初高中数学暑假衔接材料：第03讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（解析版）

4/23第03讲从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1解不含参数的一元二次不等式题型2解含参数的一元二次不等式题型3由一元二次不等式的解确定参数题型4三个“二次”关系的应用题型5一元二次不等式恒成立问题题型6一元二次不等式有解问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航一元二次方程、二次函数、一元二次不等式1.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系2.掌握含参一元二次不等式的解法；3.掌握利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法。学习重点：利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法学习难点：有关参数的分类讨论知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01从函数观点看一元二次方程【知识点1从函数观点看一元二次方程】1．二次函数的零点一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点.【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点．2．二次函数与一元二次方程的根的对应关系当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示：判别式∆=b2-4ac∆>0∆=0∆<0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个相异的实数根

有两个相等的实数根

没有实数根二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的零点有两个零点

有一个零点

无零点知识点02一元二次不等式【知识点2一元二次不等式】1．一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.2．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．知识点03三个“二次”的关系【知识点3三个“二次”的关系】1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式∆=b2-4ac∆>0∆=0∆<0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个相异的实数根

x1,x2（x1<x2）有两个相等的实数根

没有实数根二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c>0(a>0)的解集Rax2+bx+c<0(a>0)的解集（x1，x2）【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．知识点04一元二次不等式恒成立、存在性问题【知识点4一元二次不等式恒成立、存在性问题】1．一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件．一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为．题型1解不含参数的一元二次不等式【例1】不等式x2+5x−6>0的解集为（A．{x∣x<−1或x>6} B．{x∣x<−6或x>1}C．x−6<x<1 D．【答案】B【解题思路】先对不等式因式分解，再根据一元二次不等式的解法求解即可.【解答过程】由x2+5x−6>0，得解得x<−6或x>1，则不等式x2+5x−6>0的解集为{x∣x<−6或故选：B.【易错提醒】/【方法总结】解一元二次不等式一定要把二次项的系数化为正数再因式分解【变式1-1】不等式x−12−x≥0的解集为（A．x∣1≤x≤2 B．{x∣x≤1或x≥2}C．{x∣1<x<2} D．{x∣x<1或x>2}【答案】A【解题思路】直接利用一元二次不等式求解即可.【解答过程】因为x−12−x≥0，所以由一元二次不等式解得1≤x≤2，所以解集为x∣1≤x≤2.故选：A.【变式1-2】解一元二次不等式.(1)x2(2)x−x(3)4x(4)x2【答案】(1)−3≤x≤1(2)x<−2或x>3．(3)一切实数．(4)x=3．【解题思路】根据一元二次不等式的解法计算即可得答案.【解答过程】（1）∵Δ>0，方程x2∴不等式的解为−3≤x≤1．（2）整理得，x2∵Δ>0，方程x2∴原不等式的解为x<−2或x>3．（3）整理，得(2x+1)2由于上式对任意实数x都成立，∴原不等式的解为一切实数．（4）整理，得(x−3)2由于当x=3时，(x−3)2=0成立；而对任意的实数∴原不等式的解为x=3．【变式1-3】解下列一元二次不等式(1)x(2)−2【答案】(1)2,4(2)−【解题思路】根据一元二次不等式的解法求解即可.【解答过程】（1）由x2−6x+8<0，得解得2<x<4，所以不等式的解集为2,4；（2）由−2x2+7x+9<0即2x−9x+1>0，解得x>9所以不等式的解集为−∞题型2解含参数的一元二次不等式【例2】当a<0时，关于x的不等式ax2−A．R B．xC．xx>2a或【答案】D【解题思路】由a<0，不等式ax2−a+2x+2>0可化为x−2a【解答过程】因为a<0，ax方程x−2ax−1=0的解集为所以不等式的解集为x2故选：D.【易错提醒】/【方法总结】将二次不等式二次项的系数化为1时要注意二次项系数的正负。【变式2-1】关于x的一元二次不等式ax−aA．xx<a或x>−1 B．C．xa<x<−1 D．【答案】A【解题思路】对a进行分类讨论即可求解【解答过程】当a=0时，不等式即为0>0，此时不等式的解集为∅，故不等式的解集可能为D；当a>0时，不等式的解集为xx<−1或x>a当−1<a<0时，不等式的解集为x−1<x<a，故不等式的解集可能为B当a=−1时，不等式即为−x+12>0当a<−1时，不等式的解集为xa<x<−1，故不等式的解集可能为综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A.故选：A.【变式2-2】当0<a<1时，关于x的不等式x-3A．-∞,a-3aC．3,a-3a【答案】C【解题思路】将原不等式转换为x-3x-a-3【解答过程】0<a<1时，1-a>0，不等式因为a-3a-1所以-2aa-1解原不等式，得3<x所以原不等式的解集为x|3<故选：C.【变式2-3】）关于x的不等式ax2+2aA．-∞,-2 B．-2,C．-∞,-2∪1a【答案】C【解题思路】考虑a=0和a<0两种情况，当a<0时将不等式变形为x+2x-1【解答过程】当a=0时，不等式ax2+2故不等式的解集为-∞,-2，故A可能；当a<0时，ax2当a∈-12,0当a=-12当a∈-∞,-12时，故选：C.题型3由一元二次不等式的解确定参数【例3】若关于x的不等式x2+bx+c≤1bA．-12 B．-32 【答案】C【解题思路】根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理，即可求解.【解答过程】由题不等式x2+bx所以-32,2所以-32+2=-b-所以b+故选：C.【易错提醒】/【方法总结】根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理，即可求解【变式3-1】已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x∣x≤−1或x≥3}，则cA．x−1<x<13C．x−13【答案】A【解题思路】直接根据三个二次的关系解得系数的关系，进而直接解一元二次不等式可得.【解答过程】关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x∣x≤−1故a<0，且−1+3=−ba−1×3=所以不等式−3ax2−2ax+a<0，即3故选：A．【变式3-2】关于x的不等式2x2+1-2aA．2,3 B．2,3 C．2,3 D．2,3【答案】A【解题思路】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出a的取值范围.【解答过程】原不等式可化为2x则方程2x2+1-2a当a=-当a<-12时，原不等式的解集为：a<x当a>-12要使不等式的解集中整数有且只有3个，则2<a则正数a的取值范围为2,3.故选：A.【变式3-3】已知关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（A．{a∣5<a≤6} B．a|−4≤a<−3C．{a|−4≤a<−3或5<a≤6} D．{a|−4≤a<−3或5≤a<6}【答案】C【解题思路】化不等式x2−(a+1)x+a<0为x−ax−1<0，分a=1，【解答过程】不等式x2−(a+1)x+a<0，可化为当a=1时，不等式x2当a>1时，不等式x2−(a+1)x+a<0的解集为要使不等式x2−(a+1)x+a<0恰有四个整数解，则当a<1时，不等式x2−(a+1)x+a<0的解集为要使不等式x2−(a+1)x+a<0恰有四个整数解，则综上可得，实数a的取值范围是{a|−4≤a<−3或5<a≤6}．故选：C.题型4三个“二次”关系的应用【例4】不等式cx2+ax+b>0的解集为x−1<x<1A． B．C． D．【答案】B【解题思路】根据不等式的解集得到c<0，−1,12为cx2+ax+b=0【解答过程】由题意得c<0，−1,12为故−1+12=−y=ax对称轴为x=−b所以B选项正确.故选：B.【易错提醒】/【方法总结】根据不等式的解集确定二次项的系数，再由根与系数关系确定其他系数的符号【变式4-1】不等式ax2−bx+c>0的解集为x−2<x<1，则函数A．

B．

C．

D．

【答案】A【解题思路】根据题意，可得方程ax2−bx+c=0的两个根为x=−2和x=1，且a<0，结合二次方程根与系数的关系得到a、【解答过程】因为ax2−bx+c>0所以方程ax2−bx+c=0的两根分别为−2则−2+1=ba故函数y=ax且与x轴的交点坐标为1,0和−2,0，故A选项的图象符合.故选：A.【变式4-2】已知不等式ax2+bx+c>0A．f(4)>f(0)>C．f(0)>f(1)>【答案】A【解题思路】利用二次不等式ax2+bx+c>0【解答过程】由于二次不等式ax2+所以a>0，-1,3是方程ax2即b=-2则f(x)=ax所以f故选：A.【变式4-3】已知二次函数y=x2-a-1x(1)当a=3时，求x(2)求关于x的不等式y+1≥0【答案】(1)12(2)答案见解析【解题思路】（1）根据根与系数的关系得x1+x（2）讨论两根大小求解一元二次不等式.【解答过程】（1）当a=3时，y由题意可知x1,x2是方程x2故x1（2）不等式y+1≥0可转化为x当a>-1时，不等式y≥1的解集是当a=-1时，不等式y≥1的解集是当a<-1时，不等式y≥1的解集是题型5一元二次不等式恒成立问题【例5】若不等式a-2x2-2a-2xA．-∞,-2∪2,+∞ C．-2,2 D．-2,2【答案】D【解题思路】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解.【解答过程】当a=2时，-4<0恒成立，则a当a≠2时，a-2<0Δ=4所以实数a的取值范围为(-2,2].故选：D.【易错提醒】/【方法总结】平方项的系数不确定时一定要注意分类讨论【变式5-1】设函数y=(1)若对于一切实数x,y<0(2)对于1≤x≤3,y【答案】(1)-4<(2)m【解题思路】（1）通过m=0,（2）法一：结合二次函数y=【解答过程】（1）要使mx若m=0，显然-1<0若m需满足m综上：-4<m（2）解法一：要使y<-m+5就要使mx-1令y=当m>0时，y在1≤x≤3∴当x>3时ymax=7当m=0时，-6<0当m<0时，y在1≤x≤3∴当x=1时ymax=∴m综上所述：m<解法二：当1≤x≤3时，即当1≤x≤3时，∵x又∵mx2∵函数y=6x2-∴m<【变式5-2】若关于x的不等式x2+ax+12a>0对∀x∈A．0<a<12 B．0<a<13 C．【答案】C【解题思路】根据一元二次不等式x2+ax+1【解答过程】因为不等式x2+ax+1所以Δ=解得0<a<2．故选：C．【变式5-3】设0<x<12，若关于x的不等式2kx2−A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解题思路】根据题意整理可得k≤3x−22x【解答过程】因为2kx2−且0<x<12，则2x令t=2−3x∈12,2可得k≤−t因为t+1t≥2t⋅1当且仅当t=1t，即t=1，可得k≤9，所以实数k的最大值为9.故选：B.题型6一元二次不等式有解问题【例6】若关于x的不等式x2-4x>a2-5A．0,5 B．1,4C．(-∞，0)∪(5，+∞) 【答案】A【解题思路】求得x2-4x【解答过程】x2-4x=xx2-4x由于关于x的不等式x2-4x所以a2-5a故选：A.【易错提醒】/【方法总结】不等式有解（或能成立）问题实际就是求函数的最值问题，常用方法：1.通过分离参数后再求函数的最值即可2.直接或通过配凑法后用基本不等式求最值【变式6-1】若∃x∈x|1≤x≤3，使得A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3【答案】B【解题思路】分析可知原题意等价于∃x∈x|1≤x【解答过程】因为x2-2ax又因为1≤x≤3，则2x原题意等价于∃x∈x令t=2x-1可得x2当且仅当t=9t可得a≥2，所以实数a的范围是a故选：B.【变式6-2】若命题“∃x∈R，使得x2+2ax+2a+3<0”为真命题，则实数aA．a|a<−1 B．a|−1≤a≤3C．{a|a<−1或a>3} D．a|1−【答案】C【解题思路】根据题意，关于x的不等式x2+2ax+2a+3<0有解，则对应二次函数的判别式Δ>0，解关于【解答过程】因为“∃x∈R，使得x则Δ=(2a)2解之得{a|a<−1或a>3}，即C正确.故选：C.【变式6-3】若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+y4<m2A．−1<m<2 B．m<−2，或m>1C．−2<m<1 D．m<−1，或m>2【答案】D【解题思路】应用基本不等式求出(x+y4)min，不等式【解答过程】因为正实数x，y满足4x+y=2xy，所以4y所以x+≥1当且仅当4xy=y4x且因为不等式x+y所以只需(x+y4)所以m<−1或m>2.故选：D.一、单选题1．不等式(x−2)(x+3)>0的解集为（

）A．{x|x<−2或x>3} B．{x|−2<x<3} C．{x|x<−3或x>2} D．{x|−3<x<2}【答案】C【解题思路】此题主要解一元二次不等式，先确定方程的根，由二次项系数为正，抛物线开口向上，进而确定不等式“大于0取两侧”得出解集即可.【解答过程】由不等式(x−2)(x+3)>0，可得x<−3，或x>2，故不等式的解集为{x|x<−3或x>2}，故选：C.2．已知方程x2−2mx+m+2=0的两根都在区间(1,4)内，则m的取值范围为（A．[2,3) B．(1,187) C．[【答案】D【解题思路】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得.【解答过程】令f(x)=x2−2mx+m+2，设f(x)=0由x1,x2都在区间(1,4)内，得所以m的取值范围为[2,18故选：D.3．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|−2≤x≤3}，则不等式cA．{x|−13<x<12}C．{x|−12<x<13}【答案】D【解题思路】根据题意，利用韦达定理，得到a,b,c的关系，代入不等式cx【解答过程】由一元二次不等式ax2+bx+c≥0可得x1+x则不等式cx2+bx+a>0可转化为−6a因为a<0，则−a>0，不等式即为(3x−1)(2x+1)>0，解得x<−12或所以不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|x>故选：D．4．关于x的不等式x2−2ax+a>0对∀x∈R恒成立，则aA．0<a<1 B．0<a<2C．0<a<12 【答案】A【解题思路】先分析不等式恒成立需满足的条件，再计算求解．【解答过程】不等式x2−2ax+a>0对fxΔ=4a2∴a的取值范围是0<a<1，故A正确．故选：A．5．不等式cx2+ax+b>0的解集为x−1<x<12A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据不等式的解集得到c<0，−1,12为cx2+ax+b=0【解析】由题意得c<0，−1,12为故−1+12=−y=ax2+bx−c开口向下，对称轴为x=−b故选：B.6．下列说法不正确的有（

）A．当x∈R时，不等式kx2−kx+1>0恒成立，则B．x2−kx+k−1<0在1,2上恒成立，则实数kC．当x>0时，不等式x2−ax+16>0恒成立，则实数aD．若不等式x2−ax+4≥0对任意x∈1,3恒成立，则实数【答案】D【分析】讨论k的取值，结合一元二次不等式恒成立可得k的范围，选项A正确；利用分离参数的方法可得选项B正确；利用分离参数的方法得到关于a的不等式，恒成立问题转化为小于（或小于等于）函数的最小值，结合基本不等式可得选项C正确，选项D错误.【解析】A.当k=0时，1>0恒成立，当k≠0时，k>0Δ=k综上得，k的取值范围是0,4，选项A正确.B．由x2−kx+k−1<0得由x∈1,2得，x+1−k<0，k>x+1在1,2上恒成立，故k≥3，即实数k的取值范围是3,+C.由题意得，a<x+16x(x>0)由x+16x≥2x⋅16故实数a的取值范围是−∞D.由题意得，a≤x+4x,x∈由x+4x≥2x⋅4故实数a的取值范围是(−∞故选：D.二、多选题7．已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为−A．a>0 B．不等式bx+c>0的解集为xC．a+b+c>0 D．不等式cx2−bx+a<0的解集为【答案】AD【解题思路】根据已知有−2,3是方程ax2+bx+c=0的两个根，且a>0【解答过程】由题设−2,3是方程ax2+bx+c=0所以−ba=1ca由bx+c=−ax−6a>0⇒x+6<0⇒x<−6，B错，由cx2−bx+a=−6ax2故选：AD.8．关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（

）A． B． C． D．2【答案】CD【解析】当时，不等式化为，则解集中有无数个整数.当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误；所以，，，所以所以不等式的解集为：，根据0一定属于此集合，则由不等式的解集中恰有3个正整数，则这3个整数中一定为：，则，解得故可取和2，故C,D正确，AB错误；故选：CD.9．已知函数，下列说法正确的是（

）A．若关于的不等式的解集是或，则B．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为C．若，则的最大值为D．若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是【答案】ACD【分析】对于A选项，根据一元二次不等式解集与方程根的关系来确定参数的值，再验证等式.对于B选项，运用集合有且仅有两个子集，得到方程有一个根，借助根的判别式，得到，关系式，化简式子，再求最值即可.对于C选项，先根据已知条件得到与的关系，再利用换元数学方法，结合基本不等式求式子的最大值.对于D选项，根据不等式的解集以及已知条件确定的取值范围.【解析】对于A选项，因为关于的不等式的解集是或，则和是两根.由韦达定理，，解得，.则，所以A选项正确.对于B选项，运用集合有且仅有两个子集，则方程有一个根，所以判别式，即，可得.把代入得：所以当时，取得最大值.所以B选项错误.对于C选项，若，则，即.令，则.所以.令，则.对求最大值，.根据均值不等式，当且仅当时取等号.所以，所以C选项正确.

对于D选项，当时，.因为不等式的解集中有且仅有三个正整数，令，则的解集中有且仅有三个正整数,所以,的解集为,所以的解集中有且仅有三个正整数，，，则，解得，所以