初高中数学暑假衔接材料：第04讲 函数的奇偶性（原卷版）

12/13第04讲函数的奇偶性内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1判断函数的奇偶性题型2由函数奇偶性求函数值、解析式题型3由奇偶性求参数题型4函数奇偶性的应用题型5由函数奇偶性解不等式题型6函数的单调性和奇偶性、对称性的综合应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航函数的奇偶性1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题.3.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件.4.通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升学生的直观想象和逻辑推理素养；通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升学生的逻辑推理素养；通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升学生的直观想象和数学抽象素养.学习重点：函数奇偶性的概念与判断；学习难点：利用函数的奇偶性解决问题知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01函数的奇偶性1．函数的奇偶性(1)定义：定义偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数.非奇非

偶函数既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.定义域

特征定义域必须是关于原点对称的区间.等价

形式设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，-x∈I，且

f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，-x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立.(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.(3)奇、偶函数图象对称性的应用①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.2．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.3．函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.知识点02函数的图像1．函数图象的对称性(1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.(2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.2．函数图象的识别、判断(1)排除法：利用特殊点的值来排除；(2)利用函数的奇偶性、单调性来判断.3．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.题型1判断函数的奇偶性【例1】(1)fx(2)fx(3)fx(4)fx(5)fx【易错提醒】/【方法总结】【变式1-1】下列函数既是奇函数又在区间0,+∞上递增的是（

）A．y=-x B．y=-x2 【变式1-2】已知函数fx=1x，A．fx+gx是奇函数 C．fxgx是奇函数 【变式1-3】设函数f(x)=A．f(x+1)+1 B．f(x+1)-1题型2由函数奇偶性求函数值、解析式【例2】已知y=fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=x2−2x，则在A．−xx−2 B．xx−2 C．xx【易错提醒】/【方法总结】【变式2-1】已知fx为R上的奇函数，当x>0时，fx=x3+2x+1，则A．fx=−xC．fx=x【变式2-2】设fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=2x2A．−2 B．1 C．−1 D．−3【变式2-3】若奇函数fx和偶函数gx满足fx+gxA．1 B．2 C．3 D．4题型3由奇偶性求参数【例3】若函数是上的偶函数，则的值为.【易错提醒】/【方法总结】【变式3-1】若函数是定义在上的偶函数，则（

）A．6 B．5 C．4 D．3【变式3-2】函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【变式3-3】已知函数为偶函数，则．题型4函数奇偶性的应用【例4】设偶函数fx的定义域为R，当x∈0,+∞时，fx是增函数，则f−7，A．fπ>f−3C．fπ<f−3【易错提醒】/【方法总结】【变式4-1】设偶函数fx在区间−∞,−1A．f−32C．f2<f−1【变式4-2】函数的图象大致是（）A． B．C． D．【变式4-3】函数fx的大致图象如图所示，则fx可能是（

A．fx=1C．fx=x题型5由函数奇偶性解不等式【例5】已知偶函数fx的定义域为R，对于任意x1,x2∈0,+∞(x1≠A．2，+∞ B．1,2 C．−∞,1【易错提醒】/【方法总结】【变式5-1】定义在R上的奇函数fx，在−∞,0上单调递增，且f2=0，则满足xfA．−2,0∪2,4 C．−2,2∪5,+∞【变式5-2】设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0．若f(x)在(0,+∞)上单调递减，则不等式(x−1)f(x)>0的解集是（A．(−∞,−2)∪(1,2) C．(−2,0)∪(0,2) D．(−2,0)∪(2,+【变式5-3】已知fx为R上的奇函数，f2=2，若∀x1,x2∈A．−∞,0∪4,+∞B．−∞,0题型6函数的单调性和奇偶性、对称性的综合应用【例6】已知函数fx的定义域为R，fx+4为偶函数，f−x+2为奇函数，且fA．fB．x=4为函数fxC．函数fx在4,8D．f1【易错提醒】/【方法总结】【变式6-1】已知y=fx奇函数，fx=f2−x恒成立，且当0≤x≤1时，fx=x，设A．gB．函数y=gxC．函数y=gxD．函数y=gx在区间2022,2023【变式6-2】已知函数fx的定义域为R，fx+y=fA．f0=0 B．函数C．若f2=2，则f2024=−2 D．函数【变式6-3】已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有．(1)求函数的解析式；(2)解不等式．一、单选题1．下列函数中为偶函数的是（

）A． B．C． D．2．若，函数为上的奇函数，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件3．已知函数，若，则（

）A．0 B．2 C．4 D．64．若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B． C． D．25．函数，经过点，则关于的不等式解集为（

）A． B．C． D．6．定义在R上的奇函数fx，在−∞,0上单调递增，且f2=0，则满足xfA．−2,0∪2,4C．−2,2∪5,+二、多选题7．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（

）A． B．C． D．8．已知定义在上的函数满足fx−1为奇函数且，以下说法一定正确的是（

）A．B．，都有，且C．D．9．已知函数，下列结论正确的是（

）A．的图象关于轴对称 B．在上单调递减C．当时， D．的值域是三、填空题10．设fx=−x311．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是_____________四、解答题12．已知函数，且其定义域为．(1)判定函数的奇偶性；(2)利用单调性的定义证明：在