直线与平面的夹角（教学课件）-2026-2027学年高二上学期人教B版(2019)选择性必修第一册

人教B版(2019)选择性必修第一册1.2.3直线与平面的夹角第一章空间向量与立体几何学习目标理解直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角的关系，体现逻辑推理能力（重点）会利用空间向量求直线与平面的夹角，体现逻辑推理能力（重难点）新课导入日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象．例如，如图(1)所示，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度；如图(2)所示，地球仪的地轴（即旋转轴）与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面成一定角度．那么，怎样来刻画直线与平面所成的角呢？新课学习如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为

90°；如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为

0°．新课学习尝试与发现：如图所示，设l是平面α的一条斜线，m是平面α内的任意一条直线.能否将m与l所成的角定义为直线l与平面α所成的角？如果不能，该怎样规定直线l与平面α所成的角？图中，当m的位置不同时，m与l所成角的大小可能也不同，因此不能将其定义为直线l与平面α所成的角.新课学习斜线与平面所成的角的概念平面的一条斜线在平面内的射影是唯一确定的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的角，称为这条斜线与平面所成的角．新课学习举个例子：如图所示，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A′B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA′就是直线AB与平面α所成的角.新课学习尝试与发现：如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A′为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A′M⊥OM.记∠AOA′=θ1，∠A′OM=θ2，∠AOM=θ.(1)从直观上判断θ1与θ的大小关系；(2)说明AM⊥OM是否成立，探究θ1，θ2，θ三者之间的等量关系.如图所示，注意到AA′⊥α，所以△AA′O，△AA′M都是直角三角形，而且A′M是AM在平面α内的射影.因此，根据A′M⊥OM与三垂线定理可知AM⊥OM，所以△AMO也是直角三角形.新课学习如果设OA=1，则在Rt△AA′O中OA′=OAcosθ1=cosθ1，因此在Rt△OMA′中，OM=OA′cosθ2=cosθ1cosθ2；另一方面，在Rt△AMO中，有OM=OAcosθ=cosθ

.因此cos

θ=cos

θ1cos

θ2.一般地，因为0≤cosθ2≤1，所以由上式可知cosθ≤cosθ1，因为θ1和θ都是锐角，所以可得θ1≤θ.

这就是说，平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.新课学习直线与平面所成的角空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称为它们的夹角．新课学习例1：如图所示，已知∠BAC在平面α内，过该角的顶点A引平面α的斜线AP，且使∠PAB=∠PAC，求证：斜线AP在平面α内的射影平分∠BAC.设点P在平面α内的射影为点M，则AM为AP在平面α内的射影.根据前面的结论有cos∠PAB=cos∠PAMcos∠BAM，cos∠PAC=cos∠PAMcos∠CAM，由∠PAB=∠PAC可得，cos∠BAM=cos∠CAM，因此∠BAM=∠CAM，即AM平分∠BAC.新课学习尝试与发现：如图所示，P是平面α外一点，P

在平面α内的射影为P′.过P

作平面α的斜线段PA1，PA2，且A1，A2均为斜足，设PA1，PA2与平面α所成角分别为θ1，θ2

试判断PA1=PA2是θ1=θ2的什么条件，P′A1=P′A2是θ1=θ2的什么条件.注意到PP′⊥α，所以△PP′A1与△PP′A2都是直角三角形，从而PP′=PA1sinθ1=PA2sinθ2，再根据θ1，θ2都是锐角可知PA1=PA2是θ1=θ2的充要条件；类似地，因为PP′=P′A1tanθ1=P′A2tanθ2，所以P′A1=P′A2也是θ1=θ2的充要条件.新课学习上面的结果可以总结为：经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等．思考一下：从上面的结果你可以得到什么结论？从上面的还可以看出，当线段AB所在的直线与平面α所成的角为θ，且AB在平面α内的射线为A′B′时，有A′B′=ABcosθ新课学习尝试与发现：如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与〈v，n〉的关系.如图(1)(2)所示，可以看出特别地，cosθ=sin〈v，n〉或

sinθ=|cos〈v，n〉|．新课学习例2：已知ABCD−A′B′C′D′是正方体，求B′D′与平面A′BCD′所成角的大小.方法一：A′(1,0,1)，B(1,1,0)，D′(0,0,1)，B′(1,1,1)，设平面A′BCD′的一个法向量为n=(x,y,z)，则新课学习例2：已知ABCD−A′B′C′D′是正方体，求B′D′与平面A′BCD′所成角的大小.方法一：取z=1，可得n=(0,1,1)，又因为从而可知B′D′与平面A′BCD′所成角的大小为利用空间向量的方法新课学习例2：已知ABCD−A′B′C′D′是正方体，求B′D′与平面A′BCD′所成角的大小.设A′B的中点为E，连接B′E，D′E，如图所示.方法二：因为ABB′A′是正方形，所以B′E⊥A′B.又因为D′A′⊥平面ABB′A′，且B′E⊂平面ABB′A′，所以D′A′⊥B′E.再根据D′A′∩A′B=A′可知B′E⊥平面A′BCD′.因此，B′D′在平面A′BCD′内的射影为D′E，所以∠B′D′E就是B′D′与平面A′BCD′所成角.因为正方体中有B′D′=2B′E，所以在Rt△B′ED′中，sin∠B′D′E=，又因为∠B′D′E是一个锐角，所以∠B′D′E=，即B′D′与平面A′BCD′所成角的大小为.

利用直线与平面所成角的定义新课学习拓展：用空间向量法解答的基本步骤：1.建系，写出相关点的坐标.2.求直线方向向量a及平面法向量n.3.利用向量的夹角公式求出向量夹角的三角函数值.4.结合图形(角的关系)及三角函数值关系确定角的值，并写出结论.新课学习拓展：用几何推理法解答的基本步骤：1.找到(或作出)斜线(斜线段)上一点到平面的垂线(或垂线段)，并证明.2.找到(或作出)斜线(斜线段)在平面内的射影，并确定线面角.3.根据题目条件解直角三角形，经计算(或推理)得到角的值.4.写出结论.新课学习拓展：空间向量法与几何推理法的比较：空间向量法几何