-y)可得：当r=2时，y(2x-y)展开式中x³y³的系数为C×2³×(-1)²=80,则x³y³的系数为80-40=40.【名师点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n,r均为非负整数，且n≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数，再求所求解的项整数等);第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.C.30【分析】化简己知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中x²的系数.【详解】因为,则(1+x)展开式中含x²的项为Cx²=15x²;展开式中含x²的项为,故x²的系数为15+15=30,【答案】10【答案】10【分析】写出二项式的通项，令x的次数为7,即可求出展开式中x的系数.在(x²+x³中，通项C;(x²)x=Cx¹"*(k=0,1,2,3,4,5),【答案】【答案】8【分析】根据二项式定理得到(x+2y)【详解】根据二项式定理，(x+2y)‘展开式的通项公式为T=C₄x⁴(【答案】18【答案】18令t=1,则a₀+a+a₂+a₃+a₄=2⁴,故a+a₂+a₃+a₄=15【答案】80故答案为：80.【详解】则二项式(x+1)*的展开式各项系数和为32,得2"=32,解得n=5,所以(x-1)°展开式中x⁴的系数为15.进而求出r即可求,,又r∈Z,故r=8,所以常数项为3℃₆=20.=C,o·[2023°+(-I)·2023-']-x,r∈{0.1,2,则等价为2023°<2023⇔k<100-k⇔k<50,又k是正奇数，故k的最大值为曲曲作答).所以x⁶的系数是2³C³=160.4₂+a₃+a₄=【答案】20故答案为：20.所以x²的系数为C,×2=10.故答案为：10.【详解】的展开式中常数项是：C·2⁴=C,-16=15×16=240.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握(a+b)的展开通项公式T=C,a^'b',考查了分析能力和计算能力，属于基础题.式的通项入手，根据要求，考察x的幂指数，使问题得解.因系数为有理数，r=1,3,5,7,9,有T₂,T,T₆,T,T₀共5个项【答案】28【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r的值，再求出其常