初高中数学暑假衔接材料：第05讲 充分条件、必要条件（暑假预习讲义）（解析版）

2/14第05讲充分条件、必要条件内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：充分条件与必要条件的关系判定题型2：数学文化背景下的条件关系问题题型3：充分、必要与充要条件的探究题型4：根据条件关系求解参数取值范围题型5：充要条件的双向论证题型6：条件关系与量词命题的综合应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航充分条件必要条件充要条件1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念，掌握三类条件的定义与逻辑含义，明确条件与结论的推出关系。2.能准确判断两个命题之间的条件关系：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要。3.掌握充要条件的证明方法，能完成简单的充要条件的双向证明过程。4.能根据充分条件、必要条件的逻辑关系，求解对应参数的取值范围。5.能结合集合的包含关系理解条件关系，掌握用集合思想快速判断条件关系的方法。学习重点：充分条件、必要条件、充要条件的核心概念，两类条件关系的基础判定方法。学习难点：充分条件与必要条件的逻辑区分，充要条件的双向严谨证明，根据条件关系求解参数取值范围，用集合思想处理复杂条件关系问题。

知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01充分条件与必要条件命题真假“若,则”是真命题“若,则”是假命题推出关系及符号表示由通过推理可得出,记作:由条件不能推出结论,记作:条件关系是的充分条件；是的必要条件不是的充分条件；不是的必要条件注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式．（2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”．即时即练已知a，b为实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为等价于，即，则或，所以当时，成立，当时，不一定成立，如，满足，但不满足，故“”是“”的充分不必要条件.知识点02充要条件如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件．如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件．注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件①若，则称是的充分条件，是的必要条件．②若，则是的充要条件．③若，且，则称是的充分不必要条件．④若，且，则称是的必要不充分条件．⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件．（2）“”的传递性若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件．即时即练已知集合，非空集合，是否存在实数m，使是的充要条件.【解析】∵若是的充要条件，则，∴，由于该方程组无解，即不存在实数m，使是的充要条件.

题型1：充分条件与必要条件的关系判定【典例1-1】（2026·高一·江西景德镇·阶段检测）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：若，则，当且仅当时等号成立，必要性：若，令，显然所以是充分不必要条件【典例1-2】（2026·高一·浙江衢州·期末）已知a是实数，那么“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由不等式，可得或，当时，成立，即充分性成立；反之：当时，不一定成立，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件.故选：A.【变式1-1】（2026·高一·吉林长春·期末）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意，集合真包含于集合，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【变式1-2】（2026·高一·河北邢台·期末）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则由可得，所以由“”可以推出“”，由“”不一定有“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A题型2：数学文化背景下的条件关系问题【典例2-1】（2026·高一·江苏·期中）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（

）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”是逻辑中的必要不充分条件，所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件.故选：B.【典例2-2】（2026·高三·浙江·阶段检测）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件，综合知“身正”是“令行”的充要条件，故选：C．【变式2-1】（2026·高一·浙江温州·期中）“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题：“一个人以学习为乐”，命题：“一个人喜爱学习”，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据题意，若命题（一个人以学习为乐）成立，则命题（一个人喜爱学习）一定成立，即；但命题成立时，命题不一定成立（喜爱学习的人未必以学习为乐），即.因此，是的充分不必要条件.故选A.【变式2-2】（2026·高二·安徽合肥·期末）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良.从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立；反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立；所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件.故选：B.【变式2-3】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就一定会“返回家乡”，“攻破楼兰”“返回家乡”，满足必要性，而“返回家乡”不一定是“攻破楼兰”的唯一条件，如“进京述职”等，故不满足充分性，“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件．故选：B．题型3：充分、必要与充要条件的探究【典例3-1】（2026·高一·江西赣州·期末）使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为命题“”为假命题，所以命题“”为真命题，所以.所以的一个必要不充分条件.故选：A【典例3-2】（2026·高一·广西北海·期末）“”的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A选项，时，一定推出，反之若时，例如，无法推出，故是的充分不必要条件，A选项正确；B选项，显然是的充要条件，B选项不正确；C选项，若，取，则不满足，充分性不成立，C选项错误；D选项，若，取，类似C的分析可知充分性不成立，D选项错误.故选：A【变式3-1】（2026·高一·江苏南京·阶段检测）设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，因为⫋，故使“”为真命题的一个充分不必要条件可以是，故选：B.【变式3-2】（2026·高一·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若，解得，即等价于.对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系，可知是的既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B：因为集合与集合相等，可知是的充要条件，故B错误；对于选项C：因为集合是集合的真子集，可知是的充分不必要条件，故C正确；对于选项D：因为集合是集合的真子集，可知是的必要不充分条件，故D错误.题型4：根据条件关系求解参数取值范围【典例4-1】设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数的取值范围.【解析】因为是成立的充分条件，所以；当时，，解得，此时满足题意；当时，，解得，综上所述，实数的取值范围是.【典例4-2】已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【解析】若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集，当时，，此时，满足是的真子集，当时，则，解得：，且和不能同时成立，综上所述：实数的取值范围为.【变式4-1】已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【解析】若“”是“”的充分不必要条件，则⫋，当时，即，则，当时，，得，综上，的取值范围为．【变式4-2】已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【解析】∵q是p的必要不充分条件，∴⫋，则或，解得，故实数的取值范围为.【变式4-3】已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，当时，，解得；当时，要使集合是集合的真子集，需使，解得.综上所述，实数的取值范围是.题型5：充要条件的双向论证【典例5-1】已知，证明：“”是“”的充要条件.【解析】先证充分性：由得，则，因此；再证必要性：由，得，由，得，因此，则所以“是“”的充要条件.【典例5-2】（2026·高一·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是【解析】（1）关于的一元二次方程.因为，所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）必要性：若关于的方程有一个根为1，则，充分性：若，则关于的方程有一个根为1，所以关于的方程有一个根为1的充要条件是；【变式5-1】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知二次函数，其中且.(1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是；(2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根.【解析】（1）必要性：若一元二次方程有一正根和一负根，则由韦达定理得：，即；充分性：若成立，此时方程一元二次方程的，方程有两个不同的根，且，即一元二次方程有一正根和一负根.所以一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是.（2）当时，为奇数，当时，均为奇数，因为为奇数，所以为偶数，所以同为奇数或同为偶数，假设有整数根，则，1、当均为偶数时，则为偶数，为偶数，又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾；2、当均为奇数时，若为偶数，则为偶数，为偶数，又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾；若为奇数，则为奇数，为奇数，又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾；综上，假设不成立，所以方程无整数根.【变式5-2】设集合．(1)证明：“”是“”的充分不必要条件；(2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明．【解析】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件．若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件．综上所述，“”是“”的充分不必要条件．（2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数．充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M．必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数．题型6：条件关系与量词命题的综合应用【典例6-1】设全集，集合，，其中．(1)若，求(2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围；(3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围．【解析】（1）当时，，所以，所以；（2），“”是“”的必要而不充分条件，是的真子集，，解得，即实数的取值范围为；（3）若命题“，使得”是假命题，则，，或，①当时，，解得，②当时，则，无解，即命题为假命题时，实数的取值范围为，命题为真命题时，实数的取值范围为．【典例6-2】（2026·高一·北京·期中）设全集，集合，集合.(1)若对任意，都有，求实数a的取值范围；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【解析】（1）由对任意，都有可知，当时，，解得，符合题意，因此；当时，而，，则，无解，所以实数的取值范围．（2）由“”是“”的充分不必要条件，得，又，，因此或，解得，所以实数的取值范围为；【变式6-1】（2026·高一·江苏常州·期中）已知条件对任意，不等式恒成立；条件当时，函数.（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【解析】（1）由题意，对任意，不等式恒成立，即当时，，又由时，，即，解得，即实数的取值范围.（2）对于命题：当时，函数，当时，函数，记，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，可得且“”不能同时成立，解得，经验证，当时满足题意，所以实数的取值范围.【变式6-2】（2026·高一·河南南阳·期末）已知集合．(1)当时，求；(2)请在下列三个条件中任选一个，求实数的取值范围．①；②；③是的充分条件．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）已知，当时，．因为，所以，（2）选条件①：因为，所以．当时，满足，即，解得.当时，需满足：，解得：．综上，实数的取值范围为．选条件②：因为，所以．当时，满足，即，解得.当时，需满足：，解得：．综上，实数的取值范围为．选条件③：因为是的充分条件，所以．当时，满足，即，解得.当时，需满足：，解得：．综上，实数的取值范围为．【变式6-3】（2026·高一·广东中山·阶段检测）已知集合，(1)若，则“”是“”的什么条件？（用充分不必要，必要不充分，充要条件等作答）(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）（1）由于，所以，，所以“”是“”的必要不充分条件.（2）由可得，当时，，解得，当时，则，无解，综上所述，的取值范围是.

1．（2026·高一·河北衡水·期中）若a，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”，因此充分性不成立；必要性：由“”可得，所以，即“”，可知必要性成立．因此“”是“”的必要不充分条件，故选B．2．（2026·高一·广东汕尾·期末）下列各选项中，是的必要不充分条件的是（

）A． B．C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分【答案】A【解析】对于A，因为，所以或，即由不能推出，但由能推出，所以是的必要不充分条件，故A正确；对于B，由等式的性质可知由能推出，由能推出，不满足是的必要不充分条件，故B不正确；对于C，因为，所以，，则，或，即由能推出，但由不能推出，不满足是的必要不充分条件，故C不正确；对于D，因为长方形的对角线互相平分，但不一定垂直，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而菱形不一定是长方形，即由不能推出，由不能推出，不满足是的必要不充分条件，故D不正确.故选：A.3．（2026·高一·福建宁德·期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，即或，即是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）下列说法正确的是（

）A．命题“，”的否定是“，”B．设，则“”是“”的必要不充分条件C．“”是“”的充分不必要条件D．“”是“”的既不充分也不必要条件【答案】C【解析】对于A，命题＂＂的否定是＂＂，故A不正确；对于B，由，解得且，所以＂＂是＂＂的充分不必要条件，故B错误；对于C，由，可得或，所以＂是＂＂的充分不必要条件，故C正确；对于D，由，解得或，所以＂＂是＂＂的充分不必要条件，故D错误．故选：C5．（2026·高一·全国·期末）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设集合，集合，若是的必要不充分条件，所以是的真子集，可得.故选：B.6．（多选题）（2026·高一·四川宜宾·期中）下列命题中为真命题的有（

）A．“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件.B．若是无理数，则也是无理数.C．若，则实数的值为1或2.D．，则的子集个数是4个.【答案】AD【解析】选项A：若四边形是正方形，则四边形也是长方形；若四边形是长方形，邻边可能不相等，则不能得到四边形是正方形，所以“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件，故A正确；选项B：若是无理数，则是有理数，故B错误；选项C：若，则或，若，则，不满足互异性，故舍去；若，则或（舍），综上实数的值为2，故C错误；选项D：由题意，有两个元素，则的子集个数有个，故D正确.7．（多选题）（2026·高一·广东揭阳·阶段检测）下列命题中为真命题的是（

）A．，B．是的充分不必要条件C．集合与集合表示同一集合D．设全集为，若，则【答案】AD【解析】对于A，当时，,故A是真命题；对于B，若，则或,若，则,所以是的必要不充分条件，故B不正确；对于C，集合与集合不表示同一集合，前者为点集，后者为数集，故C错误；对于D，由，可得若则，则，故D是真命题.8．设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______.【答案】【解析】若“”是“”的必要条件，则，又集合为非空集合，故有，解得.所以的取值范围.9．已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由函数，因为，可得，所以，由不等式，可得，所以集合．又因为“”是“”的充分条件，可得，则满足，即，解得或，所以实数的取值范围是．10．（2026·高一·陕西渭南·期中）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】对于命题：“方程至少有一个解”，若，则，解得，符合题意；若，则，解得且；综上所述：.若的一个必要不充分条件为“”，可知集合是集合的真子集，则，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.11．已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【解析】或，.又是的必要不充分条件，.①当时，则，得，②当时，则或，解得，综上，实数的取值范围是．12．（2026·高一·河北保定·期中）已知集合，集合或．(1)若，求实数的取值范围；(2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围．【解析】（1）已知A={x|