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文档简介

主讲人：王飞二次型|惯性定理与规范形《线性代数》惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形思考：

对二次型所用可逆线性变换不同，则化化成的标准形一般不同.但对同一个二次型，不同的标准形有什么共同特性？例1二次型经可逆线性变换化为下列形式的标准形：标准形(1)：标准形(2)：标准形(3)：观察：

（1）含非零平方项项数不变：3；（2）含”+”,

”-”项数不变:2,1.惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形定理1和分别把它化为两种标准形则正惯性指数：含“+”号项的个数负惯性指数：含“—”号项的个数符号差：正惯性指数与负惯性指数的差设实二次型两种可逆线性变换的秩为惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形例2设4阶实对称矩阵二次型的特征值为求二次型的正惯性指数、负惯性指数、符号差.解:二次型的标准形为故的正惯性指数为3,负惯性指数为1，符号差为2.由二次型的标准形与实对称矩阵特征值的关系可知，结论：

二次型的正负惯性指数与实对称矩阵特征值的正负个数一一对应.惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形例3解:设二次型的正、负惯性指数都是1，求参数二次型的标准形对应的对角矩阵元素有一个为零.由的正、负惯性指数都是1,可知即的特征值为零.根据特征值的性质，的行列式为零，则即惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形探索设二次型的标准形作可逆线性变换则二次型化为：作可逆线性变换则二次型化为：交换正负项次序平方项系数为1或-1惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形定义1将元二次型化为标准形后，可交换正负项的次序（可逆线性变换），化标准形为作可逆线性变换则称为二次型的规范形，且唯一.惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形定理2任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形，且规范形是由二次型本身唯一决定，与所作可逆线性变换无关.计算方法化二次型化为规范形的基本步骤.Step1：

采用配方法或正交变换法，将二次型化为标准形；Step2：

作可逆线性变换，交换标准形的正负项次序；Step3：

作可逆线性变换，使得二次型的系数均为1或-1；Step4：

写出二次型的规范形.解

惯性定理二次型的规范形例题拓展规范形例4将二次型化为规范形,并求二次型的正、负惯性指数、符号差.采用配方法化二次型为标准形，令则二次型对应的标准形为：令故二次型的规范形为：不难发现，二次型的正、负惯性指数分别为2

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