初中七年级数学上册：列代数式表示数量关系（第二课时）教案

初中七年级数学上册：列代数式表示数量关系（第二课时）教案

一、指导思想与理论依据

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生核心素养，聚焦于“代数式”这一初中代数的基石性内容。设计秉持“以学生发展为中心”的理念，深度融合建构主义学习理论，强调学生在真实或拟真的问题情境中，通过自主探究、合作交流、意义建构，完成从算术思维到代数思维的关键跃迁。理论层面，借鉴杜威的“做中学”与维果茨基的“最近发展区”理论，精心搭建脚手架，引导学生在解决复杂程度递进的问题序列中，内化“用字母表示数”的普遍性意义，掌握列代数式表征数量关系的形式化方法，体会代数作为沟通现实世界与数学世界的强大工具价值，为后续学习方程、函数等核心内容奠定坚实的思维与能力基础。

二、教学背景分析

（一）教材分析

本课时内容隶属人民教育出版社《数学》七年级上册第二章“整式的加减”中的起始部分。从章节逻辑看，第一课时已初步建立代数式的概念，学会用字母表示简单的运算律和公式。本课时是这一主题的深化与拓展，核心任务是从大量具体情境中抽象出数量关系，并用规范的代数式进行表达。这是学生从具体的“数的运算”迈向抽象的“式的运算”的关键一步，也是后续学习整式加减、一元一次方程等内容的逻辑前提。教材通过行程、销售、几何、规律探索等多类型问题，旨在培养学生将语言文字、图形语言转化为符号语言的能力，渗透数学建模的初步思想。

（二）学情分析

授课对象为七年级上学期学生。其认知特点表现为：具备一定的算术运算能力和基础逻辑推理能力，对用字母表示数有初步接触，但代数思维尚处于萌芽阶段。优势在于好奇心强，乐于接受新事物，能够处理较为直观的具体问题。面临的挑战与难点在于：第一，从对“具体数值”的关注转向对“一般关系”的把握存在思维障碍；第二，准确解读复杂情境中的多层数量关系，特别是隐含关系；第三，将口语化、生活化的语言精确地翻译为数学符号语言，并保证其规范性；第四，对代数式本身作为“结果”和作为“过程”的双重意义理解不深。因此，教学需通过多层次、多角度的情境铺垫与辨析，帮助学生突破这些思维节点。

（三）教学重点与难点

教学重点：精准分析实际问题中的数量关系，并运用代数式将其规范化表达。

教学难点：1.从复杂叙述或隐含条件中抽象出多变量间的数量关系。2.理解代数式表征的一般性，以及其中运算顺序与实际问题逻辑的一致性。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.能独立分析较复杂的实际问题，清晰辨析其中的已知量、未知量及其相互关系。

2.熟练、准确地将文字描述、图表信息中的数量关系列写为代数式。

3.能解释所列代数式中每一部分的实际含义。

（二）过程与方法

1.经历“情境感知—关系分析—符号表达—解释反思”的完整数学化过程，积累数学活动经验。

2.通过小组合作探究与辨析，发展从具体到抽象、从特殊到一般的概括能力与符号表征能力。

3.学习运用分类、归纳等数学思想方法解决规律探究问题。

（三）情感态度与价值观

1.在成功列式解决实际问题的过程中，增强学习代数的自信心与应用意识。

2.体会代数符号的简洁与力量，感悟数学抽象的价值与魅力。

3.在合作交流中养成严谨、规范的数学表达习惯。

四、教学策略与方法

采用“情境—问题”驱动教学模式，融合探究式学习与合作学习。主要方法包括：

1.情境创设法：设计贴近学生生活经验、认知水平的阶梯式问题链，创设贯穿始终的“项目式”大情境（如“校园义卖策划”），激发内在动机。

2.探究导学法：以核心问题为导向，引导学生自主分析、尝试列式，教师适时点拨，揭示思维路径。

3.合作讨论法：针对疑难问题，组织小组讨论、互评纠错，在思维碰撞中深化理解。

4.变式训练法：通过一题多变、多题归一等方式，提升思维的灵活性与深刻性。

5.信息技术融合法：利用动态几何软件或交互式白板，直观演示几何图形变化中的数量关系，辅助抽象。

五、教学资源与工具准备

多媒体课件（内含递进式问题情境、动态几何演示）、实物投影仪、小组学习任务单、不同颜色磁贴或卡片（用于展示关系）、板书设计分区规划。

六、教学过程

（一）创设情境，回顾引新（预计时间：8分钟）

师生活动：

教师呈现一个连贯的校园生活情境片段：“我校七年级即将举行‘爱心义卖’活动，同学们需要为活动进行策划和预算。”

问题1（回顾）：已知义卖笔记本的定价为每本a元，圆珠笔的定价为每支b元。那么，购买3本笔记本和2支圆珠笔共需支付多少元？如果购买m本笔记本和n支圆珠笔呢？

学生迅速口答：3a+2b元；ma+nb元。

教师追问：这里的“ma+nb”是一个什么？它表达了怎样的数量关系？

学生回答：是代数式。它表达了总价等于笔记本单价乘以数量加上圆珠笔单价乘以数量。

教师板书核心关系：总价=单价A×数量A+单价B×数量B。

设计意图：从熟悉的、结构简单的实际问题入手，快速唤醒学生关于列代数式的已有经验（第一课时内容），并点明代数式是刻画“总价”这类复合数量关系的工具。通过追问，强化对代数式意义的理解，为后续复杂关系分析做铺垫。

（二）分层探究，建构方法（预计时间：25分钟）

本环节是教学的核心实施阶段，围绕“义卖策划”主题，设计三个层次分明的问题。

层次一：单变量直接关系与间接关系辨析

情境展开：为了筹集更多善款，大家决定亲手制作两种工艺品出售：幸运星和纸鹤。

问题2：已知折叠一颗幸运星需要0.5分钟。如果小组成员计划用t分钟专门折叠幸运星，那么可以折出多少颗？如果平均每分钟能折m颗，t分钟能折多少颗？

学生列式：t÷0.5或2t；mt。

教师引导学生比较两个代数式，明确在“工作效率×时间=工作总量”的关系下，第二个表达式更具一般性。并强调当已知量是“单位时间工作量”时，列式更简洁。

问题3（关系进阶）：经测算，折叠一只纸鹤所需时间是折叠一颗幸运星的2倍。若折叠一颗幸运星需n分钟，则折叠一只纸鹤需多少分钟？折叠x只纸鹤需要多少分钟？若一共用了T分钟，折了y只纸鹤，那么还能折多少颗幸运星？

学生尝试列式：折一只纸鹤时间：2n分钟；折x只纸鹤时间：2n·x分钟。

对于第三问，学生可能出现歧义。教师引导学生分析：总时间T包含折纸鹤的时间（2n·y）和折幸运星的时间。设还能折幸运星k颗，则折幸运星时间为n·k分钟。故有关系：2n·y+n·k=T。所以，k=(T-2ny)/n。

教师板书并强调分析步骤：1.明确有哪些量（总时间、两类物品的单位时间、数量）。2.寻找等量关系（总时间分配）。3.用字母表示未知量，代入关系式求解表达式。

设计意图：从直接乘除关系过渡到涉及“剩余量”、“另一种量”的间接关系。问题3是关键跳板，引导学生经历设立中间未知量、寻找等量关系、推导出目标代数式的完整思维过程，初步体验“方程思维”的雏形，突破从直接列式到间接推导的难点。

层次二：多变量复合关系与商业情境应用

情境展开：工艺品定价与销售预测。

问题4：大家决定，每颗幸运星售价为成本价c元的基础上增加50%，每只纸鹤售价为成本价d元的基础上增加2元。请用含c，d的代数式表示幸运星的售价和纸鹤的售价。

学生列式：幸运星售价：(1+50%)c或1.5c；纸鹤售价：d+2。

教师规范：“增加百分之几”与“增加几元”两种表述对应的不同运算。

问题5：义卖当天，上午售出了幸运星p颗，纸鹤q只；下午售出的幸运星数量是上午的2倍，售出的纸鹤数量比上午少5只。请用含p，q的代数式表示：

（1）下午售出的幸运星数量和纸鹤数量。

（2）全天的总销售额。

学生独立完成。

（1）下午幸运星：2p颗；下午纸鹤：(q-5)只。（需强调括号的必要性）

（2）总销售额=上午销售额+下午销售额=1.5c·p+(d+2)·q+1.5c·(2p)+(d+2)·(q-5)。

教师引导学生化简：=1.5c(p+2p)+(d+2)(q+q-5)=1.5c·3p+(d+2)(2q-5)=4.5cp+(d+2)(2q-5)。

教师提问：若不化简，和化简后的代数式，哪个更好？引导学生理解，化简后的代数式更简洁，但有时保留原始形式更能清晰反映其来源（如分上、下午）。视问题要求而定。

设计意图：引入更多变量（c,d,p,q），关系复合度增加（涉及增长率、倍数关系、差值关系、乘加混合运算）。重点训练学生在多变量交织的情境中保持清晰思路，并引入代数式化简与运算的初步感知，体现代数式的“可操作性”。强调括号在保持运算顺序与实际意义对应中的关键作用。

层次三：图形背景与规律探索中的关系抽象

情境展开：布置义卖展台，需要设计图案。

问题6（几何背景）：用同样长度的篱笆围成一个矩形展台区域。若长方形的一边长为a米，则邻边长为多少米？若长方形的长为x米，宽为y米，篱笆总长为L米，请用含x，L的代数式表示y。

学生分析：矩形周长=2(长+宽)。第一问：设邻边长为b，则2(a+b)=周长，b=(周长/2)-a。需预设周长为定值（如C米）。第二问：由L=2(x+y)，得y=L/2-x。

教师变化图形：若围成的是一面靠墙的矩形（墙足够长），篱笆长度仍为L米，垂直于墙的一边长为a米，则平行于墙的一边长如何表示？

学生分析：此时篱笆总长L=a+a+平行于墙的边长（设为b）。故b=L-2a。

问题7（规律探究）：为装饰展台，按下图方式摆放桌椅，摆n张桌子时，一共需要多少把椅子？

（图示：方式1：一张桌子左右各放1把椅子，共2把；两张桌子拼一起时，中间重合处不再放椅子，左右两端各1把，共4把；三张桌子拼一起，左右两端各1把，中间每两张桌子衔接处不再放椅子，故共6把……）

引导学生观察：1张桌子→2把；2张桌子→4把；3张桌子→6把。发现椅子数总是桌子数的2倍。即：2n把。

变换摆法（方式2）：一张桌子周围放6把椅子（如会议桌）。两张桌子拼一起时，中间减少2把椅子。即：1张→6把；2张→10把；3张→14把。

引导学生分析：每增加1张桌子，椅子数增加4把。设n张桌子需要椅子S把。寻找规律：S=6+4(n-1)=4n+2。

组织小组讨论两种规律的不同，思考如何验证代数式的正确性。

设计意图：将数量关系抽象的背景从纯文字拓展到几何图形与视觉规律。问题6训练学生从几何图形和条件中提取等量关系（周长公式），并进行变形。问题7是难点，通过两种不同规律的对比，引导学生从具体数值归纳出一般表达式，并理解表达式“4n+2”中“4”和“2”的实际意义（每张桌子贡献4把椅子，但两头各多计了1把，需调整），深刻体会从特殊到一般的数学思想方法。

（三）归纳提炼，形成范式（预计时间：7分钟）

师生活动：

教师引导学生回顾以上各个问题的解决过程，师生共同总结列代数式表示数量关系的一般步骤与注意事项。

步骤：

1.审清题意，明确问题中的已知量（用具体数或字母表示）、未知量（设字母表示）。

2.分析关系，逐句剖析，找出所有量之间的和、差、倍、分、比等运算关系，必要时可画出线段图、列表或使用图形辅助。

3.列出式子，依据分析出的关系，遵循运算顺序，用运算符号连接已知量和表示未知量的字母。

4.复查检验，检查式子是否符合实际意义（单位、范围等），是否反映了题目中的全部数量关系，运算顺序是否需要添加括号。

注意事项：

1.准确理解关键词：“和”、“差”、“积”、“商”、“倍”、“几分之几”、“增加/减少到”、“增加/减少了”等。

2.注意括号的使用：当运算顺序与常规算术顺序不一致时，必须添加括号。

3.注意书写规范：数字与字母相乘时，数字在前，乘号可省略或写为“·”；除号通常用分数线表示。

教师将关键步骤和注意事项板书在核心区域。

设计意图：将零散的解题经验上升为系统化、程序化的方法论。清晰的步骤总结能帮助学生未来面对新问题时，有法可依，有章可循，提升其独立分析问题和迁移应用的能力。

（四）变式巩固，拓展升华（预计时间：12分钟）

设计一组变式练习，从模仿应用到灵活创新。

巩固练习1（基础应用）：

某商场一种商品进价为每件x元，若按进价提高20%标价，则标价为______元；后因促销，在标价基础上打九折出售，则售价为______元，每件利润为______元。

巩固练习2（关系复合）：

一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可表示为__________。若将这个三位数的个位与百位数字对调，得到的新三位数可表示为__________。

巩固练习3（隐含关系/跨学科）：

一项工程，甲队单独做需要a天完成，乙队单独做需要b天完成。

（1）甲队一天的工作量（工作效率）是__________；

（2）两队合作一天，能完成的工作量是__________；

（3）两队合作3天，完成的工作量是__________，剩余的工作量是__________。

（此题为后续学习分式方程埋下伏笔，体现工程问题中的基本关系抽象）

拓展探究（小组合作）：

观察下列由正方形点阵和圆点组成的图案：

图案1：4个点；图案2：7个点；图案3：10个点；图案4：13个点……

（1）写出图案n所对应的点数表达式。

（2）是否存在一个图案，点数恰好为202？请说明理由。

引导学生发现相邻图案点数差为3，即等差数列。表达式为：4+3(n-1)=3n+1。对于（2），即解关于n的方程3n+1=202，判断n是否为整数。此处不要求解方程，只需列出关系式，并理解代数式作为判断依据的作用。

设计意图：巩固练习覆盖不同类型，检验学生对本课核心技能的掌握情况。拓展探究题将“列代数式”与“规律探究”、“代数式求值”、“方程思想萌芽”自然结合，挑战学生思维的深度与广度，体现知识的联系与发展，为学有余力的学生提供发展空间。

（五）课堂小结，反思提升（预计时间：3分钟）

师生活动：

教师提问：通过本节课的学习，你有哪些收获？在列代数式时，你认为最需要警惕的是什么？

学生自由发言，从知识、方法、体会等多角度总结。

教师最后用精炼的语言概括：“今天，我们穿越了义卖策划的各个环节，成功地将复杂的数量关系‘翻译’成了简洁的代数式。这个过程，就是数学建模的雏形。代数式，如同为数量关系量身定做的‘数学句子’，它精确、通用，蕴含着无限可能。掌握这门‘翻译’艺术，是我们打开代数世界大门的第一把钥匙。”

设计意图：通过学生自主小结，强化学习收获，形成反思习惯。教师的总结性陈述，旨在升华本节课的数学本质与价值，激发学生进一步探索代数的兴趣。

（六）分层作业，自主发展

基础性作业（必做）：教材课后练习题，完成与本节课内容直接对应的习题，巩固基本技能。

发展性作业（选做A）：设计一个包含至少三个变量、两种以上数量关系（如和、倍、分）的实际情境问题，并写出相关的代数式。

探究性作业（选做B）：查阅资料或自行观察，寻找一个生活中或科学中的公式（如物理中的速度公式、密度公式，几何中的面积体积公式等），尝试用文字解释其中每个字母代表的量以及整个公式表达的数量关系，并自编一个应用题。

七、板书设计

（左侧主板书区）

课题：列代数式表示数量关系

核心步骤：

1.审：析已知、设未知

2.析：找关系（和、差、倍、分…）

3.列：依序连，括必要时

4.查：合实际，顺无误

例题精析区：

问题3：总时T=纸鹤时+幸运星时

T=2n·y+n·k

→k=(T-2ny)/n

问题5（2）：销售额=1.5cp+(d+2)q+1.5c·2p+(d+2)(q-5)

=4.5cp+(d+2)(2q-5)

问题7（方式2）：S=6+4(n-1)=4n+2

（右侧副板书区）

关键词对应：

提高a%→×(1+a%)

增加b元→+b

是…的m倍→×m

比…少c→-c

a与b的和除以c→(a+b)/c

学生展示区：

用于粘贴或书写学生课堂练习中的典型解答（正确与错误范例）。

八、教学反思