初高中数学暑假衔接材料：第03讲 集合的基本运算（暑假预习讲义）（解析版）

2/14第03讲集合的基本运算内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：并集的运算题型2：交集的运算题型3：由集合的并集、交集求参数题型4：补集的运算题型5：交、并、补集的混合运算题型6：维恩图的应用题型7：容斥原理题型8：集合混合运算中的求参问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航并集交集补集全集集合运算的运算律1.理解并集、交集的定义，掌握并集、交集的符号表示，能正确求解两个（多个）集合的并集与交集。2.理解全集与补集的概念，掌握补集的符号表示，能在给定全集下求指定集合的补集。3.掌握集合运算的基本运算律（交换律、结合律、分配律、德摩根定律），能运用运算律简化集合运算过程。4.能结合Venn图直观分析集合的运算关系，借助图形解决集合运算的综合问题。5.能运用集合的并、交、补运算解决实际应用问题，掌握集合运算与集合关系的综合题型解法。学习重点：并集、交集、补集的概念与符号表示，集合基本运算的求解方法，集合运算律的基础应用。学习难点：集合运算与集合包含关系的综合题型，含参数的集合运算问题，用Venn图解决复杂集合运算问题。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01交并补集的概念及表示1．并集自然语言符号语言图形语言由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B")2．交集自然语言符号语言图形语言由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作(读作“A交B")注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合．（2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．（3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．3．补集（1）全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．符号表示：全集通常记作.（2）补集的定义及性质定义文字语言对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作符号语言图形语言性质（1）；（2），注意：（1）表示一个集合；（2）是的子集，即；（3）是中不属于的所有元素组成的集合．即时即练设是小于9的正整数，．求：(1)(2)(3)(4)(5)【解析】（1）由题设，，则；（2）由，则；（3）由，所以；（4）由，所以；（5）由题设，所以.知识点02并集、交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质即时即练设已知集合，若，求实数a的取值范围.【解析】由，得.①当时，即，解得，此时，符合题意；②当时，即，所以，解得；所以实数a的取值范围是.

题型1：并集的运算【典例1-1】设集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，则．【典例1-2】（2026·高一·云南红河·阶段检测）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由并集定义可得：．【变式1-1】（2026·高一·安徽合肥·期中）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】集合，则.【变式1-2】已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以.【变式1-3】已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为集合，，所以.题型2：交集的运算【典例2-1】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解得，，所以，又集合故.【典例2-2】已知集合则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】联立不等式解得即.【变式2-1】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，所以.因此.【变式2-2】已知集合则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，所以.【变式2-3】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，.题型3：由集合的并集、交集求参数【典例3-1】已知集合，或.若，求实数的取值范围.【解析】由，有，解得，所以实数的取值范围为.【典例3-2】已知集合.，求实数m的取值范围.【解析】若，则，当时，，即；当时，，得，则实数m的取值范围为.【变式3-1】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知集合，(1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足时，求t的取值范围.(2)若，求t的取值范围.【解析】（1）若选，则,若②，则，若选③，则，因此不论选哪一个条件，都需要满足，接下来求解，若时，则，解得，若时，则，解得，综上可得，（2）当时，若时，则，解得，若时，或，解得，综上可得或.【变式3-2】已知集合，.若，求m的取值范围.【解析】由，可得，当时，，即，满足题意；当时，需满足，解得；综上可得，所以m的取值范围为.【变式3-3】记全集，已知集合，.若，求的取值范围.【解析】依题意，或，因为，所以解得，故的取值范围为.题型4：补集的运算【典例4-1】（2026·高二·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，因为，所以，则.【典例4-2】已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由全集，集合，则.【变式4-1】已知全集，集合则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得集合包含所有大于等于的实数，因此剩余实数范围为，即.【变式4-2】已知全集集合则中元素的个数为（

）A．2 B．3 C．5 D．4【答案】C【解析】由题意得则共5个元素.题型5：交、并、补集的混合运算【典例5-1】（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设集合，，，求：(1);(2);(3)【解析】（1）由，，可得.（2）因为，，所以.（3）因为，或，或.【典例5-2】（2026·高一·四川巴中·阶段检测）已知集合，(1)求；(2)求.【解析】（1）易知，又，所以；（2）易知或，；因此或.【变式5-1】（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）已知全集，集合，，(1)求，；(2)求．【解析】（1）利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图．则，.（2）依题意：或，或，所以．【变式5-2】（2026·高一·广西梧州·期末）已知全集，集合，，(1)求，；(2)求，.【解析】（1）集合，，利用数轴分别表示出全集及集合，，如下图：则，.（2）依题意可得，，所以，.【变式5-3】（2026·高一·天津宝坻·阶段检测）已知全集，集合，．(1)求；(2)求；(3)求．【解析】（1）集合，，根据并集的定义，得.（2）根据补集的定义可得或，根据交集的定义，得.（3）根据补集的定义可得或，根据并集的定义，得或.题型6：维恩图的应用【典例6-1】（多选题）（2026·高一·浙江·期中）下列集合表示图中阴影部分的为（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由题意可知阴影部分表示在集合中且不是集合中的元素，所以阴影部分表示，故B正确；对于A，因为中含有集合中的元素，与题意不符，故A错误；对于C，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故C正确；对于D，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故D正确.故选：BCD.【典例6-2】（多选题）（2026·高一·湖南衡阳·期中）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】选项A：表示“的全部”与“中的补集”的并集，包含了外的部分区域，与阴影部分不符，故A错误；选项B：表示“中的补集”，就等于阴影部分，故B正确；选项C：表示“以为全集时，的补集”，就等于阴影部分，故C正确；选项D：表示“中的补集”与的交集，就等于阴影部分，故D正确；故选：BCD【变式6-1】（多选题）（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由Venn图知：，当时也成立，A正确；，当时也成立，B错误；，当时也成立，C正确，，当时也成立，D正确，故选：ACD【变式6-2】（多选题）（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知U是全集，集合A，B的关系如图所示，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A，由图可知，故A错误；B、C、D均正确，故选：BCD题型7：容斥原理【典例7-1】（2026·高一·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人．【答案】18【解析】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，因此参加比赛项目的总人数为,因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，设只参加集体项目比赛一项的有人，则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人.故答案为：18.【典例7-2】（2026·高一·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______.【答案】10【解析】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人，只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人，只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人，如图所示：故，解得，故这三项比赛都参加的员工人数是10.故答案为：10【变式7-1】（2026·高一·安徽芜湖·阶段检测）2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有________人.【答案】4【解析】如图所示：因为有15人既去过米公祠也去过植物园，10人三个地方都去过，则同时去过米公祠和植物园，且未去过黄金塔的有人；同理可得：同时去过米公祠和黄金塔，且未去过植物园的有8人；同时去过植物园和黄金塔，且未去过米公祠的有6人；则只去过米公祠有人，只去过植物园有人，只去过黄金塔有人，可得至少去过一个地方的有人，所以三个地方都没去过的同学有人.故答案为：4.【变式7-2】（2026·高一·安徽芜湖·期中）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有_________人.【答案】7【解析】不妨将观看了《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》的同学分别用集合表示，设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，根据题意，画出相应的图，在相应的位置填上数字，则，解得，因此有4人同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》，所以只观看了《长安的荔枝》的有人.故答案为：.题型8：集合混合运算中的求参问题【典例8-1】（2026·高一·山东泰安·阶段检测）已知集合或．(1)当时，求；(2)若，求的取值范围．【解析】（1）当时，，因为或，所以，故；（2）由（1）知，若，则，当时，则，解得，满足题意；当时，由题意可得，解得．综上所述，，即的取值范围为．【典例8-2】（2026·高一·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义

(1)结合Venn图，请用集合的描述法表示；(2)若，，求；(3)若，，且，求实数的取值集合．【解析】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，所以.（2）由题意可知：，因为，，则，，所以或.（3）因为，，可知，则，且，又因为，可得，所以实数的取值集合为.【变式8-1】（2026·高一·江苏南京·阶段检测）设，且.(1)求的值及集合；(2)设全集，求；(3)设全集，若非空集合，求出所有集合，并求出所有集合的元素之和的总和.【解析】（1）因为，所以，把代入方程，解得，当时，方程的解为或，此时集合，符合，所以.（2）因为，所以.（3）因为，所以，因为非空集合，所以可能为，所以所有集合的元素之和的总和为.【变式8-2】（2026·高一·北京海淀·阶段检测）已知集合．若，则的取值集合为．(1)求集合．(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）若，则，解得，所以的取值集合为；（2）若，则，则，即，则或，要满足，则或，解得或，所以实数的取值范围是.【变式8-3】（2026·高二·江苏·阶段检测）已知，.(1)若时，求、；(2)若，求的取值范围.【解析】（1）当时，，，则，所以，则.（2）因为，则，当时，，解得，合乎题意；当时，即时，有，解得，即.综上，，即实数的取值范围是.

1．（2026·高一·湖南永州·开学考试）已知全集，集合，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，则，所以.2．（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或．3．（2026·高一·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（

）A．7人 B．8人 C．9人 D．10人【答案】D【解析】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合，则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记，有14人观看了《长安的荔枝》，记，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记，没有人同时观看三部电影．记，设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数），只看的人数：，只看的人数：要求的只看的人数：由所有不重叠部分加和等于总人数30，可得：，解得，因此只看的人数为人.4．（2026·高一·安徽滁州·开学考试）已知集合，则集合（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，则，而，则，若，则，，此时，不满足题意，故，同理可得，又，则.5．（2026·高一·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（

）A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环【答案】C【解析】由数环的定义可知，设，则，则，，故0是任何数环的元素，A正确；偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确；设，则，因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误；设，因为为数环，则，又为数环，则，所以，D正确．故选C．6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，若，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【解析】依题意，，由于，所以，解得，所以的最大值为.7．（多选题）（2026·高一·安徽·阶段检测）已知非空的集合的关系如图所示，则（

）

A． B．C． D．【答案】AD【解析】由图可得：，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D正确；故选：AD.8．（多选题）已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（

）A． B． C．若，则 D．若，则【答案】BC【解析】若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，A错误；若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，故，B正确；若，则，即，C正确；根据题目可知若，则，，代入条件①，则有，，代入条件②，则有，，可知.故若，则，由条件无法确定，D错误.9．（多选题）（2026·高一·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【解析】对于A，若，则，故A正确；对于B，若，则，则，故B错误；对于C，若，则，则，故C正确；对于D，若，又，所以，所以，故D正确.故选：ACD.10．（多选题）（2026·高一·河北唐山·期末）已知集合，，若，则的值可以为（

）A．3 B． C．2 D．1【答案】AC【解析】由，得，所以或，若，则，此时，，符合题意；若，解得或，当时，，，符合题意；当时，，集合不满足互异性，不合题意；综上，的值可以为或2.故选：AC.11．（多选题）（2026·高一·四川凉山·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】依题意可得且，当时，可得，即A正确；同时，所以B正确；结合A选项可得，即C错误；易知，又，所以，即D正确.故选：ABD12．（2026·高一·上海·期中）已知集合，，则______.【答案】【解析】，，，又，故可以取全体实数，，根据交集的定义可得.故答案为：.13．（2026·高一·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】因为集合，，且，当是空集时，，所以；当不是空集时，集合中是非负数，所以，无解；综上，实数的取值范围为．故答案为：.14．（2026·高一·北京房山·期中）已知集合．用列举法表示集合，则___________；若，则的取值范围是___________．【答案】【解析】解方程，得或，因此；由，得或，即或，解得或，因此，所以的取值范围是.故答案为：；15．（2026·高一·山西晋中·阶段检测）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为____.【答案】4【解析】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}，集合{参加游泳队的学生}，则，，，