初高中数学暑假衔接材料：第02讲 基本不等式（解析版）

25/26第02讲基本不等式内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1利用基本不等式比较大小题型2利用基本不等式求最值（无条件）题型3条件等式求最值题型4利用基本不等式证明不等式题型5基本不等式“1”的妙用求最值题型6基本不等式的恒成立问题题型7基本不等式的实际应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航基本不等式1.探索基本不等式以及它的证明过程；体会证明不等式的基本方法；2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件；3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。学习重点：基本不等式的探索过程和证明；运用基本不等式求函数的最值学习难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点基本不等式【知识点1基本不等式的证明】1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”基本不等式(a>0,b>0)当且仅当“a=b”时取“=”叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，.2.基本不等式的常见变形(1).(2)【知识点2基本不等式的应用】1．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．2．利用基本不等式求最值的几种常见方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【知识点3等式的基本性质】1．等式的基本性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么.【知识点4不等式的性质】1．不等式的性质(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．2．不等式的两类常用性质(1)倒数性质①a>b，ab>0⇒；②a<b<0⇒；③a>b>0，0<c<d⇒；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒．(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①真分数的性质；②假分数的性质.题型1利用基本不等式比较大小【例1】已知实数a、b，下列四个不等式成立的是（

）A．a+1a≥2C．a+b2≤ab【答案】D【解题思路】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D.【解答过程】对于A，取a=−1，则a+1对于B，a2+2+即a2+2=1对于C，取a=2,b=4，则a+b2对于D，a2+b故选：D.【易错提醒】/【方法总结】利用基本不等式比较大小时要注意等号成立的条件【变式1-1】下列结论表述正确的是（）A．若，则恒成立B．若，则恒成立C．若，，则成立D．若x＜0，则【答案】C【分析】根据基本不等式成立的条件可判断ABCD的正误.【解析】对于A，若，则恒成立，错；对于B，若，则恒成立，若，则，错；对于D，∵，如时，，∴D错误；对于C，因为，而，，故成立.故选：C．【变式1-2】若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a+b，2ab，2ab，a2+A．2ab B．2ab C．a2+【答案】A【解题思路】首先根据基本不等式比较大小，再作差比较，即可判断.【解答过程】因为0<a<1，0<b<1，且a≠b，a+b>2ab，a2ab−2ab=2ab1−ab所以2ab−2ab>0，即2ab<2ab故选：A.【变式1-3】已知a、b∈R+且a≠b，下列各式中最大的是（A．a2+b22 B．a+b2【答案】A【解题思路】利用基本不等式逐项判断即可.【解答过程】由重要不等式可得a2+b2≥2ab但a≠b，则a2因为a2+b2≥2ab故a2+b但a≠b，则a2由基本不等式可得2aba+b≤2×但a≠b，则2aba+b故这四个数中，最大的为a2故选：A.题型2利用基本不等式求最值（无条件）【例2】设实数满足，函数的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据基本不等式成立的条件，用配凑法可解.【详解】因为，所以，所以,当且仅当，即时，等号成立.所以函数的最小值为.故选：A.【易错提醒】/【方法总结】不能直接用基本不等式求最值的，可通过配凑法再用基本不等式求最值【变式2-1】当x>1时，2x+2xx−1的最小值为（A．6 B．8 C．9 D．10【答案】B【解题思路】2x+2x【解答过程】因为x>1，则x−1>0，2x+2x≥22x−1×2x−1所以2x+2xx−1的最小值为故选：B.【变式2-2】已知，则的最大值是（

）．A． B． C．5 D．8【答案】A【分析】化简变形利用基本不等式计算即可．【详解】易知．因为，所以，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故，则的最大值是．故选：A【变式2-3】已知0<a<12，则a1−2aA．1 B．22 C．18 【答案】C【解题思路】根据题意结合基本不等式运算求解即可.【解答过程】因为0<a<12，则可得2a1−2a≤2a+当且仅当2a=1−2a，即a=1所以a1−2a的最大值为1故选：C.题型3条件等式求最值【例3】已知正实数x,y满足xy+x+2y=6，则x+2y的最小值是（

）A．22+2 B．4 C．5 【答案】B【解题思路】由题意得x=8y+1−2，代入x+2y【解答过程】由xy+x+2y=6有：x=6−2y所以x+2y=8当且仅当8y+1=2y+1故选：B.【易错提醒】/【方法总结】条件等式求最值是通过消元配凑法再用基本不等式求最值【变式3-1】已知a≥0，b≥0，且ab+2a−b=6，则a+b的最小值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解题思路】从ab+2a−b=6中解出a=4b+2+1，代入a+b【解答过程】∵ab+2a−b=6，∴ab+2=6+b，∴a+b=4∵b≥0，∴4∴a+b=4当且仅当4b+2=b+2时，即∴a+b的最小值为3.故选：C.【变式3-2】若，，，则的最小值为.【答案】9【分析】根据已知等式可得，代入所求式子结合基本不等式即可得最值.【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.【变式3-3】已知实数a>0,b>0，2a+b=8，则ab的最大值是（

）A．22 B．6 C．8 D．16【答案】C【解题思路】根据题意，利用基本不等式2ab≤(【解答过程】因为a>0,b>0且2a+b=8，则ab=1当且仅当2a=b时，即a=2,b=4时，等号成立，所以ab的最大值为8.故选：C.题型4利用基本不等式证明不等式【例4】已知a,b,c均为正实数，求证：2b+3c−aa【答案】证明见解析【解题思路】将2ba+a2b≥2【解答过程】因为a,b,c均为正实数，所以2ba+a3ca+a3c2b+2b以上三式相加，得2ba+a所以2ba+a即2b+3c−aa+a+3c−2b【易错提醒】/【方法总结】不能直接用基本不等式求最值的先通过拆分、配凑再用基本不等式【变式4-1】（1）已知实数均大于0，证明：．（2）已知，证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）对括号内应用重要不等式证明即可；（2）应用基本不等式，取加法化简即可.【详解】证明：（1）根据待证不等式结构选用，当且仅当时等号成立，所以．（2）因为，所以，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，所以，因此．【变式4-2】已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1．求证：a+1【答案】证明见解析【解题思路】将证明式子中的1用a+b+c=1代换，整理为4+(b【解答过程】因为a，b，c都为正实数，且a+b+c=1，所以(a+=(a+a+b+c=4+(ba+当且仅当a=b=c=1所以a+1【变式4-3】（1）已知正实数，且，求证：．（2）已知正实数，且，求证：（3）已知，都是正数，且，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论.（2）根据题设及基本不等式易得，，，将这三个式子相加即可求证.（3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论.【详解】（1）由均为正实数，且，则，当且仅当，即时等号成立，故.（2）由均为正实数，且，则，当且仅当，即时等号成立，，当且仅当，即时等号成立，，当且仅当，即时等号成立，所以，则，当且仅当时等号成立.（3）由均为正实数，且，则，当且仅当，即时等号成立，故.题型5基本不等式“1”的妙用求最值【例5】已知，且，则的最小值是.【答案】【分析】由乘1法即可求解.【详解】由得：，，当且仅当时取得等号，所以的最小值是，故答案为：【易错提醒】/【方法总结】等式条件通常化为等于1的形式后再乘以所求式子即可用基本不等式求最值【变式5-1】已知正实数x,y满足x+2y=xy，则x+y的最小值为（

）A．3+22 B．2 C．3 D．【答案】A【解题思路】先将x+2y=xy变形得1y+2【解答过程】因为x>0,y>0，所以xy>0，由x+2y=xy，则1y所以x+y=≥3+2x当且仅当xy=2y所以x+y的最小值为3+22故选：A.【变式5-2】已知a+2b=2，且a>0,b>0，则1a+1A．4 B．6 C．1+22 D．【答案】D【解题思路】由题设转化得a+2b+1【解答过程】由题可得a+2b+1=4，又则1≥1当且仅当2b+1a=所以1a+1【变式5-3】已知，则的最小值为.【答案】【分析】根据已知等式，结合代数式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为，所以，由，所以，因为，当且仅当，即当时取等号，所以有.所以当时，有最小值，故答案为：题型6基本不等式的恒成立问题【例6】已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用基本不等式得出，结合题干信息得出，利用即可.【详解】因，则，等号成立时，因，则，即，解得，即，因不等式恒成立，则，故实数的最小值是.故选：D【易错提醒】/【方法总结】不等式恒成立问题实际就是求函数的最值问题，常用方法：1.通过分离参数后再求函数的最值即可2.直接或通过配凑法后用基本不等式求最值【变式6-1】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．，或C． D．，或【答案】A【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8，然后根据这个最小值确定m的取值范围.【详解】，，当且仅当时等号成立，恒成立，，解得.故选：A.【变式6-2】已知x,y都是正数，x+y=1且1x+1xy≥mA．m≤3+22 B．m≥3+22 C．m≤2+22【答案】A【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出1x+1【解答过程】由x,y都是正数，且x+y=1，则1x当且仅当2yx=x所以1x+1又由1x+1故选：A.【变式6-3】）已知x,y>0满足x+y=6.(1)求yx(2)若x2+4y【答案】(1)1(2)m【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值；（2）先求出0<y<6，参变分离得到m≤x2+4y2x+4y，变形得到x2【解答过程】（1）y≥1当且仅当2yx=x即yx+3（2）由x>0,y>0,x+y=6，得x=6−y>0，即0<y<6，不等式x2+4yx2=5当且仅当y+2=16y+2，即因此当x=4,y=2时，x2+4y2x+4y所以m的取值范围mm≤题型7基本不等式的实际应用【例7】青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积S.

(1)用含有的代数式表示；(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？【答案】(1)，(2)【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式；（2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为，所以，可得，又，则，又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得，即关于的关系式为.（2）由（1）知，，，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.【变式7-1】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为xm，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高x应为（

A．53 B．3 C．103【答案】C【解题思路】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值.【解答过程】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为50m3，长为5m，高为xm，宽10则总造价z=1805x+2·当且仅当9x=100x，即x=10所以当垃圾池的高为103故选：C.【变式7-2】如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区平行于墙的长度为xm，垂直于墙的长度为y

(1)若育苗区面积为8m2，求(2)若使用的篱笆总长为10m，求1【答案】(1)当x=4,y=2时，所用篱笆总长最小(2)9【解题思路】（1）运用基本不等式即可得解；（2）运用乘“1”法和基本不等式即可得解.【解答过程】（1）由题意得，xy=8，所用篱笆总长为x+2y，则x+2y≥22xy=8，当且仅当x=2y，即所以当x=4,y=2时，所用篱笆总长最小.（2）由题意得，x+2y=10，则1x当且仅当2yx=2xy，即x=y=10【变式7-3】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量y（单位：百件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式y=20x−20+2，其中20<x<50.已知该商品的成本为10A．800元 B．8000元 C．900元 D．9000元【答案】B【解题思路】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值．【解答过程】设该超市每月销售该商品所获得利润为L，∵每件利润为x−10元，每月的销售量为100y件，∴L=100yx−10=100令t=x−20，则0<t<30，∴L=10020t+2t+10=200∴该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为8000元．故选：B．一、单选题1．设正实数，满足，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式求解即可.【详解】因为，，，所以，又，，所以，所以，当，即，即，时等号成立，所以的最小值为.故选：C.2．已知正数，满足，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据基本不等式由和为定值求乘积的最大值即可判断A；根据基本不等式将式子转化为再求解最值即可判断B；根据基本不等式将式子取平方转化为再求解最值即可判断C；利用基本不等式“1”的巧用求解的最值即可判断D.【详解】对于A，因为正数，满足，所以，当且仅当时，等号成立，故A不正确；对于B，因为，又，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C，因为，又，所以，当且仅当时，等号成立，所以，故C不正确；对于D，因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故D不正确.故选：B.3．已知正数满足，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．5【答案】A【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】正数满足，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：A4．已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用乘“1”法并结合基本不等式可求得的最小值，从而可得实数m的取值范围.【详解】由，可得：，又因为，，则，当且仅当，即时取等号，所以，由恒成立，可得，即实数m的取值范围为.故选：A.5．已知实数满足，且，求的最小值为（

）A． B． C．6 D．8【答案】D【分析】由可得：，代入，得，令，再利用基本不等式可求最小值.【详解】由方程，可得：，代入所求表达式得：，令，则：，由，所以，因为，所以，所以.由基本不等式得：，当且仅当“”，即“”，即时取等号.所以最小值为8.故选：D6．若正实数满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简再应用基本不等式计算求解.【详解】由，又因为，所以，即得，所以当且仅当时取等号，所以，所以的最大值是故选：B.二、多选题7．下列不等式成立的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【分析】根据基本不等式的性质，结合题设条件，对各选项进行逐一判断．【详解】选项A：，当且仅当，即，无实数解，时，取得最小值，最小值为，故A成立；选项B：，，，当且仅当，即取等号，故B成立；选项C：，若，则，当且仅当，即时取等号，若，则，当且仅当，即时取等号，当时，原不等式成立；当时，原不等式不成立，故C不成立；选项D：，异号，且，，，当且仅当，即时取等号，故选项D成立．故选：．8．已知，且，则（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是4D．的最小值是【答案】AC【分析】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可.【详解】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确；因为，故，当且仅当时，等号成立，即最小值是，选项B错误；，当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确；，故，当且仅当时等号成立，即的最大值为，选项D错误，故选：AC．三、填空题9．若，则的最大值为．【答案】16【分析】法一：利用均值不等式的变形公式求解即可；法二：利用均值不等式求解即可.【详解】法一：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为16.法二：因为，所以，，由均值不等式可得，从而，当且仅当，即时取等号．所以的最大值为16.故答案为：1610．已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是．【答案】【分析】由题意可得，将化为，再利用基本不等式可求得的范围．【详解】因为为正实数，所以，因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立，此时，又因为，所以在上有解，所以由基本不等式可知时等号成立，所以，故实数的取值范围是．故答案为：.四、解答题11．（1）已知x>3，求x+4（2）求2x4−x【答案】（1）7；（2）2【解题思路】（1）根据基本不等式求解即可.（2）求出x的范围，结合基本不等式求解即可.【解答过程】（1）因为x>3，所以x−3>0，x+4当且仅当x−3=4x−3时，即所以x+4（2）由题意知2x4−x≥0，即xx−4所以2x4−x当且仅当x=4−x，即x=2时取得等号，所以2x4−x的最大值是212．已知x>0，y>0，x+y=4.(1)求xy的最大值；(2)求1x【答案】(