初高中数学暑假衔接材料：第03讲 全称量词命题与存在量词命题（原卷版及解析）

4/11第03讲全称量词命题与存在量词命题内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1全称量词命题与存在量词命题的判断题型2判断全称量词命题与存在量词命题的真假题型3根据命题的真假求参数题型4全称量词命题的否定题型5存在量词命题的否定题型6命题否定的真假判断题型7根据命题否定的真假求参数04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题1.了解全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题；2.掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断、全称量词命题与存在量词命题的否定、命题的否定与原命题的真假；学习重点：全称量词命题与存在量词命题的真假判断、全称量词命题与存在量词命题的否定、命题的否定与原命题的真假学习难点：根据命题的真假求参数、根据命题否定的真假求参数知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01全称量词命题与存在量词命题【知识点1全称量词与存在量词】1．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2．存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”知识点02全称量词命题与存在量词命题的真假【知识点2全称量词命题与存在量词命题的真假判断】1．全称量词命题的真假判断要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.2．存在量词命题的真假判断要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义.知识点03全称量词命题与存在量词命题的否定【知识点3全称量词命题与存在量词命题的否定】1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对全称量词命题否定的两个步骤：(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq\o(→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3．对存在量词命题否定的两个步骤：(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq\o(→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.知识点04命题的否定与原命题的真假【知识点4命题的否定与原命题的真假】1．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．2．命题否定的真假判断(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【注】命题p与p的否定的真假性相反.题型1全称量词命题与存在量词命题的判断【例1】下列命题是全称量词命题的是（

）A．存在一个实数的平方是负数B．每个四边形的内角和都是360°C．至少有一个整数x，使得x2D．存在一个实数x，使得x【易错提醒】/【方法总结】【变式1-1】下列命题是全称量词命题的是（

）A．∃x∈C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数【变式1-2】下列命题中是存在量词命题的是（

）A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形C．能被6整除的数也能被3整除 D．∀x∈R，【变式1-3】下列命题中是存在量词命题的是（

）A．所有的素数都是奇数 B．∀x∈C．对任意一个无理数x，x2也是无理数 题型2判断全称量词命题与存在量词命题的真假【例2】下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有（

）A．∃x∈R，x2−2x+1<0C．∃x∈R，x2+2x+2≥0 D．∀x∈R【易错提醒】/【方法总结】【变式2-1】下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（

）A．梯形是四边形 B．∀x∈R，C．∃x∈R，x+1≥1 D．存在一个实数x【变式2-2】下列命题中为真命题的是（

）A．∃x∈R,x2C．∀x∈R,|x|>3 【变式2-3】下列命题中为真命题的是（

）A．∃x∈R，使得x2+1<0 B．C．∀x∈R，x题型3根据命题的真假求参数【例3】已知命题p：∀x∈xx≥1，a−12x2≤0(1)若两个命题都是真命题，求实数a的取值范围；(2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围.【易错提醒】/【方法总结】【变式3-1】（已知命题p:∀x∈x|1≤x≤2，都有x2−a≥0，命题q:存在x0∈R,x02+2aA．a|a≤−2 B．a|a≤1C．a|a≤−2或a=1 【变式3-2】已知p:∀x∈R,x2+4x+a≠0，若pA．0,4 B．−∞,0 C．−∞【变式3-3】已知命题p:∀x∈R,x2+a−1≥0，若pA．(−∞,1) B．(−∞,1] C．题型4全称量词命题的否定【例4】设命题p:∀m∈Z,m2>2m−3A．∀m∈Z,mC．∃m0∉Z,【易错提醒】/【方法总结】【变式4-1】若命题p：∀x>0，x3+1>0，则p的否定为（A．∀x>0，x3+1≤0 B．∃x≤0C．∀x≤0，x3+1>0 D．∃x>0【变式4-2】已知命题p:∀x,y∈0,3,x+y<6，则命题p的否定为（A．∀x,y∈0,3,x+y≥6 C．∃x0,【变式4-3】命题∀x>1,x2−m>1A．∃x>1,x2−m≤1C．∀x>1,x2−m≤1题型5存在量词命题的否定【例5】若命题p:∃x∈R，使3x2+mx+m2A．∃x∈R，使3x2+mx+m2C．∃x∈R，使3x2+mx+m2【易错提醒】/【方法总结】【变式5-1】命题“∃x∈R，x2−x+1=0A．∀x∈R，x2−x+1≠0 B．C．∀x∈R，x2−x+1=0 D．【变式5-2】已知命题p:∃x>1，x3−xA．p为真命题，且p的否定是“∀x>1，x3B．p为真命题，且p的否定是“∀x>1，x3C．p为假命题，且p的否定是“∀x>1，x3D．p为假命题，且p的否定是“∀x>1，x3【变式5-3】命题“∃x>0，A．∀x≤0，x2C．∃x≤0，x2题型6命题否定的真假判断【例6】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假．(1)对任意的实数x，都有x2(2)存在实数x，使得x2(3)所有的素数都是奇数；(4)方程x2.【易错提醒】/【方法总结】【变式6-1】已知命题p:∃x∈R, x2A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题【变式6-2】已知命题p：∀x≥0，x≥x，命题q:∃x,y∈R,x+y<xyA．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题【变式6-3】下列命题的否定为真命题的是（

）A．∃x,y∈R，使得方程2x+5y=9B．∀x∈R，C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．∀x∈R，方程a题型7根据命题否定的真假求参数【例7】已知p：关于x的方程x2-2ax+a2+a-2=0(1)若¬q是真命题，求a(2)若p和q中恰有一个是真命题，求a的取值范围.【易错提醒】/【方法总结】【变式7-1】已知命题p:“∀x∈R，使得2a(1)写出命题p的否定形式¬p；(2)若命题¬p是一个假命题，求实数a的取值范围．【变式7-2】命题“∃x∈R,x2+1≤mA．−∞,1 C．1,+∞ D．【变式7-3】已知p:∃x<0,x+a−1=0，若p的否定为真命题，则a的取值范围是（

）A．a<1 B．a≥−1 C．a>−1 D．a≤1一、单选题1．下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（

）A．所有的素数都是奇数 B．∃x∈Q，使xC．矩形都有外接圆 D．∀x∈Z,x都有平方根2．下列是存在量词命题且是真命题的是（

）A．∀x∈R,xC．∀x∈N,x3．命题“∃x∈R，x2−2x+2≤0A．∃x∈R，x2−2x+2≥0 B．C．∀x∈R，x2−2x+2>0 D．4．已知命题p：∀x∈R，x+1>1；命题q：∃x0>0，A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题5．已知命题“∀x∈R,x2+ax+A．−∞,−1∪C．(−1,1) D．−1,16．命题“存在x>0，使得mx2+2x−1>0A．m>−2 B．m>−1 C．m>0 D．m=−1二、多选题9．下列各命题中的假命题是（

）A．∀x∈R，1−x2<0 C．∃x∈Z，x3<1 D．10．已知命题p:∃x∈R，使得2kx2+x+3A．k=−1 B．k=1 C．k<13 三、填空题11．命题“∀x<0，x2+ax−1≥0，”的否定是12．命题p:∃x∈R,x2−2x+m=0，命题q:∀x∈R,x2−mx+1>0若命题p､四、解答题13．设命题p:∀x∈R，x2−2x−m>0；命题(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若q为假命题，求实数m的取值范围；14．已知p：∃x∈R，ax2+ax+1=0，q：a≤t−2(1)若命题¬p是真命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围.15．设命题p:∀x∈R，使得不等式mx2−mx+2>0恒成立；命题(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p､q有且只有一个是真命题，求实数

第03讲全称量词命题与存在量词命题内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1全称量词命题与存在量词命题的判断题型2判断全称量词命题与存在量词命题的真假题型3根据命题的真假求参数题型4全称量词命题的否定题型5存在量词命题的否定题型6命题否定的真假判断题型7根据命题否定的真假求参数04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题1.了解全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题；2.掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断、全称量词命题与存在量词命题的否定、命题的否定与原命题的真假；学习重点：全称量词命题与存在量词命题的真假判断、全称量词命题与存在量词命题的否定、命题的否定与原命题的真假学习难点：根据命题的真假求参数、根据命题否定的真假求参数知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01全称量词命题与存在量词命题【知识点1全称量词与存在量词】1．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2．存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”知识点02全称量词命题与存在量词命题的真假【知识点2全称量词命题与存在量词命题的真假判断】1．全称量词命题的真假判断要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.2．存在量词命题的真假判断要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义.知识点03全称量词命题与存在量词命题的否定【知识点3全称量词命题与存在量词命题的否定】1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对全称量词命题否定的两个步骤：(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq\o(→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3．对存在量词命题否定的两个步骤：(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq\o(→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.知识点04命题的否定与原命题的真假【知识点4命题的否定与原命题的真假】1．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．2．命题否定的真假判断(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【注】命题p与p的否定的真假性相反.题型1全称量词命题与存在量词命题的判断【例1】下列命题是全称量词命题的是（

）A．存在一个实数的平方是负数B．每个四边形的内角和都是360°C．至少有一个整数x，使得x2D．存在一个实数x，使得x【答案】B【解题思路】由存在量词和全称量词的性质逐项判断即可；【解答过程】选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题.故选：B.【易错提醒】/【方法总结】由存在量词和全称量词的性质逐项判断即可【变式1-1】下列命题是全称量词命题的是（

）A．∃x∈C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数【答案】C【解题思路】根据全称量词的特征即可求解.【解答过程】对于A，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意；对于B，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意；对于C，命题为：所有偶数的平方是偶数，此命题为全称命题，符题意；对于D，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意.故选：C.【变式1-2】下列命题中是存在量词命题的是（

）A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形C．能被6整除的数也能被3整除 D．∀x∈R，【答案】A【解题思路】根据存在量词命题的概念判断即可.【解答过程】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意；正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意；能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除，是全称量词命题，故C不符合题意；∀x∈R，x故选：A.【变式1-3】下列命题中是存在量词命题的是（

）A．所有的素数都是奇数 B．∀x∈C．对任意一个无理数x，x2也是无理数 【答案】D【解题思路】根据存在量词命题的概念即可判断.【解答过程】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题；对于B中含有“∀”，该命题是全称量词命题；对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题；对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题；故选：D.题型2判断全称量词命题与存在量词命题的真假【例2】下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有（

）A．∃x∈R，x2−2x+1<0C．∃x∈R，x2+2x+2≥0 D．∀x∈R【答案】C【解题思路】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解.【解答过程】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意，选项A：因为x2选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题；选项C：x2故选：C．【易错提醒】/【方法总结】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解【变式2-1】下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（

）A．梯形是四边形 B．∀x∈R，C．∃x∈R，x+1≥1 D．存在一个实数x【答案】A【解题思路】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题.【解答过程】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确；对于B，是全称量词命题，当x=−1时，x3CD选项都为存在量词命题，不合题意.故选：A.【变式2-2】下列命题中为真命题的是（

）A．∃x∈R,x2C．∀x∈R,|x|>3 【答案】B【解题思路】依次对每个选项中的命题进行真假判断，通过举例或推理来确定.【解答过程】对于A选项，对于命题∃x∈R,x2+1<0，因为对于任意实数x，x对于B选项，对于任意的整数x，3x一定是整数，3x+1也一定是整数，所以∃x∈Z对于C选项，对于命题∀x∈R,|x|>3，当x=0时，|0|=0，不满足对于D选项，对于命题∀x∈Q,x2∈故选：B.【变式2-3】下列命题中为真命题的是（

）A．∃x∈R，使得x2+1<0 B．C．∀x∈R，x【答案】C【解题思路】根据全称量词与存在量词命题真假的判断方法依次判断即可.【解答过程】选项A：因为∀x∈R，x选项B：当x∈N*时，选项C：∀x∈R选项D：因为有的无理数的平方仍是无理数，如：π2故选：C.题型3根据命题的真假求参数【例3】已知命题p：∀x∈xx≥1，a−12x2≤0(1)若两个命题都是真命题，求实数a的取值范围；(2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围.【答案】(1)a(2)a−8<a≤1【解题思路】（1）根据全称命题的性质，结合存在命题的性质进行求解即可；（2）根据题意，分类讨论进行求解即可.【解答过程】（1）命题p为真命题时，a−12x2≤0⇒a≤要想∀x∈xx≥1，a−1命题q为真命题时，有Δ=a2因为两个命题都是真命题，所以实数a应同时满足上述条件，即a≤−8，因此实数a的取值范围aa≤−8（2）由（1）可知：当命题p为假命题时，a>1当命题q为假命题时，−8<a<8，当命题p为真命题时，命题q为假命题时，有a≤1当命题p为假命题时，命题q为真命题时，有a>12a≥8，或a>综上所述：实数a的取值范围a−8<a≤12【易错提醒】/【方法总结】根据全称命题的性质，结合存在命题的性质进行求解【变式3-1】（已知命题p:∀x∈x|1≤x≤2，都有x2−a≥0，命题q:存在x0∈R,x02+2aA．a|a≤−2 B．a|a≤1C．a|a≤−2或a=1 【答案】D【解题思路】求得p为真命题，实数a的取值范围；q为真命题，实数a的取值范围；进而可得p与q全为真命题时，实数a的取值范围，进而可得结论.【解答过程】若p为真命题，则a≤(x2)min，又x∈若q为真命题，则x02+2a解得a≥1或a≤−2，所以p与q全为真命题时，实数a的取值范围是{a|a≤−2或a=1}，所以p与q不全为真命题，则实数a的取值范围是a|−2<a<1或a>1.故选：D.【变式3-2】已知p:∀x∈R,x2+4x+a≠0，若pA．0,4 B．−∞,0 C．−∞【答案】C【解题思路】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，再由它们必有一真一假，即可根据真命题，结合判别式大于或等于零求解参数范围.【解答过程】由p:∀x∈R则¬p:∃x∈R即Δ=16−4a≥0⇒a≤4所以实数a的取值范围是−∞故选：C.【变式3-3】已知命题p:∀x∈R,x2+a−1≥0，若pA．(−∞,1) B．(−∞,1] C．【答案】D【解题思路】根据题意，由p为真命题，可得a≥−【解答过程】因为命题p:∀x∈R则a≥−x2所以a≥−即a的取值范围是[1,+∞故选：D.题型4全称量词命题的否定【例4】设命题p:∀m∈Z,m2>2m−3A．∀m∈Z,mC．∃m0∉Z,【答案】B【解题思路】由全称命题的否定为特称命题可得答案；【解答过程】由全称命题的否定为特称命题可得¬p为∃m∈Z故选：B.【易错提醒】/【方法总结】全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题【变式4-1】若命题p：∀x>0，x3+1>0，则p的否定为（A．∀x>0，x3+1≤0 B．∃x≤0C．∀x≤0，x3+1>0 D．∃x>0【答案】D【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题分析判断即可.【解答过程】命题p：∀x>0，x3+1>0的否定为∃x>0，故选：D.【变式4-2】已知命题p:∀x,y∈0,3,x+y<6，则命题p的否定为（A．∀x,y∈0,3,x+y≥6 C．∃x0,【答案】D【解题思路】由全称量词命题的否定可得出结论.【解答过程】由题意可知，命题p为全称量词命题，该命题的否定为：∃x故选：D.【变式4-3】命题∀x>1,x2−m>1A．∃x>1,x2−m≤1C．∀x>1,x2−m≤1【答案】A【解题思路】利用全称量词命题的否定直接判断即可.【解答过程】命题∀x>1,x所以所求否定是∃x>1,x故选：A.题型5存在量词命题的否定【例5】若命题p:∃x∈R，使3x2+mx+m2A．∃x∈R，使3x2+mx+m2C．∃x∈R，使3x2+mx+m2【答案】B【解题思路】利用带量词的命题的否定要求，改变量词，否定结论即得.【解答过程】因为命题p:∃x∈R，使3x2+mx+m2≠0，所以故选：B.【易错提醒】/【方法总结】利用带量词的命题的否定要求，改变量词，否定结论即得【变式5-1】命题“∃x∈R，x2−x+1=0A．∀x∈R，x2−x+1≠0 B．C．∀x∈R，x2−x+1=0 D．【答案】A【解题思路】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可【解答过程】根据特称命题的否定是全称命题，命题“∃x∈R，x2−x+1=0”的否定是：“∀x∈故选：A.【变式5-2】已知命题p:∃x>1，x3−xA．p为真命题，且p的否定是“∀x>1，x3B．p为真命题，且p的否定是“∀x>1，x3C．p为假命题，且p的否定是“∀x>1，x3D．p为假命题，且p的否定是“∀x>1，x3【答案】A【解题思路】举例可判断p为真命题，进而根据存在量词命题的否定求解即可.【解答过程】当x=2时，x3−x根据存在量词命题的否定，命题p的否定是“∀x>1，x3故选：A.【变式5-3】命题“∃x>0，A．∀x≤0，x2C．∃x≤0，x2【答案】B【解题思路】根据存在量词命题的否定方法，改变量词，否定结论即可.【解答过程】命题“∃x>0,x2−2x−1<0故选：B．题型6命题否定的真假判断【例6】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假．(1)对任意的实数x，都有x2(2)存在实数x，使得x2(3)所有的素数都是奇数；(4)方程x2【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析(4)答案见解析【解题思路】利用全称量词命题和存在量词命题的定义分别进行判断，然后写出它们的否定并判定真假即可.【解答过程】（1）全称量词命题．原命题的否定：存在一个实数x，使得x2（2）存在量词命题．原命题的否定：对任意的实数x，都有x2（3）全称量词命题．原命题的否定：存在一个素数不是奇数．原命题的否定是真命题．（4）全称量词命题．原命题的否定：方程x2【易错提醒】/【方法总结】利用全称量词命题和存在量词命题的定义分别进行判断，然后写出它们的否定并判定真假即可【变式6-1】已知命题p:∃x∈R, x2A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题【答案】C【解题思路】首先通过取特值判断命题p与命题q的真假，进而判断选项的正误即可.【解答过程】对于命题p：当x=1时，12−1−1=−1<0，因此命题p为真命题，从而对于命题q：当a=−2，b=−4时，a+b2=−2−42=−3，ab=−2×综上可得：命题p与命题¬q均为真命题.故选：C.【变式6-2】已知命题p：∀x≥0，x≥x，命题q:∃x,y∈R,x+y<xyA．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题【答案】B【解题思路】先分别判断命题p和命题q的真假，从而得到¬p，¬q的真假，再根据选项求解【解答过程】当x=14时，x≥x显然不成立，所以p当x=y=−1时，x+y<xy显然成立，所以命题q是真命题，¬q是假命题．【变式6-3】下列命题的否定为真命题的是（

）A．∃x,y∈R，使得方程2x+5y=9B．∀x∈R，C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．∀x∈R，方程a【答案】D【解题思路】根据命题的否定的定义以及真命题的定义逐一判断各个选项即可.【解答过程】原命题的否定为“∀x,y∈R，方程2x+5y=9没有整数解”，令x=2，则y=1原命题的否定为“∃x∈R,x2−2x+1<0原命题的否定为“存在一组邻边相等的平行四边形不是菱形”，为假命题，C错误；原命题的否定为“∃x∈R，方程ax2+bx+c=0不是一元二次方程”，当故选：D.题型7根据命题否定的真假求参数【例7】已知p：关于x的方程x2-2ax+a2+a-2=0(1)若¬q是真命题，求a(2)若p和q中恰有一个是真命题，求a的取值范围.【答案】(1)(-∞,1)∪(7,+∞)；(2)(-∞,1)∪(2,7].【解题思路】（1）由命题q是真命题求出a的取值范围，根据其补集即可得出¬q是真命题时a（2）利用判别式求出p为真时a的范围，分p真q假，p假q真两种情况求解即可.【解答过程】（1）由x-2a+5=0所以-3≤-5+2a≤9，解得因为命题¬q是真命题，则命题q所以a<1或7<所以实数a的取值范围是(-∞,1)∪(7,+∞).（2）由（1）知，命题q是真命题，即q:1≤若p为真命题，即关于x的方程x2因此Δ=4a2-4(则p为假命题时，a>2当p真q假时，则a≤2a<1或当p假q真时，则a>21≤a综上，p和q中恰有一个是真命题时，a的取值范围为(-∞,1)∪(2,7].【易错提醒】/【方法总结】（1）由命题q是真命题求出a的取值范围，根据其补集即可得出¬q是真命题时a（2）利用判别式求出p为真时a的范围，分p真q假，p假q真两种情况求解即可.【变式7-1】已知命题p:“∀x∈R，使得2a(1)写出命题p的否定形式¬p；(2)若命题¬p是一个假命题，求实数a的取值范围．【答案】(1)∃x∈R，使得(2)[0,8)【解题思路】（1）根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解；（2）根据题意，转化为即不等式2ax2+ax+1>0【解答过程】（1）由命题p:“∀x∈R，使得2a可得命题的否定为¬p：“∃x∈R，使得2a（2）因为命题¬p是一个假命题，则命题p:“∀x∈R，使得2a即不等式2ax2+ax+1>0当a=0时，不等式1>0恒成立，满足题意；当a≠0时，则满足a>0Δ=a综上可得，实数a的取值范围为[0,8)．【变式7-2】命题“∃x∈R,x2+1≤mA．−∞,1 C．1,+∞ D．【答案】B【解题思路】写出命题的否定，即可得到m<x2+1【解答过程】命题“∃x∈R,x因为∀x∈R,x2+1>m即x2+1min=1，所以m<1，即实数故选：B.【变式7-3】已知p:∃x<0,x+a−1=0，若p的否定为真命题，则a的取值范围是（

）A．a<1 B．a≥−1 C．a>−1 D．a≤1【答案】D【解题思路】根据p为假命题可得∀x<0,x+a−1≠0为真命题，由此得1−a≥0，求得答案.【解答过程】由题意命题p:∃x>0,x+a−1=0的否定为：∀x<0,x+a−1≠0为真命题，即∀x<0,x≠1−a，故1−a≥0，即a≤1，故选：D.一、单选题1．下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（

）A．所有的素数都是奇数 B．∃x∈Q，使xC．矩形都有外接圆 D．∀x∈Z,x都有平方根【答案】C【解题思路】根据全称量词命题的定义即可知选项B不合题意，再判断出ACD选项中命题的真假即可得出结论.【解答过程】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误；B选项，“∃x∈Q，使x2C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆”既是全称量词命题又是真命题，C选项正确；D选项，负整数没有平方根，“∀x∈Z,x都有平方根”是全称量词命题，但是假命题，D选项错误；故选：C.2．下列是存在量词命题且是真命题的是（

）A．∀x∈R,xC．∀x∈N,x【答案】B【解题思路】先根据全称量词命题和存在量词命题的概念进行区分，再判断真假即可求出答案.【解答过程】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题，对于B，当x=1时，此时1∈Z，12>0对于D，因为x2+y2≥0故选：B.3．命题“∃x∈R，x2−2x+2≤0A．∃x∈R，x2−2x+2≥0 B．C．∀x∈R，x2−2x+2>0 D．【答案】C【解题思路】根据存在量词命题否定的定义，先改变量词，再否定结论.【解答过程】命题“∃x∈R，x2−2x+2≤0”的否定是“∀x∈故选：C.4．已知命题p：∀x∈R，x+1>1；命题q：∃x0>0，A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题【答案】B【解题思路】根据给定条件，利用全称量词命题、存在量词命题的真假判断方法确定命题真假即可.【解答过程】对于命题p，取x=0，x+1=1，p是假命题，¬p对于命题q，取x0=12，x0因此选项ACD错误，B正确.故选：B.5．已知命题“∀x∈R,x2+ax+A．−∞,−1∪C．(−1,1) D．−1,1【答案】B【解题思路】根据题意，转化为∃x∈R【解答过程】由命题∀x∈R,x则满足Δ=a2−4×1×1所以实数a的取值范围为−∞故选：B.6．命题“存在x>0，使得mx2+2x−1>0A．m>−2 B．m>−1 C．m>0 D．m=−1【答案】C【解题思路】根据题意，转化为m>1−2xx2【解答过程】由存在x>0，使得mx2+2x−1>0当1x=1，即x=1时，1−2xx2的最小值为所以命题“存在x>0，使得mx2+2x−1>0结合选项可得，选项C符合题意.故选：C.二、多选题9．下列各命题中的假命题是（

）A．∀x∈R，1−x2<0 C．∃x∈Z，x3<1 D．【答案】AD【解题思路】利用特殊值法可判断AC选项；分x≥0、x<0两种情况讨论，去绝对值，可判断B选项；解方程x2【解答过程】对于A选项，取x=0，则1−x对于B选项，当x≥0时，x=x；当x<0时，x综上所述，∀x∈R，x对于C选项，取x=−1，则x3对于D选项，若x2=2，则故选：AD.10．已知命题p:∃x∈R，使得2kx2+x+3A．k=−1 B．k=1