初高中数学暑假衔接材料：第01讲 指数（原卷版）

9/10第01讲指数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1根式与分数指数幂的互化题型2\t"/gzsx/zj145209/_blank"\o"根式的化简求值"根式的化简求值题型3指数幂的运算题型4指数幂的化简、求值题型5指数式的给条件求值问题题型6指数幂等式及幂的方程问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航n次方根、指数幂1.理解n次方根，n次根式的概念及运算；2.会进行根式及分数指数幂的化简求值；3.通过对有理数指数幂aeq\f(m,n)(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.4.通过理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算，理解根式的概念及运算学习重点：理解根式的概念及运算性质；指数幂运算性质的应用学习难点：指数幂运算性质的应用知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01根式(1)n次方根的定义与性质定义一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*性质(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示；(2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为；(3)负数没有偶次方根；(4)0的任何次方根都是0，记作(2)根式的定义与性质定义式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数性质，知识点02分数指数幂整数指数幂指数

幂中

的指

数从

整数

拓展

到了

有理

数分数指数幂正整数指数幂：正数的正分数指数幂：负整数指数幂：正数的负分数指数幂：规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.知识点03指数幂的运算1．有理数指数幂的运算(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：

①(a>0,r,s∈Q)；

②(a>0,r,s∈Q)；

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)指数幂的几个常用结论：①当a>0时，>0；

②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义；

③若(a>0,且a≠1)，则r=s；

④乘法公式仍适用于分数指数幂.2．无理数指数幂及实数指数幂(1)无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数.

(2)实数指数幂的运算性质：

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.整数指数幂

的运算性质底数、指数

的取值范围实数指数幂

的运算性质底数、指数

的取值范围m,n∈Z,a∈Rr,s∈R,且a>0m,n∈Z,a∈Rr,s∈R,且a>0n∈Z,a∈R,b∈Rr∈R,且a>0,b>03．指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.题型1根式与分数指数幂的互化【例1】下列根式与分数指数幂的互化错误的是（

）A．3aa=C．x−12【易错提醒】/【方法总结】【变式1-1】下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【变式1-2】设a>0，则4a3A．a16 B．a15 C．【变式1-3】设a>0，则14a3A．a−16 B．a−15题型2\t"/gzsx/zj145209/_blank"\o"根式的化简求值"根式的化简求值【例2】若1<a<2，则31−a3+A．1 B．−1 C．3−2a D．2a−3【易错提醒】/【方法总结】【变式2-1】已知a<1，则a−12+3A．−1 B．1 C．2a−1 D．1−2a【变式2-2】若a<−1，则1+a6⋅3A．−a+15 B．a+15 C．−【变式2-3】下列各式正确的是（

）A．3−8=6C．nan=题型3指数幂的运算【例3】下列各式中，计算正确的是（

）A．m4·mC．−2xy3=−6x【易错提醒】/【方法总结】根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算再合并同类项即可【变式3-1】下列运算结果中，正确的是（

）A．a2⋅a3=a5 B．【变式3-2】3−82+A．16−π B．π C．−π 【变式3-3】6423−A．−985 B．−983 C．−995 D．−994题型4指数幂的化简、求值【例4】计算：(1)−1.80(2)若a=27，b=16，求−2ab【易错提醒】/【方法总结】利用根式与指数幂运算法则计算【变式4-1】（1）计算：94（2）化简：a【变式4-2】计算2n+12⋅A．164 B．22n+5 C．2【变式4-3】若a,b>0，则a−1−bA．12a−2+b−2 B．−题型5指数式的给条件求值问题【例5】（1）已知2a=4，求（2）已知a2+a−1=0，求【易错提醒】/【方法总结】【变式5-1】已知a12−a−A．35 B．±35 C．215【变式5-2】已知，求下列各式的值：(1)；(2)【变式5-3】若am=3，an=4，则A．24 B．12 C．26 D．题型6指数幂等式及幂的方程问题【例6】方程32x−1=A．−2 B．−22 C．2【易错提醒】/【方法总结】【变式6-1】方程5x−1A．1,4 B．14 C．1,14【变式6-2】方程81×32x=19【变式6-3】关于x的方程4x−2x=2一、单选题1．设a>0，则4a3aA．a13 B．a15 C．2．若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．3−82+A．16−π B．π C．−π 4．下列等式成立的是（

）A．x13=−C．x3+y5．若有意义，则的取值范围是（

）A．， B．，，C．，， D．，，6．设，那么（

）A． B． C． D．二、多选题7．下列各式错误的是（

）A．6y2=C．x−13=−3x8．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．−x=(−x)C．x−139．已知实数a满足，下列选项中正确的是（

）A． B．C． D