小学五年级上册数学《除不尽怎么办？-循环小数初探》教案

小学五年级上册数学《除不尽怎么办？——循环小数初探》教案

一、教学内容分析

本节课隶属于“数与代数”领域，是学生在学习了小数除以整数、一个数除以小数（商为有限小数）之后，首次系统接触“除不尽”这一数学现象，并由此引出“循环小数”这一核心概念的起始课。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，其核心在于引导学生从“运算能力”和“数感”的发展，走向更深层次的“模型意识”与“推理意识”的萌发。在知识技能图谱上，它承上：巩固了小数除法的基本算理与算法；启下：为后续学习用“四舍五入”法求商的近似值、认识无限不循环小数乃至中学的有理数概念奠定不可或缺的认知基础。其过程方法路径，体现为引导学生经历“发现问题（除不尽）—观察规律（余数与商的重复出现）—归纳特征（循环节）—符号表征（循环小数记法）”的完整数学探究过程，这一过程本身即是数学建模思想的雏形。其素养价值在于，通过直面计算中的“意外”，培养学生理性面对“不确定性”、执着探究数学规律的科学态度，以及用简洁、精确的数学语言刻画复杂现象的审美追求。

学情预判显示，学生已具备熟练进行小数除法笔算的技能，并初步形成了“除法运算总能得到一个确定结果（商）”的认知预期。本节课的认知冲突正源于此：当竖式计算“永无止境”时，学生的既有认知平衡将被打破。可能的障碍点在于：一是从“有限”到“无限”的思维跨越存在困难；二是对“循环节”这一抽象概念的提取与理解；三是在竖式中准确观察余数重复出现的规律。对策上，我将设计“计算对比—观察质疑—合作发现—表达交流”的探究链，借助直观的竖式板书和动态课件演示，将“无限”的过程可视化为“有限”的规律。同时，通过设计分层探究任务和关键性问题链，为不同思维速度的学生搭建认知“脚手架”，并在巡视中通过个别指导与小组介入，动态评估并支持学生的探究进程。

二、教学目标

知识目标：学生能理解循环小数产生的原因，准确说出循环小数、循环节的意义，并能正确使用循环小数的简便记法表示一个循环小数。他们应能清晰解释“为什么除不尽”以及“商的小数部分数字如何重复”，从而构建起关于“商”的类型的完整认知结构（有限小数、循环小数）。

能力目标：在探究循环小数特征的过程中，学生能通过持续进行竖式计算、系统观察与比较余数和商的变化，自主或合作发现循环现象，并运用归纳、概括的思维方法，提炼出循环小数的核心特征。这实质是训练其数学观察、归纳推理和数学表达的核心能力。

情感态度与价值观目标：学生在面对“除不尽”的计算困境时，能表现出积极探究、不轻言放弃的学习态度；在小组讨论中，能乐于分享自己的发现，并认真倾听、辨析同伴的观点，共同构建新知，体验合作与发现的乐趣。

科学（数学）思维目标：重点发展学生的“归纳推理”思维和初步的“极限思想”萌芽。通过从多个具体算例中归纳共同特征，形成循环小数的概念模型。同时，通过体会“无限重复”的过程，初步感受“无限”这一数学思想的存在。

评价与元认知目标：引导学生学会用“举例子”、“说特征”的方法向他人解释一个新概念（循环小数）。在课堂小结时，能反思自己是如何从“困惑”走向“明晰”的，梳理探究的关键步骤，并评价自己在本节课中观察与发现的细致程度。

三、教学重点与难点

教学重点是理解循环小数产生的算理，掌握循环小数的概念和简便记法。其确立依据在于，循环小数是小数除法运算中一类重要的结果形式，是“数的认识”的一次重要扩充。从课标要求看，理解数的概念本质是“数感”培养的核心；从学业评价看，能否识别、表示循环小数是后续学习取近似值和解决实际问题的基础，是体现学生是否真正理解除法意义与商的特征的关键节点。

教学难点是理解“循环节”的含义，以及从“无限”重复的过程中抽象出“有限”表示的概念。其预设依据主要来自学情分析：学生的思维仍以具体形象为主，从“一直除下去”的动态过程，到静态地抓住“依次不断重复出现”的数字段，存在较大的抽象跨度。常见错误表现为混淆循环的数字段或无法确定循环节的起始位置。突破方向在于提供充分的、有结构的计算材料，引导学生将注意力从“一直除”转移到“余数是否重复”，从而发现循环的必然性，并利用“重复出现的第一组数字”来定义循环节，化“无限”为“有限”模式。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（能动态演示竖式计算过程，高亮显示重复的余数和商）；实物投影仪。

1.2学习材料：设计分层探究学习任务单；板书设计（预留对比区、概念生成区、示例区）。

2.学生准备

2.1知识预备：熟练完成小数除法竖式计算。

2.2学具：练习本、笔。

3.环境布置

3.1座位安排：四人小组合作式座位，便于讨论交流。

五、教学过程

第一、导入环节

1.创设冲突情境：同学们，我们已经学过了小数除法，现在老师来考考大家的计算反应。“王鹏400米跑了75秒，他平均每秒跑多少米？”请快速列式。对，400÷75。请大家在草稿纸上立刻开始竖式计算，看谁算得又快又准。（教师观察，预计大部分学生计算一段时间后会面露困惑或停下）好，时间到。我听到有同学小声嘀咕了：“老师，怎么好像除不完啊？”

2.提出核心问题：没错！这就是我们今天要直面的大问题：“当除法除不尽时，商会是怎样的？它有什么秘密？”（板书核心问题）刚才的400÷75，很多同学算着算着发现余数总是重复出现“25”，商的小数部分“3”也一直在重复。这难道是一个“无限”的陷阱吗？

3.明晰探究路径：别急，这恰恰是数学迷人的地方。今天，我们就化身“数学侦探”，通过几组精心设计的“除法悬案”（出示任务单），去探查“除不尽”背后的规律。我们将从“计算”入手，用“观察”寻找蛛丝马迹，最后用“归纳”揭开谜底。请大家回想一下，我们之前遇到的商，小数位数都是怎样的？（有限的）今天，我们将打开一扇新的大门。

第二、新授环节

任务一：初探“除不尽”现象

教师活动：首先，我们来研究第一组“悬案”。（课件出示：1.计算400÷75；2.计算28÷18）请大家独立完成这两个竖式计算，要求是：至少精确计算到小数点后第五位。计算时，请大家特别留意两个“侦探线索”：第一，余数的变化有什么特别之处？第二，商的小数部分数字排列有什么发现？我会巡视，看看哪位侦探最先发现关键证据。“注意，不要只埋头算，算几步就停下来看看余数，你会有大发现！”

学生活动：学生独立进行竖式计算。在计算过程中，逐渐有学生发现余数开始重复出现（如400÷75中余数重复25，28÷18中余数重复10，接着重复4…），并因此导致商的小数部分数字也出现重复。他们会尝试继续除几步以验证自己的发现，并与同桌轻声交流。

即时评价标准：1.计算是否规范、准确。2.是否能暂停计算，主动观察余数序列。3.是否能将自己的发现用语言初步描述（如：“余数又变成25了！”“商的小数位‘3’一直在重复”）。

形成知识、思维、方法清单：1.★“除不尽”的直观体验：在整数除法中，当余数始终不为0且开始重复出现时，除法运算就无法得到有限位数的小数商。2.▲探究起点：判断是否“除不尽”的关键观察点，从“能否除到余数为0”转移到“余数是否重复出现”。3.方法提示：数学探究中，当过程出现“重复”模式时，往往意味着规律的出现，应停止机械操作，转入规律分析。

任务二：发现“循环”规律

教师活动：看来大家都发现了重复的苗头。现在进入小组侦探会议时间。（课件出示讨论提纲）：1.对比两个算式，当余数开始重复时，商会怎样？2.重复出现的数字，是从哪一位开始的？是一直重复一个数字，还是重复几个数字的一组？3.你能预测如果继续除下去，接下来的商会是哪些数字吗？试试看！请组长组织讨论，并准备派代表用老师的投影展示你们的竖式，并指着竖式向全班讲解你们的发现。“不仅要说出看到了什么，还要试着解释为什么会这样。”

学生活动：小组内热烈讨论，指看各自的竖式，交换发现。他们能指出余数重复导致商重复，并能发现重复的是一组数字（如28÷18的商是1.555…，5重复；或如1.555…中的“5”，以及更复杂如1.555…中稍后出现的“5”循环）。小组代表上台，用实物投影展示竖式，边指边讲解：“大家看，这里余数10又出现了，所以接下来肯定又会商5，余数4…这样下去，商会一直是1.555…”

即时评价标准：1.小组讨论是否围绕核心问题展开，每位成员是否有机会表达。2.小组代表的讲解是否能将余数的重复与商的重复关联起来。3.预测是否基于已发现的规律，逻辑是否合理。

形成知识、思维、方法清单：4.★循环现象的本质：在除法中，由于余数的可能性是有限的（小于除数），当余数重复出现时，后续的计算过程必定重复，导致商的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现。5.★循环节的概念雏形：那个“依次不断重复出现”的数字或数字段，是这个小数的核心特征。6.思维提升：从个别现象（两个算式）中寻找共同规律，是归纳推理的典型应用。

任务三：认识“循环小数”

教师活动：大家的发现非常精彩！数学家们把像5.333…、1.555…、1.14242…这样的小数，叫做“循环小数”。（板书课题：循环小数）现在，请根据你们的发现，试着用自己的话给“循环小数”下个定义。最关键的是说清楚，什么样的小数才能叫循环小数？（引导学生关注“小数部分”、“从某一位起”、“一个或几个数字”、“依次不断重复出现”这些关键词）谁能举个例子，并且指出它的循环部分是哪里？“我听到有同学提到了1.14242…，这个循环节是‘42’还是‘142’？为什么？大家再观察一下竖式。”

学生活动：学生尝试组织语言定义，可能不够精确，但能抓住核心。在教师引导和同伴补充下，逐步完善定义。对类似1.14242…的例子进行辨析，通过回顾计算过程（余数何时开始重复），明确循环节“42”应从第二个1后的“4”开始，从而理解“从某一位起”的含义。

即时评价标准：1.能否用自己的语言大致描述循环小数的特征。2.在举例和指认循环节时是否准确，尤其是对于循环节不是从小数点后第一位开始的情况。3.能否理解“依次不断”的含义，即重复的固定顺序。

形成知识、思维、方法清单：7.★循环小数的定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。8.★循环节的正式定义：循环小数中依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。例如5.333…的循环节是“3”，1.14242…的循环节是“42”。9.易错点警示：确定循环节，必须从“依次不断重复出现”的第一个数字开始，到这一组重复数字结束，不能多也不能少。

任务四：学习“简便记法”

教师活动：写5.333…或1.14242…太麻烦了，数学家发明了简便记法。（板书示范）只写第一个循环节，在循环节的首位和末位数字头上各点一个点。像5.333…写作5.(•3)；1.14242…写作1.1(•4)(•2)。如果循环节只有一个数字，就只点一个点。来，请大家把刚才研究的几个循环小数用简便记法写出来。考考大家：6.9258258…怎么写？“注意观察，循环节是‘258’吗？首位和末位的点要点对位置哦！”

学生活动：学生练习书写简便记法。对于6.9258258…，他们需要判断循环节是“258”（从小数部分第二位“2”开始），从而正确记作6.9(•2)5(•8)。同桌互相检查书写是否正确。

即时评价标准：1.简便记法的书写格式是否规范（圆点位置、只写一个循环节）。2.对于稍复杂的循环小数，是否能正确识别并标记循环节。

形成知识、思维、方法清单：10.★循环小数的简便记法：这是一种高度的数学抽象与符号化表达，用有限表示无限，体现了数学的简洁美。11.书写规范：循环点必须点在数字正上方，且只点首位和末位。12.应用巩固：掌握简便记法的前提是准确判断循环节，这又反过来加深了对循环节概念的理解。

第三、当堂巩固训练

现在，请大家完成学习任务单上的“侦探训练营”。我们分三关挑战：

基础关（全员必过）：1.判断哪些是循环小数（如0.666…,3.14159…,7.484848）。2.写出几个循环小数的简便记法。“第一题有个‘3.14159…’，大家要小心，它虽然没写完，但它是我们以后要认识的π，是不循环的。”

综合关（小组攻关）：1.计算15÷7，并用循环小数表示商，写出它的循环节。2.一个循环小数0.ABAB…（A、B代表数字），这个小数可以写作什么？它的第100位小数是什么？“想一想，循环节是‘AB’两位，那么位置的规律是什么？”

挑战关（学有余力）：查阅或思考：有没有“除不尽”但也不是循环小数的情况？你能想象出那样的小数是什么样的吗？（为下节课学习“无限不循环小数”埋下伏笔）

反馈机制：基础关答案通过课件快速核对。综合关请不同小组派代表板书讲解，重点讲清15÷7的竖式发现过程和寻找第100位数字的推理思路（100÷2=50组，整除，所以是循环节的第二位）。教师针对典型问题进行点评，强调从余数规律寻找商的位置规律。

第四、课堂小结

今天的侦探之旅即将结束，谁来带领大家复盘一下我们的收获？我们可以从“知识”、“方法”和“疑问”三方面来总结。知识上，我们认识了新朋友——循环小数，知道了它的产生原因（余数重复）、特征和简便写法。方法上，我们经历了“计算-观察-发现-归纳-应用”的完整探究过程。疑问或新想，有的同学提到了“有没有不循环的无限小数？”这是一个超级棒的问题，它将是我们下一次探险的目标。

作业布置：1.必做（基础）：完成教材练习中的相关题目，巩固循环小数的识别与表示。2.选做（拓展）：寻找生活中的循环现象（如日出日落、星期更替），思考它们与循环小数的“循环”有何异同。3.预习（衔接）：尝试思考，如果要用循环小数表示一个结果，但实际应用中往往不需要无限位，我们该怎么办？预习“商的近似数”。

六、作业设计

1.基础性作业

（1）课本第34页“做一做”第1、2题。旨在巩固循环小数的概念识别和简便记法书写。

（2）练习八第6题。在具体计算中巩固对循环小数产生过程的理解。

2.拓展性作业

设计一个“循环小数制造机”：任意给出一个除数（如7），你能写出几个被除数，使得它们的商是循环小数？并写出这些循环小数。观察这些循环小数，它们的循环节长度和除数有关系吗？此作业鼓励学生主动探索，从“判断”走向“创造”，并引发更深入的思考。

3.探究性/创造性作业

查阅关于“无限循环小数化分数”的资料，尝试理解0.(•3)为什么等于1/3，0.(•9)为什么等于1？并撰写一份简单的“数学小报告”。此作业面向学有余力、兴趣浓厚的学生，建立中小学知识的联系，感受数学的统一与神奇。

七、本节知识清单、考点及拓展

1.★循环小数的定义：核心在于“小数部分”、“某一位起”、“依次不断重复出现”。教学时需通过正反例辨析加深理解，反例如3.14159…（无限但不循环）、7.4848（有限）。

2.★循环节：指重复的数字段。确定循环节是准确书写简便记法和后续学习的基础。易错点在于循环节起始位的判断，必须结合竖式计算或明确给出的循环部分。

3.★循环小数的简便记法：书写规范是关键考点。只写一个循环节，循环点要点在首位和末位数字正上方。对于纯循环小数（如0.666…）和混循环小数（如0.1666…）都要掌握。

4.循环小数的读法：通常读作“几点几，几循环”，如5.333…读作“五点三，三循环”。

5.产生原因（算理）：整数除法中，余数必须小于除数，因此余数的可能性有限。在连续除的过程中，余数必然重复，导致商循环。这是理解概念的根本。

6.★有限小数与循环小数的关系：都是有理数的一种小数表示形式。当除法能除尽时，商是有限小数；除不尽且余数循环时，商是循环小数。

7.常见循环小数举例：1/3=0.333…，1/6=0.1666…，1/7=0.142857142857…等。记忆一些常见分数化循环小数的结果有助于数感培养。

8.循环小数的位数：循环小数是无限小数。谈论一个循环小数的小数位数是“无限”的。

9.取近似值：根据需要，可以用“四舍五入”法对循环小数取近似值，如0.666…保留两位小数是0.67。

10.纯循环小数与混循环小数（▲拓展）：循环节从小数部分第一位开始的叫纯循环小数（如0.(•3)）；不是从第一位开始的叫混循环小数（如0.1(•6)）。此分类为后续学习作铺垫。

11.循环节的长度（▲拓展）：不同的除数，产生的循环节最大长度可能不同（如除以7，循环节最长6位）。这涉及“余数周期”和“欧拉定理”等更深知识，可作为兴趣拓展。

12.循环小数与分数互化（▲高阶拓展）：任何循环小数都可以化为分数，这是有理数的重要性质。例如0.(•a)=a/9，0.(•ab)=ab/99等。

八、教学反思

（一）目标达成度分析。本节课预设的知识与技能目标达成度较高。通过“计算四道典型算式——观察余数与商——归纳定义——练习巩固”的主线，绝大多数学生能正确识别循环小数并用简便记法表示。过程方法目标也得到较好落实，学生真实经历了探究过程。情感目标方面，课堂中“除不尽”引发的认知冲突成功激发了探究欲，小组合作氛围积极。然而，思维目标中“极限思想”的萌芽更多是教师层面的引导与渗透，学生能否有所感悟，还需后续教学持续观察。

（二）环节有效性评估。导入环节的“计算冲突”直击要害，迅速将学生带入学习心流。新授环节的四个任务层层递进，逻辑清晰。“任务一”的独立计算确保每个学生获得直接经验；“任务二”的小组讨论有效放大了观察与发现的效能，促进了思维碰撞；“任务三”的概念提炼在具体经验基础上水到渠成；“任务四”的简便记法作为工具学习，时机恰当。巩固环节的分层设计满足了不同学生的需求，挑战题“第100位数字”将规律应用推向高潮，思维含量高。

（三）学生表现深度剖析。课堂巡视与反馈显示，约70%的学生能较快自主发现余数重复规律；约25%的学生需要在小组讨论中受同伴启发