线性代数课件 第四章 矩阵特征值与特征向量

向量|内积、长度、正交《线性代数》案例内积向量内积长度正交正交长度在物理上,力作用于一物体，使其位移为力与位移的夹角为此时，力在位移方向上对物体所做的功如何计算？sF它们的数量积为：

空间解析几何，向量夹角为定义1内积向量内积长度正交正交长度设是两个维向量，数称为向量与的内积，记作：表示形式例1已知则_______.解：

性质1内积向量内积长度正交正交长度例2对称性:

线性性:

非负性:

当且仅当时，等号成立.对任意的实数则已知且求解：

由知，解得：定义2内积向量内积长度正交正交长度设令例3解：

称为维向量的长度(范数或模).已知求并将其单位化.故性质2内积向量内积长度正交正交长度例4非负性:

当且仅当时，等号成立;已知求及解：

不难验证：齐次性:

对任意的实数则三角不等式:

则定义3内积向量内积长度正交正交长度则如：

称为向量与正交.定义4若非零向量组中任意两个向量都正交，称这个向量组为正交向量组.如：

定义5若正交向量组中的每个向量都是单位向量，称此向量组为标准正交向量组.设向量的内积如：

即例5内积向量内积长度正交正交长度已知求一向量使为正交向量组.解

设由题知，即令则系数矩阵:故齐次线性方程组有无穷多组解.主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞向量|施密特正交化方法《线性代数》例1几何引例施密特正交化例题拓展正交化线性无关但不正交回顾：

正交向量组是线性无关的，那么线性无关的向量组一定正交吗？可找到一个正交向量组取则已知一组线性无关的向量组，如何构造一组正交的向量组？思考：

引例给定平面上两个不共线的向量O几何引例施密特正交化例题拓展正交化因故解得则正交例2已知几何引例施密特正交化例题拓展正交化定理1给定中任一个线性无关的向量组维向量空间都可找到一组与之等价的正交向量组满足：……………….几何引例施密特正交化例题拓展正交化得到正交向量组再将单位化，是一组标准正交向量组.上述过程称为施密特正交化过程.注：

将实对称矩阵对角化的时候要用到这个方法.解

例3利用施密特正交化方法，将下列向量组化为标准正交向量组.取几何引例施密特正交化例题拓展正交化几何引例施密特正交化例题拓展正交化再将正交向量组单位化，令则即为所求的与等价的标准正交向量组.主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞向量|正交矩阵《线性代数》定义1基本概念正交矩阵例题拓展性质定理如：

（1）满足阶方阵则称为正交矩阵.（2）正交矩阵基本概念正交矩阵例题拓展性质定理例1已知是否为正交矩阵？判断解：

正交矩阵性质1基本概念正交矩阵例题拓展性质定理证明：

（1）由是正交矩阵，则:(1)阶方阵(2)易得（2）由可知，即故例2已知为正交矩阵，求解：

由性质1可知，是正交矩阵，则故或解得或（舍去）定理

1证明：

设是正交矩阵的充分必要条件是阶方阵的列(或行)向量组是标准正交向量组.是正交矩阵基本概念正交矩阵例题拓展性质定理的第行第列元素是标准正交向量组.基本概念正交矩阵例题拓展性质定理解

基本概念正交矩阵例题拓展性质定理易验证：例3已知证明：是正交矩阵.令则故的列向量组是标准正交向量组.是正交矩阵.根据定理1可知，主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞方阵|特征值与特征向量《线性代数》引例引例特征值与特征向量计算方法基本概念给定线性变换它的几何意义是什么？则矩阵形式为令取则平行于3

是方阵的一个特征值，是方阵的一个特征向量.几何

定义1引例特征值与特征向量计算方法基本概念设是阶方阵，若存在及维非零列向量使则称为方阵的特征值，为方阵的对应于特征值的特征向量.例1引例中3

是方阵的特征值，是的对应于特征值3的特征向量.可验证特征向量特征值引例特征值与特征向量计算方法基本概念方阵的特征值和特征向量有多个，如何判断和求解它们？启发思考：

设

是的特征值，非零向量阶方阵为的对应于特征值的特征向量，则回顾：

齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零.特征矩阵：

引例特征值与特征向量计算方法基本概念特征方程特征多项式：

特征值：

特征方程的根.特征向量：

齐次方程组的全部非零解.注：

阶方阵在复数域内有个特征值.引例特征值与特征向量计算方法基本概念例2求方阵的特征值与特征向量.解

由则的特征值当时，则得基础解系故对应于1的全部特征向量为当时，则得基础解系故对应于3的全部特征向量为引例特征值与特征向量计算方法基本概念求解方法求阶方阵的特征值与特征向量的计算步骤如下：Step1：

Step2：

Step3：

写出阶方阵的特征矩阵求出的特征方程的全部根即为的全部特征值；对的每个特征值求齐次线性方程组的所有非零解，即为的对应于的全部特征向量；Step4：

的全部特征向量为：引例特征值与特征向量计算方法基本概念例3解

求方阵的特征值与特征向量.则的特征值

引例特征值与特征向量计算方法基本概念当时，则得基础解系:故对应于5的全部特征向量为当时，则得基础解系:故对应于-1的全部特征向量为主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞方阵|特征值的性质《线性代数》引例引例特征值的性质性质应用设则的特征方程为：设的两个特征值和则由一元二次方程根与系数关系：思考：

对阶方阵它的全部特征值与其迹、行列式有怎样的形式？性质1（2）例1设是阶方阵，它的个特征值为则（1）（特征值的乘积等于其行列式）（特征值的和等于它的迹）即设是3阶方阵，它的特征值分别为：则它的行列式是它的迹为引例特征值的性质性质应用练习1设的特征多项式为则____.例2已知有特征值求解由性质1可知，易得将代入得引例特征值的性质性质应用性质2例3设是阶方阵，它的特征值为则（1）是的特征值；（2）是的特征值；（3）是的特征值；（4）是的特征值.已知三阶方阵的特征值分别为求的特征值.解由性质2可知，（i）的特征值为将分别代入得的特征值为的特征值为（ii）（iii）引例特征值的性质性质应用性质3例4设是阶方阵,它的特征值为已知三阶方阵的特征值分别为且解若是的次矩阵多项式,即则是的特征值.求：（1）的特征值；（2）的特征值：由题知，（1）引例特征值的性质性质应用（2）由性质1可知，主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞相似矩阵|概念及性质《线性代数》回顾基本概念相似矩阵例题拓展重要性质矩阵经过初等行与列变换得到新的矩阵则等价于即存在可逆矩阵则思考：

若均为阶方阵，且那么与有什么重要的关系？定义1设为阶方阵，如果存在可逆矩阵使得称是的相似矩阵，或称与相似.记作：例1故定理1基本概念相似矩阵例题拓展重要性质设为阶方阵，则(1)(2)(3)(5)(4)有相同的特征值;证：

设即存在可逆矩阵使故(1)(2)由知故(3)即由(1)即得进而它们的特征值和迹相同.例1基本概念相似矩阵例题拓展重要性质若且求例2矩阵与相似，求解：

根据性质5可知，若故即则解：

根据性质1可知，若故例3解：

已知且求根据性质5可知，若则即解得：根据性质4可知，具有相同的特征值,则即基本概念相似矩阵例题拓展重要性质主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞相似矩阵|矩阵对角化《线性代数》基本概念矩阵的对角化计算方法判定条件矩阵运算中，对角矩阵运算很简洁，是否每个方阵都能相似于对角矩阵？定义1思考：

若存在可逆矩阵使为对角矩阵,则称为相似对角矩阵,即可对角化，记作：例1已知验证：可对角化.解故可逆矩阵，且对角化条件思考：

如何判定相似于对角矩阵？阶矩阵设存在可逆矩阵使即令是的列向量组.由得基本概念矩阵的对角化计算方法判定条件也即显然，观察：为的特征值；为的对应于特征值的特征向量.定理1阶矩阵的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.表明：矩阵的对角化求解“转化”为它的特征值与特征向量问题.基本概念矩阵的对角化计算方法判定条件计算方法相似于对角矩阵阶矩阵的具体计算步骤：Step1：

Step2：

写出阶方阵的特征矩阵求出的特征值Step3：

对的每个特征值求齐次线性方程组的基础解系，即为的对应于的线性无关特征向量.Step4：

基础解系组成的可逆矩阵基本概念矩阵的对角化计算方法判定条件例2解

由则的特征值当时，则得基础解系当时，则得基础解系已知判定能否对角化？易知：线性无关.可对角化.因此，矩阵基本概念矩阵的对角化计算方法判定条件解

可对角化.即时,例3则的特征值已知当为何值时，可对角化？当时，则当时,基础解系含2个向量等于特征值的重数.基本概念矩阵的对角化计算方法判定条件主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞实对称矩阵|对角化《线性代数》基本性质实对称矩阵对角化例题拓展对角化并非所有的矩阵都与对角矩阵相似，是否存在一类矩阵一定能对角化？性质1思考：

实对称矩阵的特征值都是实数.例1解回顾：实对称矩阵阶方阵满足由已知求它的特征值.特征值为：实数基本性质实对称矩阵对角化例题拓展对角化性质2实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量相互正交.证明：设的两个特征值分别为它们分别对应的特征向量为则由于故内积即与正交.作差：基本性质实对称矩阵对角化例题拓展对角化例2验证：得其特征值为：由例1可知，令已知验证其特征向量正交.当时，则得特征向量当时，则得特征向量不难验证，故的特征向量正交.基本性质实对称矩阵对角化例题拓展对角化思考：

实对称矩阵是否一定相似于对角矩阵？定理1设是阶实对称矩阵，则存在正交矩阵使