江苏镇江市2025-2026学年高一下学期期末考试 数学样题 含解析

学年第二学期期末样卷高一数学注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号填写在答题卡上.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.考试结束后，将答题卡交回.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数是纯虚数，则实数（）A.B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据纯虚数的定义，列出方程组，再结合选项筛选结果即可．【详解】由复数是纯虚数，则，解得，或，所以结合选项得．2.（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】.3.设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（）第1页/共17页A.若，，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】D【解析】ABC的性质即可判断；对D，运用线面垂直的性质即可判断.【详解】若，，，则或与异面，故A错误；若，，则或与相交，故B错误；若，，则或与相交或与异面，故C错误；若，，则，又，则，故D正确．故选：D.4.在中，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量基本定理即可求解.【详解】由，有，所以.5.已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（）A.2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理即可求解.第2页/共17页【详解】由正弦定理得：，所以，所以.6.在直角三角形中，，，点，将边三等分，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】设，则，，在中，，在中，，在中，，所以，所以.7.把一个上底半径，下底半径，高为的玻璃圆台融化后铸成一个玻璃球（不计损耗）则球的半径为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】应用圆台的体积公式及球的体积公式计算求解.第3页/共17页【详解】圆台体积公式得，设球的半径为，再应用球的体积公式得，所以8.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】应用两角差正弦公式计算判断A，C，再应用二倍角余弦公式计算求解判断B，D.【详解】已知，且，，A，C选项错误；又因为，所以，B选项错误，D选项正确；36分在每题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则（）A.B.与夹角为C.D.与共线的一个单位向量为【答案】CD【解析】【分析】根据数量积的坐标运算可判断A即可判断B；根据模长公式计算即可判断C；第4页/共17页由与共线的一个单位向量为即可判断D．【详解】由题意得，，则，故A错误；可得，故B错误；而，故C正确；与共线的一个单位向量为，故D正确．10.已知复数，则（）A.B.C.存在正整数，使得为正实数D.为实数【答案】BCD【解析】【详解】选项：因为，所以，则，故不正确；选项：因为，所以，，，则，，即，故正确；选项：因为，所以，当时，，当时，是正实数，所以存在正整数，使得为正实数，故正确；选项：因为，所以，所以，第5页/共17页，则是实数，故正确.在棱长为2的正方体是棱是线段）A.当点为中点时，则B.三棱锥的体积为定值C.平面D.线段长度最小值为【答案】ABC【解析】A平面B，由题可知点到平面的距离为，再求体积即可；对于C，可证平面平面，再由面面平行的性质可判断；对于D，由题可知，再求的最小值即可．【详解】设的中点为，的中点为，如图，对于A，当点为中点时，易得四边形为平行四边形，，又平面，平面，，，故A正确；对于B，由题易知平面，即平面，第6页/共17页所以点到平面的距离为，则，故B正确；对于C，在正方体中，，，平面，平面，平面平面，又平面，平面，故C正确；对于D，根据题意，平面，平面，，，当线段取最小值时，即最小，则当时，在正方体中，点到的距离为，则的最小值为，线段最小值为，故D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知复数的实部与虚部相等，且模为1.请写出一个满足条件的复数____________.【答案】（答案不唯一，也符合要求）【解析】【详解】设复数，(其中)，则=1，则，取，则，取，则，故（答案不唯一，也符合要求）是满足条件的复数.13.求值：__________．第7页/共17页【答案】1【解析】【分析】利用三角函数切化弦，辅助角公式与诱导公式求解即可.【详解】．故答案为：．14.在直角梯形中，，，，，直线与直线相交于点.若（，____________，____________.【答案】①.##②.或【解析】与再表示出、、、，利用，，结合向量坐标运算求出、，从而得解；若，则可以为坐标原点，建立适当平面直角坐标系，再用同样的方法求解.【详解】若，如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则、，设，则，由，则，故、，则、、、、，故，，第8页/共17页，又，则，，由题意可得，，则，解得，则，，则；若，如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则、、，则，由，则，、、、、故，，又、，则，由题意可得，，第9页/共17页则，解得，则，，则；综上可得：，或.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，是夹角为的单位向量，，，（其中.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】1）根据向量的数量积定义进行计算；（2）根据两向量垂直数量积为0列方程求解.【小问1详解】；【小问2详解】，因为，所以，所以，即，化简得，解得.16.如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点.第10页/共17页（1）求证：平面平面；（2）如果，，为中点.求证：平面平面.【答案】（1）因为，分别为棱，的中点，所以，又因为平面，而平面，所以平面，同理，，分别为棱，的中点，所以，又因为平面，而平面，所以平面，由于和交于点，所以平面平面.（2）因为，为中点，所以，同理，因为，所以，在平面中，和交于点，所以平面，又因为平面，所以平面平面.【解析】1）根据中位线判断，，然后结合面面平行的判断定理即可判断；（2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，从而有平面，然后结合面面垂直的判断定理即可判断.【小问1详解】略.【小问2详解】略.17.已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.第11页/共17页【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)换元转化已知角，通过二倍角运算得到倍角的三角函数值，再利用差角公式配凑求出；(2)建立目标角与已知角的关系，利用和角公式求出中间角，结合角度范围确定具体值后得到.【小问1详解】令，由得，，，，，，.【小问2详解】令，由得，，，，，又，所以，.18.如图，城市位于海滨城市的南偏西的位置.现发现某台风中心位于城市南偏东市距离测得该台风中心位于北偏东处.台风中心正以的速度沿北偏西的方向移动.第12页/共17页（1）求，两城市间距离；（2）台风侵袭的范围是半径为的圆形区域.问：①城市，会不会都受到台风的侵袭？②如果某城市被台风侵袭，请说明几小时后会被侵袭，并求被台风侵袭的时间长.【答案】（1）（2）①城市不会受到台风的侵袭，城市会受到台风的侵袭；②小时【解析】1）根据题意判断中每个角的大小，然后结合正弦定理即可求解；（2）①分别求出城市，与台风路径的最短距离即可判断；②假设在小时后，城市到台风中心的距离等于，利用余弦定理得到二次方程，求解后得出时间差即可.【小问1详解】在中，根据题意确定角度：，，，由正弦定理可得，由于，，，代入可得，解得，因此，两城市间距离为.【小问2详解】①根据题意，台风中心的移动方向为北偏西，而在的北偏西，因此台风路径与的夹角为，到台风路径的最短距离为不会受到台风的侵袭；在中，由余弦定理，代入（1）中的数据，可得，解得，第13页/共17页根据题意，台风路径与的夹角为，因此到台风路径的最短距离为会受到台风的侵袭；②设小时后台风到达点，则，，此时城市受到台风的侵袭，在中，，应用余弦定理，代入数值并化简得二次方程：，解得两个时间点：，，因此，这样的点有两个，如图所示：两者的时间差为小时，即城市被台风侵袭的时间长为小时.19.在中，，，点在边上，．（1）若，求的长；（2）若，将沿折起至的位置，如图：①如果二面角的大小为，求二面角大小的正弦值；第14页/共17页②如果在中，，求此时与平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）①；②【解析】1）由正弦定理求出，再利用余弦定理求解；（2）①利用线面垂直定理找出二面角的平面角，利用几何法求出二面角的正弦值；②利用已知条件结合余弦定理求出相关变量，利用等体积法结合几何法求解．【小问1详解】由正弦定理得，由共线，则，在中，由余弦定理：，故．【小问2详解】①已知，则，折叠后，又，故平面，二面角的平面角为，故，第15页/共17页在中，，，故，在中，，