重庆市长寿区2025-2026学年高三数学下学期四月阶段性检测试卷【含答案】

学年高三数学下学期四月阶段性检测试题注意事项：清楚.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回满分分，考试用时分钟.第一卷（选择题，共分）一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再根据交集，补集和子集得定义即可得解.【详解】，所以，，故ABD错误，C正确.故选：C.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意，然后利用充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】由题意，由可推出，而由不能推出，第1页/共19页

故“”是“”的必要不充分条件．故选：B.3.已知，则（）A.4B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法运算先求，再求复数的模即可求解.【详解】由题意可得，所以.4.等差数列中，，求（）A.45B.15C.18D.36【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的性质可得结果【详解】因为是等差数列，所以，解得，所以，故选：D5.若函数的值域是，则实数取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】时，时，对数函数的单调性进行求解即可．【详解】当时，，要使得函数的值域为，只需的值域包含于，第2页/共19页

所以，结合，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.6.若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据，再由诱导公式可得结果.【详解】因为，再由诱导公式得.故选：D.7.观星台是我国现存最古老的天文台，包含观星台在内的登封“天地之中”历史建筑群已被列为世界文化遗产.边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为（）A.米B.米C.米D.米【答案】D【解析】【分析】根据正四棱台的体积公式与下底边长的范围求得正四棱台体积的范围即可判断.【详解】设正四棱台的下底面边长为，高为，则上底面边长近似为，，；所以正四棱台的体积，解得.故选：D.8.对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，现有下列两个命题，①函数是周期函数；②方程第3页/共19页

有2个实数根，则（）.A.①成立②成立B.①成立②不成立C.①不成立②成立D.①不成立②不成立【答案】C【解析】【分析】由题意可得为偶函数，作出函数的图象，可判断①；分，，且，及或，求解判断②．【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为，关于原点对称，又因为，所以为偶函数，由可知，在内，当时，，当，且时，，当或时，，则函数的图象如下图所示：由图可知，不是周期函数，故①错误；因为当时，，所以，所以，不存在，使，故无解；当，且时，，第4页/共19页

所以由，得，所以，所以，如图所示，此时有一个解；当或时，，所以由，得，综上所述，方程有2个实数根，故②正确．二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共分在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.某健身爱好者每周进行两次跑步训练，每次跑步距离为5km或6km，第一次跑步距离为5km或6km的概率均为5km5km的概率为6km的概率为；若第一次跑步距离为6km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为.若一周跑步距离超过10km可以评定为“运动达人”，则（）A.该人一周的跑步距离为12km的概率为B.该人一周的跑步距离为的概率为C.已知该人被评定为“运动达人”，则该人一周内跑步距离为12km的概率为D.若该人在连续的4周内被评定为“运动达人”的次数为，则的数学期望【答案】ACD【解析】A利用乘法公式即可判断，对于B利用全概率公式即可判断，对于C利用条件概率公式即可判断，对于D利用二项分布的数学期望公式即可判断.【详解】令事件表示第次跑步距离为，事件表示第次跑步距离为，，第5页/共19页

所以，令事件表示该人一周的跑步距离为12km，令事件表示该人一周的跑步距离为，令事件表示该人被评定为“运动达人”，对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，所以，所以，故C正确；对于D：由，所以，故D正确.故选：ACD.10.如图，在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则（）A.存在点，使得平面B.存在点，使得平面C.当时，的最大值为1D.当时，的最小值为0【答案】BC【解析】A;利用线面垂直的判定定理证明选项B，进而确定在平面内的轨迹是以为圆心，圆心角为，半径为1的圆第6页/共19页

弧，设即可得，，利用三角函数讨论最值即可求解.【详解】对于A：由题意得在正方形在正方体中，平面，若平面，则在直线上，不符合题意，A错误．对于B：如图，当与重合时，连接．是正方形，平面平面，平面平面平面．是正方形，平面平面，平面平面平面．平面平面B正确．对于CD：如图，当时，得，则在平面内的轨迹是以为圆心，圆心角为，半径为1的圆弧，设第7页/共19页

则有，得，得，，由，得，则，C正确，D错误．故选:BC.对于曲线（其中）A.曲线是轴对称图形B.当时，曲线围成的封闭区域面积的取值范围为C.当时，曲线与曲线有4个交点D.当时，曲线围成的封闭区域的面积小于【答案】AB【解析】【分析】A代入判断即可；B代入参数，可得第一象限与坐标轴围成的面积范围，结合A的对称性即可判断；C代入参数，结合基本不等式可得曲线无公共点；D选项，举特例即可判断.A满足曲线满足曲线关于坐标轴以及原点对称，A正确；第8页/共19页

B选项，当时，曲线，在第一象限为线段，与坐标轴交于，则，，，由二次函数可求得的取值范围为，B正确；C选项，当时，当时，曲线：，由基本不等式可得，与不会同时成立，则无交点，C错误；D选项，当时，若，则曲线：，在第一象限，即，则，当且仅当取等号，如图，曲线在第一象限与坐标轴围成的面积大于直线与坐标轴围成的面积2，则曲线围成的封闭区域的面积大于8，D错误；故选：AB.第二卷（非选择题，共分）三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共分）12.已知向量，为单位向量，且，若，则________．【答案】【解析】【详解】由题意得，第9页/共19页

且，故.13.数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若数列满足，则数列的前项和________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，列式求出，进而求出等差数列、等比数列通项，再利用分组求和法求解.【详解】由，，，得，而，则，因此，，，所以.故答案为：14.已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上（第，线段与交于点，且为的中点，则的离心率为______．【答案】【解析】【分析】根据题意求出点M的坐标，再求出N点坐标，将N点坐标代入曲线方程，即可求解.【详解】因为，所以，又是的中点，故，直线，，故，，又为的中点，故，第10页/共19页

又因为在上，代入得，化简整理得，两边同时除以得，又解得.故答案为：四．解答题（共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知．（1）求f（x）的最小正周期与图象的对称轴方程；（2在区间上的根从小到大依次为，求的值．【答案】（1），（2）92【解析】1）化简函数为，结合正弦型函数的性质，即可求解；（2）根据题意，化简得到，求得，设结合正弦函数的图象与性质，即可求解.【小问1详解】解：由第11页/共19页

，所以函数的最小正周期为，令，可得，所以函数图象的对称轴的方程为.【小问2详解】解：由，当时，可得，因为，结合正弦函数的性质，可得方程在区间上共有6个实数解，设根据正弦函数图像的对称性，可得，又由，所以，解得16.已知函数．（1）若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求的单调递增区间；（2）若函数在上为增函数，求实数k的取值范围．第12页/共19页

【答案】（1），（2）【解析】1（2）根据导数恒为正，可将问题转化为在区间上恒成立，构造函数，利用基本不等式即可求解最值.【小问1详解】的定义域为，，由题意可知，解得，所以．由，得或，所以函数的单调递增区间是，；【小问2详解】函数的定义域为，要使函数在定义域内为增函数，只需在区间上恒成立，即在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，，则，当且仅当时等号成立，所以，即实数的取值范围为．17.中，是边长为4是以为直角的等腰直角三角形.第13页/共19页

（1）若，证明：平面平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1，平面面垂直的判定求解，或者根据线线垂直，结合二面角的定义得是二面角的平面角.利用三角形的边角关系即可求解，（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角求解，或者利用等体积法求解点到平面的距离，再利用线面角的几何法求解.【小问1详解】在中，，则.取的中点，连接，则.在中，，则，是以为直角的等腰三角形，故.方法1：在中，，则.由于平面，则平面.又平面，故平面平面.方法2：由于，则是二面角的平面角.在中，，则.第14页/共19页

故二面角为直二面角，即平面平面.【小问2详解】方法1：以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.由于是边长为4的等边三角形，二面角的平面角为，则.设直线与平面所成角为，设平面的一个法向量为.由于，由得取，则.由于，故直线与平面所成角的正弦值为.方法2：作平面于，由于平面，则.取的中点为，连接.在等边中，，则则就是二面角的平面角，即.在中，，则在内.作于，连，则（三垂线定理）.设直线与平面所成角为，设点到平面的距离为.第15页/共19页

由于，则，得.由于，故直线与平面所成角的正弦值为18.DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域的普惠应用：智能客服实现高效人机交互，企业场景中赋能数据分析与决策优化；教育领域支持个性化学习，医疗场景辅助诊断与知识管理；跨模态模型驱动图像、文本、视频的智能生成与创作工具开发．其开源模型被开发者广泛集成，降低AI应用门槛，推动金融、科研、工业等行业的智能化升级，以高性能技术加速产业创新与效率提升．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的全体员工参加DeepSeek培训．（1）此次DeepSeek培训的员工中共有5名部门负责人参加，恰有2人来自A部门．从这5名部门负责人中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求的分布列和数学期望；（2）在培训闭幕式上，公司举行了一次DeepSeek专业知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答3对每道题的概率分别为．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．时，求甲、乙两名员工在每轮答题中取胜的概率的最大值．【答案】（1）分布列见解析；（2）【解析】1）的可能取值为，由超几何分布的概率公式代入计算可得随机变量对应概率，再利用期望公式即可得到结果；（2）由二项分布的概率公式，结合独立事件的概率公式可得的表达式，再利用基本不等式，由换元法结合二次函数的值域代入计算，即可得到结果.【小问1详解】的可能取值为，，，第16页/共19页

，分布列为所以.【小问2详解】设甲，乙答对题数分别为，则