小学六年级数学上册《分数除法》第8课时“和倍差倍”实际问题教案（人教版）

小学六年级数学上册《分数除法》第8课时“和倍差倍”实际问题教案（人教版）​一、教学内容解析​【基础】本课时隶属于人教版六年级上册第三单元《分数除法》的第8课时，教学内容为“已知两个数的和（或差）及这两个数的倍数关系（用分数表述），求这两个数”的实际问题。这类问题通常被称为“和倍问题”或“差倍问题”在分数领域的延伸。本课是学生在掌握了分数乘法、分数除法的意义与计算法则，以及会解答“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的一步应用题之后，编排的一类稍复杂的分数除法应用题。教材通过例6（如：全场得分问题，其中下半场得分是上半场的一半）呈现具体情境，引导学生理解题中包含两个未知量，且这两个未知量之间存在“和”的关系与“倍”的关系。其核心在于，由于单位“1”未知，无法直接用分数乘法求解，从而引入列方程解决问题的策略。这不仅是本单元的教学难点，也是学生从算术思维向代数思维过渡的关键节点，为后续学习解决更复杂的实际问题以及初中阶段学习二元一次方程组奠定了坚实的基础。​【重要】本节课的教学内容不再局限于简单的“求一个数的几分之几”或“已知一个数的几分之几求这个数”，而是将两个未知量交织在一起。从知识体系上看，它是对分数乘、除法意义理解的深化，也是对整数和倍问题在分数范畴的迁移与拓展。从思想方法上看，它首次系统地要求学生设其中一个未知数为x，并用含有x的式子表示另一个未知数，然后根据“和”或“差”的等量关系列出方程。这标志着学生解题思路的重大转变：从依靠逆向推理的算术法，转向依靠顺向思维的方程法。这种转变对于培养学生的模型意识、符号意识和逻辑推理能力具有不可替代的作用。因此，本节课的设计必须紧扣“找等量关系”和“设未知数”这两个核心，通过数形结合的方式，帮助学生拆解复杂关系，建立清晰的数学模型。​【难点】本课时的教学难点主要体现在以下几个方面：一是如何引导学生从题中复杂的文字信息中，准确找出两个未知量及其之间的两种关系（“和”或“差”的关系以及“倍”的关系）。二是如何指导学生画出正确的线段图，并借助线段图理解“倍”的关系（如：下半场得分是上半场的一半）实际上就是在表示两个量的分数关系，从而为设未知数提供依据。三是如何帮助学生克服思维定势，理解和接受当有两个未知量时，可以任意选择一个设为x，并根据它们的倍数关系用含有x的式子表示出另一个未知量。四是在列方程求解过程中，如何正确处理分数系数，尤其是当x的系数是分数或小数时（如x+1/2x=42），保证计算的准确性。五是对于“差倍”问题的变式训练，学生容易在表示“多几分之几”或“少几分之几”的另一个量时出现错误。​二、学情分析​【基础】六年级的学生已经具备了一定的整数、小数和分数四则运算能力。在知识储备上，他们已经掌握了分数乘法的意义和计算方法，以及分数除法的计算法则。在解决实际问题的经验上，学生已经能够熟练解答“求一个数的几分之几是多少”的乘法应用题，以及“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的简单除法应用题。在认知心理上，六年级学生处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期，但他们的抽象思维仍需具体表象和操作经验的支持。对于画图策略，学生已经有了初步的尝试，但独立、准确画出复杂数量关系的能力尚显不足。​【重要】学生在本节课学习中可能遇到的认知冲突主要有二。其一，是思维惯性的冲突。面对熟悉的“分率”句（如“下半场得分是上半场的一半”），部分学生可能会错误地认为上半场得分是单位“1”，且是已知的，从而直接用42乘以一个假分数去求，导致错误。其二，是解题方法的选择冲突。少数思维能力较强的学生可能会尝试用算术法逆向推导，虽然也能得出结果，但过程复杂且容易出错。因此，本课教学的重点在于引导学生认识到，在单位“1”未知且有两个未知量时，顺着题目意思，用方程解题更为直观、简便，从而主动接受并掌握这种代数解法。​【热点】从当前教学改革和核心素养导向来看，本课时的教学热点在于：一是如何通过大问题引领，让学生在自主探究、合作交流中经历建模的全过程，而非机械模仿例题。二是如何将信息技术的直观演示（如动态线段图）与学生的动手操作相结合，有效突破难点。三是如何设计有层次、有梯度的变式练习，帮助学生从“和倍”自然过渡到“差倍”，并能够灵活运用所学知识解决生活中的实际问题，实现知识的迁移和升华。​三、教学目标与核心素养​（一）教学目标​【基础】1.

知识与技能：使学生理解并掌握“已知两个数的和（或差）及这两个数的倍数关系（分数形式），求这两个数”的实际问题的结构特征和解题方法。2.

过程与方法：经历从现实情境中发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的过程。通过画线段图、分析数量关系、列方程解答等活动，培养学生的几何直观、模型意识和运算能力。3.

情感态度与价值观：让学生在解决实际问题的过程中，体会方程思想的顺向思维优势，感受数学与生活的密切联系，增强学好数学的自信心和乐于探究的精神。​【重要】4.

数学思考：能够独立思考，体会数形结合思想在分析数量关系中的作用，初步形成逻辑推理与抽象概括的能力。5.

问题解决：学会从不同角度分析问题，能够用方程法解决含有两个未知量的实际问题，并能对结果的合理性进行判断和检验。​（二）核心素养培育要点​【高频考点】1.

模型意识：引导学生从具体情境中抽象出数学模型，即“ax±bx=c”或“x±(m/n)x=c”等形式，并能运用此模型解决同类问题。2.

应用意识：创设贴近学生生活的实际问题情境（如体育比赛得分、图书借阅、植树活动等），让学生真切感受到数学知识的应用价值，提高解决实际问题的能力。3.

符号意识：通过设未知数，用字母表示数，以及用含有字母的式子表示另一个量，强化学生对符号的理解和运用。4.

推理能力：在根据“倍”的关系表示出另一个量，以及根据“和（差）”关系列方程的过程中，训练学生有根有据地进行逻辑推理。​四、教学重点与难点​【重点】掌握用方程解决“已知两个数的和（或差）及这两个数的倍数关系，求这两个数”的实际问题的方法。即：能正确设其中一个未知数为x，并用含有x的式子表示另一个未知数，再根据两数的和（或差）列方程求解。【难点】正确分析题目中的数量关系，特别是找准两个未知量之间的“倍”的关系，并会画线段图辅助理解。尤其是在处理“差倍”问题时，如何用含有x的式子正确表示“比一个数多（或少）几分之几”的另一个数。​五、教学准备​1.

教师准备：多媒体课件（PPT），内含例题动态演示、线段图生成过程、巩固练习题等；彩色粉笔。2.

学生准备：课本、练习本、直尺、铅笔。​六、教学实施过程​（一）唤醒经验，铺垫引入（预计5分钟）​【基础】教师通过多媒体课件出示以下复习题，引导学生快速口答或在本上列式：1.

学校篮球队有男生x人，女生人数是男生的3/5。女生有多少人？（用含有x的式子表示）2.

学校篮球队有男生x人，女生人数是男生的3/5，篮球队一共有多少人？（用含有x的式子表示）3.

学校篮球队有男生x人，女生人数比男生少2/5，女生比男生少多少人？女生有多少人？（用含有x的式子表示）​【重要】学生独立思考后，指名回答。教师根据学生回答进行板书：1.

女生：3/5x2.

总数：x+3/5x3.

女生比男生少：2/5x；女生：x2/5x教师追问：“这里的x表示什么？”（男生人数）“为什么能用含有x的式子表示女生人数？”（因为女生人数与男生人数存在倍数关系）。通过这个环节，帮助学生回顾用字母表示数以及表示两个量之间关系的方法，为本节课设未知数、找等量关系做好知识和方法上的铺垫。​（二）创设情境，探究新知（预计18分钟）​1.

出示例题，获取信息（【重要】）教师利用多媒体课件出示例6：六（1）班参加篮球比赛，全场得了42分。下半场得分只有上半场的一半。六（1）班上半场和下半场各得多少分？教师：“请同学们认真读题，你从题中获得了哪些数学信息？题目要求的是什么？”学生汇报：已知信息是全场总分42分；关系是下半场得分是上半场的一半；要求的是上半场得分和下半场得分，这两个数都是未知的。教师根据学生回答，板书出关键信息：“全场42分”、“下半场=上半场×1/2”或“下半场=上半场÷2”。​1.

画图分析，理解关系（【难点】突破）教师引导：“当题目中有两个未知量时，它们之间的关系会比较抽象。我们可以用什么方法来帮助我们理解呢？”（画线段图）教师引导学生思考：“这里有两个量，上半场得分和下半场得分。你们觉得应该把哪个量看作单位‘1’？为什么？”学生讨论后明确：根据“下半场得分是上半场的一半”，应把上半场得分看作单位“1”。教师示范并指导学生用直尺在练习本上画线段图：“先画一条线段表示上半场得分，并在下面标注‘上半场得分’。”“下半场得分怎么画？它的长度应该是上半场的多少？”（一半）“那么，表示下半场得分的线段应该画多长？”（画上半场线段的一半长）“现在，这两条线段合起来表示什么？”（全场总得分42分）教师在学生画图的同时，用课件动态演示线段图的生成过程，并在线段图上标注出全场42分。通过数形结合，将抽象的文字关系转化为直观的图形关系，为后续列方程打下基础。​1.

尝试解答，构建模型（【核心】环节）教师提出问题：“通过画图，我们清晰地看到了两个量之间的关系。现在，你能根据线段图，尝试用一个你喜欢的办法来解决这个问题吗？如果有困难，可以小组内轻声交流。”学生进行自主探究和小组合作学习，教师巡视指导，发现不同的解题思路。重点引导学生关注列方程的方法。待学生充分讨论后，组织全班交流汇报。教师有意识地先请用算术法尝试的学生发言，再重点请用方程法解答的学生分享思路。学生可能出现的解法：解法一（方程一）：设上半场得x分，则下半场得1/2x分。根据“上半场得分+下半场得分=42分”，列出方程：x+1/2x=42。解法二（方程二）：设下半场得x分，则上半场得2x分。根据同样的等量关系，列出方程：2x+x=42。解法三（算术法）：42÷(1+1/2)×1/2或类似形式。教师重点引导学生分析方程一和方程二。对于解法一，教师引导学生看线段图：“x表示什么？1/2x表示什么？x+1/2x=42这个方程表示的是什么数量关系？”让学生明确这是根据“上半场加下半场等于总得分”列出的。对于解法二，教师追问：“这次我们设谁为x？为什么要设下半场得x分？2x又表示什么？2x+x=42这个方程又表示什么？”让学生体会到设未知数的策略可以不同，但依据的等量关系是相同的，都是“两部分之和等于总数”。​1.

解方程与检验（【基础】）教师引导学生选择其中一个方程进行求解。以方程一为例：x+1/2x=42(1+1/2)x=423/2x=42x=42÷3/2x=42×2/3x=28求出x=28后，教师追问：“28是什么？上半场得分求出来了，下半场得分怎么求？”学生回答：下半场=28×1/2=14（分）。教师：“我们的解答正确吗？需要进行检验。”引导学生从两个角度进行检验：一是看结果是否符合“和”的关系：28+14=42（分），符合全场总得分；二是看结果是否符合“倍”的关系：14÷28=1/2，说明下半场确实是上半场的一半。检验无误后，指导学生写出完整的答语。​1.

回顾反思，总结方法（【高频考点】）教师组织学生回顾刚才的解题过程，并抛出问题：“比较一下算术法和方程法，你有什么想说的？为什么我们推荐用方程法来解决这类问题？”引导学生讨论并达成共识：因为题目中有两个未知量，用算术法需要逆向思考，比较抽象；而方程法是根据题目描述的顺序（顺向思维）直接设未知数列式，思路更加清晰、简洁。最后，教师帮助学生梳理出用方程解决这类问题的基本步骤（板书）：（1）审题：弄清题意，找出未知数，通常用x表示其中一个。（2）找关系：分析题中数量关系，根据两个量的“倍”的关系，用含有x的式子表示出另一个量。（3）列方程：根据两个量的“和”或“差”的等量关系列出方程。（4）解方程：求出x的值，再求出另一个量。（5）检验并作答：检验结果是否符合题意，写出答语。​（三）变式训练，深化理解（预计10分钟）​1.

【重要】“和倍”问题的巩固课件出示练习九第1题（稍作改编）：某电视厂去年全年生产电视机108万台，其中上半年产量是下半年的4/5。这个电视机厂去年上半年和下半年的产量分别是多少万台？学生独立审题，画出线段图，尝试列方程解答。教师巡视，重点指导部分学生找准“下半年产量”为单位“1”。指名演板，并让其讲解解题思路，强调设下半年产量为x万台，则上半年产量为4/5x万台，列方程为x+4/5x=108。​1.

【难点】“差倍”问题的引入与探究教师课件出示改编题：某电视厂去年上半年产量比下半年少1/5，上半年和下半年共生产108万台。去年上半年和下半年的产量分别是多少万台？教师引导学生与上一题对比：“这道题和刚才的题有什么不同？”（已知条件由“上半年是下半年的4/5”变成了“上半年比下半年少1/5”）引导学生讨论并画出线段图。关键要理解：把下半年产量看作单位“1”，上半年产量比它少1/5，那么上半年产量就是下半年的(11/5)=4/5。实际上，转化后，它与上一题的数量关系是相同的。学生尝试列方程解答。预设方程：设下半年产量为x万台，则上半年产量为(11/5)x万台，列方程为x+(11/5)x=108。或者先求出上半年是下半年的几分之几，再列方程x+4/5x=108。教师引导学生总结：“差倍”问题虽然表述不同，但本质是一样的。我们仍然可以通过画线段图，先把“多几分之几”或“少几分之几”转化成“是单位‘1’的几分之几”，再按照“和倍”问题的思路列方程解答。​（四）分层练习，巩固提升（预计10分钟）​【基础】1.

某校五、六年级共向灾区捐款560元，五年级捐款数是六年级的3/5。五、六年级各捐款多少元？​【重要】2.

小丽买了一支圆珠笔和一支钢笔，共用去10元。钢笔的价钱比圆珠笔贵3/2，圆珠笔和钢笔的单价各是多少元？（提示：引导学生找准单位“1”，明确“贵3/2”的含义，即钢笔比圆珠笔贵圆珠笔价钱的3/2，或者说钢笔价钱是圆珠笔的1+3/2倍。）​【拓展】3.

甲、乙两车从相距540千米的两地同时出发，相向而行，经过3小时相遇。已知甲车的速度是乙车的4/5，求甲、乙两车的速度各是多少？（设计意图：本题将“和倍”问题与行程问题相结合，增加了综合性。学生需要先求出速度和（540÷3=180千米/时），再运用本课所学知识解决问题，考查学生灵活运用模型的能力。）​学生独立完成，教师巡视指导，针对共性问题进行集体订正。订正时，重点让学生说清“设谁为x”、“怎样表示另一个量”、“根据什么等量关系列方程”。​（五）课堂总结，畅谈收获（预计2分钟）​【基础】教师：“同学们，通过今天这节课的学习，你有哪些收获？掌握了哪些新的本领？还有什么疑惑吗？”引导学生从知识技能（学会了用方程解决和倍、差倍问题）、过程方法（画图分析、顺向思维）、思想情感（数学与生活的联系）等方面进行总结。教师最后再次强调方程法的顺向思维优势，并鼓励学生在今后遇到复杂问题时，要敢于、善于运用方程这个“法宝”。​七、板