新版2027历年高考数学真题练习：平面向量（十年）

五年考情(2017-2026)2020山东卷、2020海南卷、2018全国I卷、2017北京卷、2017全国Ⅱ卷查充分、必要条件判断。2026全国一卷、2026上海卷、2026天津卷、2025全国一卷、2025上海卷、2024上海卷、2024天津卷、2023天津卷、2023上海卷、2022新高考全国I卷、2022天津卷、2021全国乙卷、2018全国Ⅲ卷、2017山东卷、2017江苏卷为求值、求解参数范围类题型。标运算、向量共线的坐标判定。题，题型灵活。2026全国二卷、2026上海卷、2025北京卷、2025天津卷、2025全国二卷、2025上海卷、2024新课标I卷、2024新课标Ⅱ卷、2024全国甲卷、2024北京卷、2023北京卷、2023全国甲卷、2023全国乙卷、2023新课标I卷、2023新课标Ⅱ卷、2022新高考全国Ⅱ卷、2022全国甲卷、2022全国乙卷、2022北京卷、2022上海卷、2021新高考全国I卷、2021新高考全国Ⅱ卷、2021浙江卷、2021天津卷、2021北京卷、2021全国甲卷、2021全国乙卷、2020山东卷、2020全国I卷、2020全国Ⅱ卷、2020江卷、2019全国I卷、2019全国Ⅱ卷、2019全国Ⅲ卷、2019北京卷、2019天津卷、2019上海卷、2018全国Ⅱ卷、2018浙江卷、2018天津卷、2018北京卷、2017全国Ⅲ卷、2017浙江卷、2017天津卷、2017山东卷、2017北京卷CDCFAAA.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CACC【详解】AZCB=CA+AB=CA+2AD=CA+2(DAECBDCB所以,故选A.为充要条件;若没有包含关系,那么就是既不充分也不必要条件。(3)命题的等价性,根据互为逆否命题的A.x=2,y=-3B.x=-2,y=3C.x=2,y=3【答案】A【分析】由平面向量基本定理可得.则S=x+y,代入并整理，得出s²=1-(r²-1)y²≤1,即可求出λ+μ的取值范围.λ+μ=2-s∈[2-1,2-(-1]=[CBD若若λ+μ=m,可知点C在直线x=m上，(或直接由三点共线的结论可得出),4.(2025-全国一卷·高考真题)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代名称风速大小(单位：m/s)2345【分析】结合题目条件和图2写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图1得出结论.【详解】由题意及图得，6.(2024上海高考真题)已知k∈R,a=(2,5),b=(6,k),且a//b,则k的值为【答案】15【答案】15结合数量积的运算律求AF·DG的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE,即可得λ+μ,设F(a,-3a),求AF,DG,结合数量积的坐标运算求AF·DG的最小值.【详解】解法一：因为FGA可得A=(-1.0.BC=(0.1).【答案】【详解】空1:因为E为CD的中点，则ED+EC=0,可得空2:因为,则2FB+FC=0,可得得到AF+FC+2(AF+FB)=AC+2记AB=x,AC=y,则在VABC中，根据余弦定理：BC²=x²+y²-2xycos60=xA.3m-2iB.-2m+3iC.3m+2#【答案】【答案】ADCEBEAB=CB-CA=b-a,AB⊥DE→(3b-a)-(6-a)ADE(0,0),B(1,0),C(3,0),【答案】【答案】α,且tana=7,OB与OC的夹角为45,若OC=mOA+nOB(m,n∈R),则m+n=.【详解】以【详解】以OA为x轴，建立直角坐标系，则A(1,0),由OC的模为√2与OA与OC的夹角为α,且tanα=7量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和);二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便.两式相减，得4a-b=-2,所以A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]【分析】先根据【分析】先根据AB=OB-OA,求出(OA,OB》,进而可以用向量OA,OB表示出2CA+AB,即可解出.2CA+AB=2(OA-oc)+OB-OA=OA+OB-20C,|【答案】【答案】D【详解】因为b⊥(b-4a),,所以b·(b-4a)=0,A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【答案】C对B,当a//B时，则2(x+1)=x²,解得x=1±√3,即必要性不成立，故B错误：对D,当x=-1+√3时，不满足2(x+1)=x²,所以a//6不成立，即充分性不立，故D错误.【答案】【答案】BA.-2B.-1C.0【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量a,B满足a+b=(2,3A.√5B.3C.2√5【分析】方法一：以{AB,AD}为基底向量表示),再【详解】方法一：以{AB,AD}为基底向量，可知AB=|AD|=2,AB·AD=0,则则E(1,0),C(2,2),D(0,2),可得EC=(1,2),ED=(-1,2),DCDAA10.(2023全国甲卷-高考真题)已知向量a,6,e满足=5|=1,=√2,,且a+b+c=0,Ca-A合Db-cBcos(a-c,b-c)=cos∠ACB=cos2∠ACA.2+μ=1C.lu=1A.-6A.2B.3【详解】因为a-b=(2.1)-(-24)=(4.-3),所以|a-引=√4²+(-3)²=5.A.-2B.-1【详解】解：则PA-PB的取值范围是()A.[-5,3]B.[-3,5]B3PP(cos(a+β),sin(a+p)),A(L,0),则()C.D.OA·OP=OP₂-OPB:AP=(cosa-1,sina),AP₂=(cosβ-1,-sinβ),D:由题意得：OA·OP=1×cosa+0×sinBA.(-2,6)C.(-2,4)PAB的模为2,根据正六边形的特征，可知AP·AB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积，【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的C19.(2020·全国Ⅲ卷高考真题)已知向量a,历满足|ā=5,b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>=()A.a+25B.2a+bA.√2故选A夹角.【详解】因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b²=0,所以a-b=B²,所以,所以a 23.(2019全国Ⅱ卷高考真题)已知AB=(2,3),AC=(3,r,|BC|=1,则AB·BC=A.-3值.因此，的最小值为圆心(2,0)到直线y=±√3x的距离减去半径1,为√3-1.选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的系，是解决这类问题的一般方法.A.4B.3C.2详解：因为a.(2a-b)=2a²-a·b=2|aP-(-1)=2+1=3.所以选B.若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最小值为A.-15B.-9A.-15B.-9则BC=3MN=3(ON-OBC·OM=3(ON-OM)·OM=30N·OM-30M²=-3-3=-6.本题选择本题选择C选项.NM0B点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义：利用向量的坐标运算：利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.C交于点O,记I₁=OAOB,I₂=OBOC,I₃=OCOD,则A.I₁<I₂<1B.I₁<I₃<I₂C.I₃<I₁<I₂【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.本题通过所给条件结合数量积运算，易得=AD=2,CD=3,可求得OA<OC,OB<OD,进而得到I₃<1₁<I₂,的最小值是()【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.【详解】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，设P(x,y),则PA=(-x.√3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y),ABDCBDD【详解】【详解】a-B=(1,1-2x),因为a⊥(a-b),则a-则x+1-2x=0,解得x=1.【答案】4则a-48=(x-4,y),b-6e₂=(m,n过B作BD⊥OA于D,则OD即为6在a上的数量投影，如下所示；4C在OA与圆C相切的基础上，移动点B,过C₂作C₂E⊥OA于E,故|oD|=|OB4BC故答案为：4.【答案】故答案为：11.的最小值为【答案】【答案】M【答案】∴(2BE+DF)²=4BE²+4BE·DF+DF=4x²+4x(1AFBDcBD(a+b)-C=._;a.b=.a故答案为：0;3.【答案】【答案】解.【答案】【答案】3(1-32)+4(3-42)=0,解得【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量p=(x,x),q=(x₂,y₂)垂直的充分必要条件是其数量积xx₂+yy₂=0.【分析】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD|以及PB·PD的值.【详解】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，CP【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标是解答的关