初高中数学暑假衔接材料：暑假预习专题 第1讲 集合的概念与表示方法（原卷版及解析）（暑假预习讲义）

2/14暑假预习专题第1讲集合的概念与表示方法内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航集合集合的表示方法列举法与描述法1.集合的定义及分类。2.集合中的元素的三大特征。3.集合的表示方法。学习重点：了解集合的含义，理解集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，并能利用性质解决简单的问题。学习难点：理解元素的特征以及元素与集合之间的属于关系，能用符号表示对象与集合之间的关系。1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集；元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的三大特征：（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可.（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．3、集合的分类一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅.例如，集合x|x常用数集及其记法：①全体自然数组成的集合，即自然数集，记作（包含0和正整数）；②不包含零的自然数组成的集合，记作；③全体整数组成的集合，即整数集，记作；④全体有理数组成的集合，即有理数集，记作；⑤全体实数组成的集合，即实数集，记作.另外，常用的集合的特殊表示法：实数集（正实数集）、有理数集（负有理数集）、整数集（正整数集）、自然数集（包含零）、不包含零的自然数集.4、集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法.（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：A={xx满足性质p}（集合而且凡具有性质p的元素都在集合A中），这种表示集合的方法叫做描述法．（3）区间法：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念闭区间在数轴上表示开区间在数轴上表示半开半闭区间在数轴上表示；这里的实数a，b统称为这些区间的端点．知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01集合的概念集合的概念：我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素．对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一；比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定．互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现．例如由元素1，2，1组成的集合中含有两个元素：1，2．无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．对集合概念的理解：1.描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同中面儿何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明；2.对象：现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的事与物等，都可以看你“对象”，即集合的元素；它具有广泛性，组成集合的对象可以是数、点、图形、人、物等；3.元素：具有共同的特征或共同的属性的对象；4.总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.【经典例题】【例1】下列所给对象不能构成集合的是________．（1）高一数学课本中所有的难题；（2）某一班级16岁以下的学生；（3）某中学的大个子；（4）某学校身高超过1．80米的学生；(5)1，2，3，1．【技巧归纳】判断指定的一组对象能否构成集合,关键在于能否找到一个明确的标准.【例2】已知x、y、z为非零实数，代数式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(z,|z|)＋eq\f(|xyz|,xyz)的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．B．C．D．【技巧归纳】判断一个集合的元素,关键在于通过分类讨论的办法找到一个明确的标准.【例3】用“”或“”填空（1）－3______N；（2）3．14______Q；（3）eq\f(1,3)______Z；（4）－eq\f(1,2)______R；(5)1______N*；(6)0________N．【技巧归纳】符号＂＂＂用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性（开口对着集合），左右两边不能互换.【对点练习】【练习1】下列几组对象可以构成集合的是()A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7m以上的人【练习2】用符号或填空：（1）（2）（3）（4）（5）（6）【练习3】下列四个说法中正确的个数是()①集合N中最小数为1；②若a∈N，则；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．A．0B．1C．2D．3【练习4】由组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A．1B．－2C．6D．2【练习5】由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生．【练习6】已知集合M＝{－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x．【练习7】设集合；若，试判断与的关系．知识点02集合的分类集合的分类：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集.我们引进一个特殊的集合——空集，规定空集不含元素，记作，例如，方程的实数解所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集．【经典例题】【例4】已知集合A＝{2，4，x2﹣x}，若6∈A，则x＝．【易错提醒】根据6∈A，所以6＝x2﹣x，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可．.【例5】（2024•浦东新区校级期中）若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形【易错提醒】根据集合元素的互异性可知,a,b,c三个元素互不相等,若此三个元素构成某一三角形的三边长，则此三角形一定不是等腰三角形.【例6】设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．求证：（1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素；（2）集合A不可能是单元素集．【易错提醒】（1）由2∈A得到－1∈A.由－1∈A得到12∈A.由12（2）假设a＝11−a，则a【例7】设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？【易错提醒】按当a=0，a=2和a=5时讨论，b依次取1，2，6，得出a+b的值，利用集合元素的互异性，得出P+Q中元素的个数．【对点练习】【练习8】已知集合，且中只有一个元素，求的值．【练习9】已知集合M=x|x=3m+1，m∈Z，N=y| 则x0y0与集合MA．x0y0∈M但x0y0∉NB．x0y0∈N但x0y0∉M【易错提醒】本题考查元素和集合的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．知识点03集合的表示方法集合的表示方法常用列举法和描述法将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为．集合也可以用封闭的图形或数轴（如区间法）表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示．【经典例题】【例8】（2024•普陀区校级期中）已知A={x|x=6a−1∈N，a∈N}，用列举法表示A【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用列举法来求得正确答案．【例9】（2024•宝山区校级月考）用列举法表示“能整除9的所有正整数”组成的集合：．【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用列举法来求得正确答案．【例10】（2024•金山区校级期中）已知集合M＝{x|0＜x≤3，x∈N}，用列举法表示集合M＝．【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用列举法来求得正确答案．【例11】（2024•浦东新区校级月考）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（）A．{x|x＝8k，k∈N}B．{x|x＝8k+8，k∈N} C．{1，2，4} D．{1，2，4，8}【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用描述法来求得正确答案．【例12】（2024•黄浦区校级期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为．【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用描述法来求得正确答案．【例13】（2023•长宁区校级期中）若（m，4m﹣3）为一确定区间，则m的取值范围为．【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用区间法来求得正确答案．【例14】集合{x|﹣1＜x≤5}用区间可表示为（）A．（﹣1，5） B．[﹣1，5] C．（﹣1，5] D．[﹣1，5）【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用区间法来表示集合，求得正确答案．【对点练习】【练习10】集合中实数的取值集合= 【练习11】给出下列四种说法①任意一个集合的表示方法都是唯一的；②集合与集合是同一个集合③集合与集合表示的是同一个集合；④集合是一个无限集．其中正确说法的序号是 ．（填上所有正确说法的序号）【练习12】设．【练习13】用列举法表示集合：=．【练习14】下列叙述正确的是（）A．{x|x＞1}用区间可表示为[1，+∞） B．{x|﹣3＜x≤2}用区间可表示为（﹣3，2） C．（﹣∞，3]用集合可表示为{x|x＜3} D．[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}1．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为．2．（24-25高一上·上海·月考）已知集合至多有一个元素，则的取值范围是.3．已知集合，，且，则实数的值为.4．（2024•青浦区校级月考）用列举法写出所有小于10的素数组成的集合．5．区间[﹣3，5）用集合表示为．6．Q是有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④．与集合M相等的集合序号是．7．下列叙述正确的是（）A．{x|x＞1}用区间可表示为[1，+∞） B．{x|﹣3＜x≤2}用区间可表示为（﹣3，2） C．（﹣∞，3]用集合可表示为{x|x＜3} D．[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}8．已知区间[2a﹣1，11]，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，6） B．（6，+∞） C．（1，6） D．（﹣1，6）9．以下选项中，是集合的元素的是（

）A． B． C． D．10．已知集合，，则中的元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．611．用表非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（

）A．4 B．3 C．2 D．912．（24-25高一上·上海·月考）集合，，其中、、为实数，若、分别表示集合、的元素个数，则下列结论中一定成立的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则 D．若，则13．（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期∙10月五校联考数学试题）已知集合S是由某些正整数组成的集合，且满足：若a∈S，则当且仅当a=m+n(其中m，n∈S且m≠n)，或a=p+q(其中p，现有如下两个命题:①4∈S；②集合xx=3n+5，n∈NA．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题.14．已知集合．（1）若，求的值；（2）若中只有一个元素，求的取值范围；（3）若中至多有一个元素，求的取值范围．

暑假预习专题第1讲集合的概念与表示方法内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航集合集合的表示方法列举法与描述法1.集合的定义及分类。2.集合中的元素的三大特征。3.集合的表示方法。学习重点：了解集合的含义，理解集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，并能利用性质解决简单的问题。学习难点：理解元素的特征以及元素与集合之间的属于关系，能用符号表示对象与集合之间的关系。1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集；元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的三大特征：（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可.（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．3、集合的分类一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅.例如，集合x|x常用数集及其记法：①全体自然数组成的集合，即自然数集，记作（包含0和正整数）；②不包含零的自然数组成的集合，记作；③全体整数组成的集合，即整数集，记作；④全体有理数组成的集合，即有理数集，记作；⑤全体实数组成的集合，即实数集，记作.另外，常用的集合的特殊表示法：实数集（正实数集）、有理数集（负有理数集）、整数集（正整数集）、自然数集（包含零）、不包含零的自然数集.4、集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法.（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：A={xx满足性质p}（集合而且凡具有性质p的元素都在集合A中），这种表示集合的方法叫做描述法．（3）区间法：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念闭区间在数轴上表示开区间在数轴上表示半开半闭区间在数轴上表示；这里的实数a，b统称为这些区间的端点．知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01集合的概念集合的概念：我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素．对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一；比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定．互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现．例如由元素1，2，1组成的集合中含有两个元素：1，2．无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．对集合概念的理解：1.描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同中面儿何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明；2.对象：现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的事与物等，都可以看你“对象”，即集合的元素；它具有广泛性，组成集合的对象可以是数、点、图形、人、物等；3.元素：具有共同的特征或共同的属性的对象；4.总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.【经典例题】【例1】下列所给对象不能构成集合的是________．（1）高一数学课本中所有的难题；（2）某一班级16岁以下的学生；（3）某中学的大个子；(4)某学校身高超过1．80米的学生；(5)1，2，3，1．【答案】（1）（3）(5)【技巧归纳】判断指定的一组对象能否构成集合,关键在于能否找到一个明确的标准.【例2】已知x、y、z为非零实数，代数式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(z,|z|)＋eq\f(|xyz|,xyz)的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．B．C．D．【答案】D【技巧归纳】判断一个集合的元素,关键在于通过分类讨论的办法找到一个明确的标准.【例3】用“”或“”填空（1）－3______N；（2）3．14______Q；（3）eq\f(1,3)______Z；(4)－eq\f(1,2)______R；(5)1______N*；(6)0________N．【答案】（1）（2）（3）(4)(5)(6)【技巧归纳】符号＂＂＂用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性（开口对着集合），左右两边不能互换.【对点练习】【练习1】下列几组对象可以构成集合的是()A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7m以上的人【答案】D【练习2】用符号或填空：（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】（1）（2）（3）(4)(5)(6)【练习3】下列四个说法中正确的个数是()①集合N中最小数为1；②若a∈N，则；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．A．0B．1C．2D．3【答案】A【练习4】由组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A．1B．－2C．6D．2【答案】C【练习5】由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生．【答案】①④⑤【练习6】已知集合M＝{－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x．【答案】x＝－3或x＝2．【练习7】设集合；若，试判断与的关系．【答案】知识点02集合的分类集合的分类：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集.我们引进一个特殊的集合——空集，规定空集不含元素，记作，例如，方程的实数解所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集．【经典例题】【例4】已知集合A＝{2，4，x2﹣x}，若6∈A，则x＝．【答案】3或﹣2．【详解】解：因为6∈A，所以6＝x2﹣x，解得x＝3或﹣2．符合题意；故x的值为3或﹣2．【易错提醒】根据6∈A，所以6＝x2﹣x，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可．.【例5】（2024•浦东新区校级期中）若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形【详解】解：根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；所以，答案是D.【易错提醒】根据集合元素的互异性可知,a,b,c三个元素互不相等,若此三个元素构成某一三角形的三边长，则此三角形一定不是等腰三角形.【例6】设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．求证：（1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素；（2）集合A不可能是单元素集．【证明】（1）若a∈A，则11−a∈A，又∵2∈A，∴eq\f(1,1－2)＝－1∈A，∵－1∈A，∴eq\f(1,1－(－1))＝eq\f(1,2)∈A，∵eq\f(1,2)∈A，∴eq\f(1,1－\f(1,2))＝2∈A，∴A中另外两个元素为－1，eq\f(1,2)；（2）若A为单元素集，则a＝11−a，即a2－a＋1＝0，方程无解，∴a≠11−a，∴A【易错提醒】（1）由2∈A得到－1∈A.由－1∈A得到12∈A.由12（2）假设a＝11−a，则a【例7】设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？【答案】8【解析】当a=0时，b依次取1，2，6，得a+b的值分别为1，2，6；当a=2时，b依次取1，2，6，得a+b的值分别为3，4，8；当a=5时，b依次取1，2，6，得a+b的值分别为6，7，11；由集合元素的互异性知P+Q中元素为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个.【易错提醒】按当a=0，a=2和a=5时讨论，b依次取1，2，6，得出a+b的值，利用集合元素的互异性，得出P+Q中元素的个数．【对点练习】【练习8】已知集合，且中只有一个元素，求的值．【答案】【练习9】已知集合M=x|x=3m+1，m∈Z，N=y| 则x0y0与集合MA．x0y0∈M但x0y0∉NB．x0y0∈N但x0y0∉M【答案】B【分析】设x0=3m+1,y由此可知x0y0∈N但则x0∴x0y0∈N【易错提醒】本题考查元素和集合的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．知识点03集合的表示方法集合的表示方法常用列举法和描述法将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为．集合也可以用封闭的图形或数轴（如区间法）表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示．【经典例题】【例8】（2024•普陀区校级期中）已知A={x|x=6a−1∈N，a∈N}，用列举法表示A【答案】{1，2，3，6}．【分析】利用列举法来求得正确答案．【解答】解：依题意，A={x|x=6a−1∈N，a∈N}=【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用列举法来求得正确答案．【例9】（2024•宝山区校级月考）用列举法表示“能整除9的所有正整数”组成的集合：．【答案】{1，3，9}．【解答】解：用列举法表示“能整除9的所有正整数”组成的集合为{1，3，9};故答案为：{1，3，9}．【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用列举法来求得正确答案．【例10】（2024•金山区校级期中）已知集合M＝{x|0＜x≤3，x∈N}，用列举法表示集合M＝．【答案】{1，2，3}．【分析】根据集合满足的条件，用列举法表示集合即可．【解答】解：因为M＝{x|0＜x≤3，x∈N}，所以用列举法表示集合M＝{1，2，3}；故答案为：{1，2，3}．【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用列举法来求得正确答案．【例11】（2024•浦东新区校级月考）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（）A．{x|x＝8k，k∈N}B．{x|x＝8k+8，k∈N} C．{1，2，4} D．{1，2，4，8}【答案】B【分析】能被8整除的所有正整数组成的集合中的元素为8的整倍数，结合选项判断即可．【解答】解：能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，所以C，D错误；选项A，当k＝0时，x＝0，即集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A错误，因此B正确;故选：B．【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用描述法来求得正确答案．【例12】（2024•黄浦区校级期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为．【答案】{（x，y）|﹣2≤x≤3，﹣1≤y≤2，且xy≥0}．【分析】根据描述法的定义求解．【解答】解：用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：{（x，y）|﹣2≤x≤3，﹣1≤y≤2，且xy≥0}．故答案为：{（x，y）|﹣2≤x≤3，﹣1≤y≤2，且xy≥0}．【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用描述法来求得正确答案．【例13】（2023•长宁区校级期中）若（m，4m﹣3）为一确定区间，则m的取值范围为．【答案】（1，+∞）.【分析】由区间的含义列出限制条件可得答案．【解答】解：由题意，m＜4m﹣3，解得m＞1；故答案为：（1，+∞）．【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用区间法来求得正确答案．【例14】集合{x|﹣1＜x≤5}用区间可表示为（）A．（﹣1，5） B．[﹣1，5] C．（﹣1，5] D．[﹣1，5）【答案】C【分析】根据区间表示集合的形式，即可求解．【解答】解：用区间表示集合{x|﹣1＜x≤5}＝（﹣1，5]；故选：C．【易错提醒】本题考查集合的表示方法，利用区间法来表示集合，求得正确答案．【对点练习】【练习10】集合中实数的取值集合= 【答案】【练习11】给出下列四种说法①任意一个集合的表示方法都是唯一的；②集合与集合是同一个集合③集合与集合表示的是同一个集合；④集合是一个无限集．其中正确说法的序号是 ．（填上所有正确说法的序号）【答案】②③④【练习12】设．【答案】【练习13】用列举法表示集合：=．【答案】．【练习14】下列叙述正确的是（）A．{x|x＞1}用区间可表示为[1，+∞） B．{x|﹣3＜x≤2}用区间可表示为（﹣3，2） C．（﹣∞，3]用集合可表示为{x|x＜3} D．[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}【答案】D【分析】根据区间的概念逐项判断即可．【解答】解：对于选项A，{x|x＞1}用区间可表示为（1，+∞），故A错误；对于选项B，{x|﹣3＜x≤2}用区间可表示为（﹣3，2]，故B错误；对于选项C，（﹣∞，3]用集合可表示为{x|x≤3}，故C错误；对于选项D，[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}，故D正确；故选：D．1．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为．【答案】【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案.【详解】当时，，符合题意；当时，.综上所述，的取值范围是；故答案为：.2．（24-25高一上·上海·月考）已知集合至多有一个元素，则的取值范围是.【答案】或【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】考虑和的情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.【详解】当时，，解得，此时有一个元素，满足要求，当时，需要，解得，综上，或；故答案为：或.3．已知集合，，且，则实数的值为.【答案】【分析】根据元素的互异性，确定的范围，根据集合相等列方程求即可.【详解】因为，，所以，且，所以，且，，因为，所以或，由，可得（舍去），由，可得（舍去）或，所以；故答案为：.4．（2024•青浦区校级月考）用列举法写出所有小于10的素数组成的集合．【答案】{2，3，5，7}．【分析】找出小于10的所有素数，然后列举法表示即可．【解答】解：小于10的素数组成的集合为：{2，3，5，7}；故答案为：{2，3，5，7}．5．区间[﹣3，5）用集合表示为．【答案】{x|﹣3≤x＜5}．【分析】借助区间与集合的关系，用描述法表示即可得．【解答】解：由区间的定义可知，区间[﹣3，5）用集合表示为{x|﹣3≤x＜5}；故答案为：{x|﹣3≤x＜5}．6．Q是有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④．与集合M相等的集合序号是．【答案】①②④【分析】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素是否与集合M一致即可.【详解】对于①.，设，则，故①的集合与M相等；对于②.令，则，其中，故②的集合与M相等；对于③.当时，，故③的集合与M不相等；对于④.令，，其中，故④的集合与M相等；故答案为:①②④.7．下列叙述正确的是（）A．{x|x＞1}用区间可表示为[1，+∞） B．{x|﹣3＜x≤2}用区间可表示为（﹣3，2） C．（﹣∞，3]用集合可表示为{x|x＜3} D．[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}【答案】D【分析】根据区间的概念逐项判断即可．【解答】解：对于选项A，{x|x＞1}用区间可表示为（1，+∞），故A错误；对于选项B，{x|﹣3＜x≤2}用区间可表示为（﹣3，2]，故B错误；对于选项C，（﹣∞，3]用集合可表示为{x|x≤3}，故C错误；对于选项D，[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}，故D正确；故选：D．8．已知区间[2a﹣1，11]，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，6） B．（6，+∞） C．（1，6） D．（﹣1，6）【答案】A【分析】由区间的定义列式即可求得结果．【解答】解：由题意可知，2a﹣1＜11，解得a＜6；故选：A．9．以下选项中，是集合的元素的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】逐个验证即可.【详解】对于A：满足，对于B:，错误；对于C:，错误；对于D:，错误；故选：A10．已知集合，，则中的元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可.【详解】由题意，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，由集合中元素满足互异性，所以；故选：B.11．用表非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（

）A．4 B．3 C．2 D．9【答案】C【分析】由新定义，确定，再由新运算确定，并由集合的定义确定，然后由判别式求得值，得集合，从而得结论．【详解】由已知，又，所以或，又中显