高等数学课件 7.3 线性方程组求解

第7章线性代数初步线性方程组求解第3讲主讲教师|01任务启航02线性方程组的解向量03线性方程组解的判定04线性方程组的求解05实战演练06习题2本节内容301任务启航📝

【任务启航】车流量问题某城区四个交叉路口

，它们均有两条单向车道组成，如图7.2所示，图中给出了在交通高峰时段每小时进入和离开各路口的车辆数。任务：计算4个交叉路口之间通行的车辆数401任务启航📚

引例1用消元法解线性方程组

分析：在消元时，将方程组的变化过程和由系数与常数项构成的矩阵（增广矩阵）的变化过程对照，注意每一步得到新方程组和新增广矩阵时使用的是完全相同的初等变换（

既表示第

个方程，也表示增广矩阵的第

行）

5

01任务启航6因为初等变换可逆，所以消元得到的每个新方程组一定是与原方程组同解.将最后一个方程

代入第二个方程得到

，再将

，

代入第一个方程得到

.这样，就得到方程组的解

，

，

.这几步操作过程为

01任务启航7

01任务启航801任务启航引例2用消元法解线性方程组

通常把

称为消元过程，④⑤为回代过程.可以看到，③对应的矩阵为行阶梯形矩阵，而⑤对应的矩阵是行最简形矩阵.

9分析

①

②

③01任务启航10②对应的矩阵是行阶梯形矩阵，而③对应的矩阵是行最简形矩阵.从③可以看出，此线性方程组未知量有3个，但是有效方程只有2个，所以方程的解有无穷多个.通常把行阶梯形矩阵的首非零元所对应的未知量（这里为

和

）作为非自由未知量，放在等号的左边，而将自由未知量（这里为

）放在等号的右边，即

令

，即得到方程组的全部解：

其中，

为任意实数.

01任务启航11当把一个线性方程组

的解写成上述形式时，其称为方程组

的通解.

故01任务启航12本节内容01任务启航02线性方程组的解向量03线性方程组解的判定04线性方程组的求解05实战演练06习题13

（7.5）一般地对于含有个未知量个方程的线性方程组

02线性方程组的解向量14

为线性方程组的系数矩阵.而

，

可分别称为未知量矩阵和常数项矩阵.所以方程组可用矩阵表示为

其中

表示第个未知量,表示第个方程第个未知量的系数,为常数项,我们称矩阵

02线性方程组的解向量15

当方程组

称为非齐次线性方程组，当

时，

方程组称为齐次线性方程组

线性方程组的解记为

称为线性方程组的解向量，简称为解。因为

所以齐次线性方程组

一定有零解

02线性方程组的解向量16本节内容01任务启航02线性方程组的解向量03线性方程组解的判定04线性方程组的求解05实战演练06习题17无解、有唯一解或有无穷多解，都可以根据增广矩阵

的秩来判断.

齐次线性方程组总是有解的，而非齐次线性方程组则不一定.线性方程组.

，要么

，其增广矩阵对于

有解的充分必要条件是

📝

定理7.10线性方程组

比矩阵多一列，

所以要么

于是可以得到以下推论：03线性方程组解的判定

1803线性方程组解的判定

对于齐次线性方程组

，由于，一定有

，故

必有解，事实上零解就是其解.结合推论7.7，容易得到以下推论.

📝

推论7.7

对于含有

个未知量，

个方程的非齐次线性方程组（1）

无解；（2）

有唯一解；（3）

有无穷多解；

1903线性方程组解的判定📝

推论7.8:

对于含有

个未知数

个方程的齐次线性方程组

：（1）

只有零解的充分必要条件是（2）

有非零解的充分必要条件是.📝

推论7.9:

对于含有

个未知数

个方程的齐次线性方程组

，当

时，必有非零解.📝

推论7.10:

对于含有

个未知数

个方程的齐次线性方程组

AX=O有非零解的充要条件是

2003线性方程组解的判定📚

例1判断下列线性方程组是否有解：

2103线性方程组解的判定📚

例2

判断齐次线性方程组

是否有非零解.解将系数矩阵转化为行阶梯形矩阵：

由此可知，

，所以该方程组有非零解.22本节内容01任务启航02线性方程组的解向量03线性方程组解的判定04线性方程组的求解05实战演练06习题2304线性方程组的求解

用消元法解线性方程组

，消元是将方程组化为行阶梯方程组的过程，也就是将其增广矩阵利用初等行变换化为行阶梯形矩阵的过程；而回代是将行阶梯形矩阵进一步化为行最简形矩阵的过程。因此,在解线性方程组

时，可以用增广矩阵

的初等行变换代替具体的消元和回代过程.结合线性方程组解的判定定理,可以得到用矩阵的初等变换解线性方程组的一般步骤:

（1）写出增广矩阵

（2）把增广矩阵

化成行阶梯形矩阵，并根据其非零行行数确定

和,如果

原方程组无解;如果

,原方程组有解,执行后面的步骤；

2404线性方程组的求解📢

注:上述方法无论是对非齐次线性方程组AX=b，还是齐次线性方程组

AX=0，都适用。不过,对于齐次线性方程组

AX=0

,只需对系数矩阵A施行初等行变换.（3）有解时,如果

，进一步把化为行最简形矩阵

,则可由行最简形矩阵写出方程组的唯一解；如果

,原方程组有无穷多解,执行后面的步骤；（4）写出与行最简形矩阵对应的线性方程组,将非零行首非零元对应的

个未知量作为非自由未知量放在等号的左边，其余

个未知量作为自由未知量移到等号右边.（5）将自由未知量分别取不同的任意值

，写出通解.

2504线性方程组的求解📚

例3

求解非齐次线性方程组

解对方程组的增广矩阵进行行初等变换,将其化为行阶梯形矩阵：

所以原方程组有唯一解

，故方程组有唯一解.将

进一步化成行最简形矩阵：

由于

2604线性方程组的求解📚

例4

求解非齐次线性方程组

解对方程组的增广矩阵化为行阶梯形矩阵，再化为行最简形矩阵：

得同解方程组

令则原方程组的通解为

，其中k1,k2为任意常数。2704线性方程组的求解📚

例4

解齐次线性方程组

解对系数矩阵

A施行初等行变换化为行阶梯形矩阵A1：

由于R(A)=2<4，则原方程组有无穷多非零解.将A1化为行最简形矩阵A2：

2804线性方程组的求解行最简形矩阵对应的线性方程组为：

令则原方程组的通解为，其中k1,k2为任意常数.

29本节内容01任务启航02线性方程组的解向量03线性方程组解的判定04线性方程组的求解05实战演练06习题30

下面利用线性方程组的相关知识来完成本节前面任务启航中的任务，即计算4个交叉路口之间通行的车辆数.

因为每一个交叉路口进入的车辆数等于离开的车辆数，所以对于路口A、B、C、D分别有：

整理得线性方程组

05实战演练31其增广矩阵由于

，故方程组有解，且为自由未知量，

05实战演练32图7.2中没有给出足够得信息来确定,假设已知交叉路口

到的平均车辆数,那么其他路口间得车辆数为：交叉路口

到的平均车辆数

辆,交叉路口

到的平均车辆数辆，交叉路口到的平均车辆数

辆。

05实战演练33本节内容01任务启航02线性方程组的解向量03线性方程组解的判定04线性方程组的求解05实战演练06习题341.