2026届湖南雅礼中学高三月考卷(四)数学试题及答案

2.已知a>b,c>d,则下列不等关系正确的是A.ac2>bc2B.a3>b3D.a-c>b-dA.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小B.|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件D.共线的单位向量都相等A.256B.512C.1024D.20485.如图，二面角α-l-β的棱上有两点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个半平面内,并且都垂直于棱l,若AB=2,AC=3，BD=4，CD=、41，则二面角α-l-β的大小为βDlABβDA.πB.πC.2πD.5π6.已知数列{an}满足递推关系an+1=,a1=,则a2026=A.B.C.D.7.若实数x,y满足x2+2y2-2xy=1,则2x2+2y2的最小值为2-2A.1B.3-5C.D.228.已知正四面体P-ABC内接于球O,点E是底面三角形ABC的边AB的中点,过点E作球O的截面,若存在半径为3的截面圆,则正四面体P-ABC棱长的取值范围是A.[2,3[B.[3,6[C.[22,23[D.[23,26[9.若复数z满足(2+i(=4+3i其中i为虚数单位),则下列说法正确的是C.z2=5-4iD.若|z1|=2,则|z1-z|的最大值为、5+210.若随机变量X∼N(μ,σ2(,则A.X的正态曲线与y轴只有一个交点B.X的正态曲线关于直线x=σ对称C.2PD.若Y=则E(Y(=0,D(Y(=111.已知函数f(x(=|lnx|-a,g(x(=x,则A.若f(x(存在两个零点x1,x2,则x1x2=1B.若f(x(=g(x(仅有一解,则a=-1C.用[x[表示不大于x的最大整数.若h(x(≠g([x[(,则h(x+1(>h(x(D.若方程f(x(+[g(x([2=0无解,则实数a的取值范围是品做检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1(,且备件产品是否为不合格品相互独立.(1)求4件产品中恰有2件不合格品的概率，并记为f(p(；(2)求f(p(的最大值点p0.c2-b2(sinB=accos。。B.(1)求B；于点P，Q，将正方形AA'A1'A1沿BB1，CC1折叠使得AA1与A'A1'重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A1B1C1.(2)求平面APQ与平面A1PQ所成夹角的余弦值.B1C1A1B1C1A1'A1AA1A'PQBCAAPBMQC18.已知椭圆=1(a>b>0(右焦点为F，点M(3,在椭圆C上，且MF⊥x轴,过点M且与椭圆C有且只有一个公共点的直线l与x轴交于点P，A为椭圆C的上顶点，点R是椭圆C上异于点M率为-,试证明:直线SR过定点.19.设函数f(x(=2acosx-e-x,fl=e1，(2)证明:f(x(在区间2nπ+,2nπ+|(n∈N(上有唯一零点xn；∅,综上只有A正确.2.B【解析】对于A,当c=0时,ac2=bc2=0,显然不满足ac2>bc2,故A错误;对于B,a3-b3=(a-b((a2+ab+b2(=(a-b(因为a>b,若2+=0,则a+=0且b=0,可得a=b=0,这与a>b矛盾,所以>0,且a-b>0,故a3-b3=(a-b(>0,故a3>b3,故B正确;对于C,当a=1>b=-1时,=-1,显然不满足<,故C错误;对于D,当a=8,b=6,c=4,d=1时,满足a>b,c>d,但a-c=4<b-d=5,a-c>b-d显然不成立,故D错误.共线的单位向量是相等向量或相反向量,故D错误.所以an=a1qn-1=16×((n-1=25-n,n(4+5-n(n(9-n(所以Tn=24×23×22×⋯×25-n=24+3+2+⋯+(5-n(=22=22,所以当n=4或n=5时,取得最大值10,【解析】设<A,B>=θ(0≤θ≤π(,则二面角α-l-β的大小为θ,由题意，CA⊥AB,AB⊥BD，则A⋅A=B⋅A=0,<C,B>=π-θ,2=(C+A+B(2=|C|2+|A|2+|B|2+2|C||B|cos(π-θ(,即41=9+4+16+2×3×4×(-cosθ(,得cosθ=-,所以θ=,即二面角α-l-β的大小为.6.An+1=-1(×1=n+1,an=，所以a2026= 【解析】原方程化为(x-y(2+y2=1,令cosθ=x-y,sinθ=y,则2x2+2y2=2(cosθ+sinθ(2+2sin2θ=4-2cos2θ+4cosθsinθ=4-cos2θ-1+2sin2θ=3+、5sin(2θ-φ(≥3-、5.其中cosφ=,sinφ=.【解析】如图,在正四面体P-ABC中,设顶点P在底面三角形ABC的射影为O1,则球心O在PO1上,O1在CE上,且|CO1|设正四面体P-ABC的棱长为a,则|CE|=a,|CO1|=|CE|=a,则正四面体的高PO1=、PC2-O1C2=a22=a,设外接球半径为R,在Rt△OO1C中,OC2=OO+O1C2,即R2=a-R(2+2,解得R=a,所以在Rt△OO1E中,OE=OO+O1E2=2+2=a,过点E作外接球O的截面,当OE⊥截面圆所在的平面时,截面圆的半径最小,此时截面圆的半径为r=、R2-OE2=22=a,最大截面圆为过球心的大圆,半径为r=R=a,由题设存在半径为3的截面圆,所以a≤、3≤a,解得22≤a≤2、3.9.ABD在复平面内z所对应的点坐标为(1,-2(,在第四象限,故A正确;z⋅z-=(1-2i(⋅(1+2i(=1+4=5,故B正确;z2=(1-2i(2=1-4-4i=-3-4i,故C错误;对于D,|z1|=2,则复平面内表示复数z1的点P的集合是以(0,0(为圆心,2为半径的圆,而|z1-z|=|z1-(1-2i(|,即为点P到点(1,-2(之间的距离,所以|z1-z|的最大值为12+(-2(2+2=5+2,故D正确.【解析】若X∼N(μ,σ2(,则其密度函数f(x(=因此X的正态曲线与y轴只有一个交点0,e-,故A正确;X的正态曲线关于直线x=μ对称，故B错误；P(|X-μ|>3σ(=P(X<μ-3σ(+P(X>μ+3σ(=2P(X>μ+3σ(,故C正确;【解析】对于A,f(x(=|lnx|-a=0,即a=|lnx|有两个解x1,x2,如图,由图知,不妨取0<x1<1<x2,a=-lnx1=lnx2⇒lnx1+lnx2=lnx1x2=0⇒x1x2=1,故A正确;0<x<1,x≥1,(-x+lnx,对于B,f(x(=g(x(,即a=|0<x<1,x≥1,(-x+lnx,当0<x<1时,y=-x-lnx在区间(0,1(上单调递减;当x≥1时,y=-x+lnx,yI=-1+=≤0,所以y=-x+lnx在区间[1,+∞(上单调递减,Γ-x-lnx,即a=Γ-x-lnx,即a=|lnx|-x={在区间(0,+∞(上单调递减,(-x+lnx,x→0,-x-lnx→+∞,x→+∞,-x+lnx→-∞,若f(x(=g(x(仅有一解,则a∈R,故B错误;对于C,因为[x+1[=[x[+1,h(x(=g([x[(,所以h(x+1(=g([x+1[(=[x+1[>h(x(=g([x[(=[x[,故C正确;0<x<1,x≥1,0<x<1,x≥1,当x≥1时,y=x2+lnx在区间[1,+∞(上单调递增,值域为[1,+∞(,当0<x<1时,y=h(x(=x2-lnx,hI(x(=2x-==0⇒x1=,x2=-,h(x(min=h=-ln=<1,x→0,h(x(→+∞,即0<x<1时,y=h(x(=x2-lnx的值域为,+∞(,故若f(x(+[g(x([2=0有解,则a∈,+∞(,若方程f(x(+[g(x([2=0无解,则实数a的取值范围是,故D正确.13.-【解析】由cos2α=cos,得cos2α-sin2α=(cosα-sinα(.因为α∈(-,0(,所以cosα- ,解得α=-.易知S△OAB=S△OAF+S△OBF,15.(1)4件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p(=Cp2(1-p(2=6p2(1-p(2.(2)因为fI(p(=6[2p(1-p(2-2p2(1-p([=12p(1-p((1-2p(,令fI(p(=0,得p=0.5.当p∈(0,0.5(时,fI(p(>0;当p∈(0.5,1(时,fI(p(<0.所以f(p(在区间(0,0.5(上单调递增,在区间(0.5,1(上单调递减,所以f(p(的最大值点为p0=0.5.+c2-b2(sinB=、3accosB,:sinB=cosB,即cosBsinB=cosB,“B为锐角,:cosB≠0,sinB=,:B=.:c-2a=sinC-sinA=sin-A(-sinA=cosA-3sinA=2cos(A+(,“0<A<,:<A+<π,:-1<cos(A+<,:c-2a的取值范围是(-2,1(.17.(1)证明:如图,过点M作MNⅡCQ,交AQ于点N,连接PN,“BB1ⅡCC1,:MNⅡPB,:M,N,P,B四点共面,且平面MNPB交平面APQ于PN,:在Rt△QAC中，tan上QAC=，在Rt△AMN中，AM=，:MN=3=BP，:四边形MNPB为平行四边形,:BMⅡPN,又PNC平面APQ,BM丈平面APQ,:BMⅡ平面APQ.2=AB2+BC2，:AB丄BC.A1AQPCB1C1QPCNBM又BB1丄AB,BB1丄BC,分别以BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,由题图知,PB=AB=3,QC=7,则A(3,0,0(,C(0,4,0(,P(0,0,3(,Q(0,4,7(,A1(3AP=(-3,0,3(,AQ=(-3,4,7(,A1P=(-3,0,-9(,A1Q=(-3,4,-5(,设平面APQ的法向量为=(x,y,z(,=-3x+3z=0,Ln⋅AQ=-3x+4y+7z=0,令x=1,得=(1,-1,1(,设平面A1PQ的法向量为=(x1,y1,z1(,=-3x1-9z1=0,Lm⋅A1Q=-3x1+4y1-5z1=0,令z1=1,得=(-3,-1,1(,-3×1+(-1(×(-1(+1×1|33∴|cos<∴平面APQ与平面A1PQ所成夹角的余弦值为所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为x=my+得(m2+4(y2+2mny+n2-4=0，由椭圆C与直线l只有一个交点，令Δ=0,即n2-m2-4=0,①又直线l:x=my+n过点M(、3,,则、3=m+n,②设原点O(0,0(，由S△OPM=××=，故S△RPM=2S△OPM，zzC1QxB1PA1BACyMB1PA1BACyM故直线MR的方程为y=x.y=kx+1,(3)设lAQ:y=kx+1，联立+y2=1,可得(4k2+1(x+8kx=0，则xQ=-,则yQ=k⋅(-(+1=,即Q(-联立,可得2kx2+(2k+1(x=0,则xS=-=-1-,则yS=-k+,即S(-1-,-k+,设lRQ:y=-x+p,联立p,可得x2-2px+2p2-2=0,又yQ=-xQ+p,可得p=,从而xR=,yR=-,即R,,设直线SR与x轴交于点T(t,0(,则lSR:y=-k(x-t(,代入点S,可得t=-2,故直线SR过定点(-2,0(.19.(1)f/(x(=-2asinx+e-x,则f/(-=2a+e=e1,故a=.(2)令f(x(=cosx-e-x=0，得excosx=1，令g(x(=excosx-1,g/(x(=ex(cosx-sinx(.所以g(x(在区间2nπ+,2nπ+Γ|L(n∈N(上单调递减，又g(2nπ+=e2nπ+×-1>0,g(2nπ+=-1<0,故f(x(在区间2nπ+,2nπ+(n∈N(上有唯一零点xn.(3)记yn=xn-2nπ,则yn∈,，由(2)可知g(yn(=eycosyn-1=ex-2nπcos(xn-2nπ(-1=e-2nπ-1(n∈N(，g(y0(=e0-1=0,则g(yn(≤g(y0(=0,再由yn∈,(x(在区间,|上单调递减,得yn≥y0,记h(x(=g(x(+g/(x(,由g/(x(=ex(cosx-sinx(,从而gⅡ(x(=-2exsinx.当x∈,时,gⅡ(x(<0,(13分)所以g/(x(在区间,|上单调递减,所以g/(yn(≤g/(y0(.故h/(x(=g/(x(+gⅡ(x(g/(x(=gⅡ(x(<0.因此,h(x(在区间,|上单调递减,进而h(x(≥=g=-1.所以,当x∈,|时,g(x(+g/(x(≥-1.-yn≤-=-≤-=-<-=-.2sinx0-cosx0.所以2nπ+π-xn2sinx0-cosx0.∅,综上只有A正确.2.已知a>b,c>d,则下列不等关系正确的是A.ac2>bc2B.a3>b3D.a-c>b-d【解析】对于A,当c=0时,ac2=bc2=0,显然不满足ac2>bc2,故A错误;对于B,a3-b3=(a-b((a2+ab+b2(=(a-b(2+,因为a>b,若(a+=0,则a+=0且b=0,可得a=b=0,这与a>b矛盾,所以>0,且a-b>0,故a3-b3=(a-b(>0,故a3>b3,故B正确;对于C,当a=1>b=-1时,=-1,显然不满足<,故C错误;对于D,当a=8,b=6,c=4,d=1时,满足a>b,c>d,但a-c=4<b-d=5,a-c>b-d显然A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小B.|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件D.共线的单位向量都相等共线的单位向量是相等向量或相反向量,故D错误.4.等比数列{an{中,a1+a3=20,a2+a4=10,记Tn为数列{an{的前n项积,则Tn的最大值是A.256B.512C.1024D.20481所以an=a1qn-1=16×n-1=25-n,n(4+5-n(n(9-n(所以Tn=24×23×22×⋯×25-n=24+3+2+⋯+(5-n(=22=22,因为n(92-n(=-n29n=-(n-(2+,所以当n=4或n=5时,取得最大值10,5.如图，二面角α-l-β的棱上有两点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个半平面内,并且都垂直于棱l,若AB=2,AC=3，BD=4，CD=、41，则二面角α-l-β的大小为βDlABβDA.B.C.D.【解析】设<A,B>=θ(0≤θ≤π(,则二面角α-l-β的大小为θ,由题意，CA⊥AB,AB⊥BD，则A⋅A=B⋅A=0,<C,B>=π-θ,2=(C+A+B(2=|C|2+|A|2+|B|2+2|C||B|cos(π-θ(,即41=9+4+16+2×3×4×(-cosθ(,得cosθ=-,所以θ=,即二面角α-l-β的大小为.6.已知数列{an}满足递推关系an+1=,a1=,则a2026=A.B.C.D.n+1=-1(×1=n+1,an=，所以a2026= 7.若实数x,y满足x2+2y2-2xy=1,则2x2+2y2的最小值为2-2C.B.3-C.B.3-5D.22【解析】原方程化为(x-y(2+y2=1,令cosθ=x-y,sinθ=y,则2x2+2y2=2(cosθ+sinθ(2+2sin2θ。=4-2cos2θ+4cosθsinθ=4-cos2θ-1+2sin2θ=3+5sin(2θ-φ(≥3-5.其中cosφ=,sinφ=.8.已知正四面体P-ABC内接于球O,点E是底面三角形ABC的边AB的中点,过点E作球O的截面,若存在半径为3的截面圆,则正四面体P-ABC棱长的取值范围是A.[2,3[B.[3,6[C.[22,23[D.[23,26[【解析】如图,在正四面体P-ABC中,设顶点P在底面三角形ABC的射影为O1,设正四面体P-ABC的棱长为a,则|CE|=a,|CO1|=则正四面体的高PO1=PC2-O1C2=a22=a,设外接球半径为R,在Rt△OO1C中,OC2=OO+O1C2,即R2=a-R(2+2,解得R=a,所以在Rt△OO1E中,OE=OO+O1E2=2+2=a,过点E作外接球O的截面,当OE⊥截此时截面圆的半径为r=R2-OE2=22=a,最大截面圆为过球心的大圆,半径为r=R=a,9.若复数z满足(2+i(=4+3i其中i为虚数单位),则下列说法正确的是C.z2=5-4iD.若|z1|=2,则|z1-z|的最大值为5+2在复平面内z所对应的点坐标为(1,-2(,在第四象限,故A正确;z⋅z-=(1-2i(⋅(1+2i(=1+4=5,故B正确;z2=(1-2i(2=1-4-4i=-3-4i,故C错误;对于D,|z1|=2,则复平面内表示复数z1的点P的集合是以(0,0(为圆心,2为半径的圆,而|z1-z|=|z1-(1-2i(|,即为点P到点(1,-2(之间的距离,所以|z1-z|的最大值为12+(-2(2+2=5+2,故D正确.10.若随机变量X∼N(μ,σ2(,则A.X的正态曲线与y轴只有一个交点B.X的正态曲线关于直线x=σ对称C.2P(X>μ+3σ)=P(|X-μ|>3σ)D若Y=则E(Y(=0,D(Y(=1【解析】若X∼N(μ,σ2(,则其密度函数f(x(=e-0,e-,故A正确;X的正态曲线关于直线x=μ对称，故B错误；,因此X的正态曲线与y轴只有一个交点P(|X-μ|>3σ(=P(X<μ-3σ(+P(X>μ+3σ(=2P(X>μ+3σ(,故C正确;E(Y(==0,D(Y(=D(X(=1,故D正确.11.已知函数f(x(=|lnx|-a,g(x(=x,则A.若f(x(存在两个零点x1,x2,则x1x2=1B.若f(x(=g(x(仅有一解,则a=-1C.用[x[表示不大于x的最大整数.若h(x(≠g([x[(,则h(x+1(>h(x(D.若方程f(x(+[g(x([2=0无解,则实数a的取值范围是【解析】对于A,f(x(=|lnx|-a=0,即a=|lnx|有两个解x1,x2,如图,由图知,不妨取0<x1<1<x2,a=-lnx1=lnx2⇒lnx1+lnx2=lnx1x2=0⇒x1x2=1,故A正确;对于B,f(x(=g(x(,即a=|lnx|-x={r(--,,0<x<1,x≥1,当0<x<1时,y=-x-lnx在区间(0,1(上单调递减;当x≥1时,y=-x+lnx,yl=-1+=≤0,所以y=-x+lnx在区间[1,+∞(上单调递减,(--,,<1,在区间(0,+∞(上单调递减,x→0,-x-lnx→+∞,x→+∞,-x+lnx→-∞,若f(x(=g(x(仅有一解,则a∈R,故B错误;对于C,因为[x+1[=[x[+1,h(x(=g([x[(,所以h(x+1(=g([x+1[(=[x+1[>h(x(=g([x[(=[x[,故C正确;对于D,f(x(+[g(x([2=0,即a=|lnx|+x2={,,,<1,当x≥1时,y=x2+lnx在区间[1,+∞(上单调递增,值域为[1,+∞(,当0<x<1时,y=h(x(=x2-lnx,h/(x(=2x-==0⇒x1=,x2=-,h(x(min=h=-ln=<1,x→0,h(x(→+∞,即0<x<1时,y=h(x(=x2-lnx的值域为,+∞(,故若f(x(+[g(x([2=0有解,则a∈,+∞(,若方程f(x(+[g(x([2=0无解,则实数a的取值范围是(,故D正确.【答案】-【解析】由cos2α=cos,得cos2α-sin2α=(cosα-sinα(.因为α∈(-,0(,所以cosα-sinα,解得α=-.因为双曲线C的方程为-=1,易知S△OAB=S△OAF+S△OBF,而tanθ=、2,则cosθ=.所以、2mn=m+n,即1+所以m+n=(m+n(+=++2(≥2⋅+2(=62,当且仅当m=n=3、2时,等号成立,+品做检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1(,且备件产品是否为不合格品相互独立.(2)求f(p(的最大值点p0.【解析】(1)4件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p(=Cp2(1-p(2=6p2(1-p(2.(2)因为f,(p(=6[2p(1-p(2-2p2(1-p([=12p(1-p((1-2p(,令f,(p(=0,得p=0.5.当p∈(0,0.5(时,f,(p(>0;当p∈(0.5,1(时,f,(p(<0.所以f(p(在区间(0,0.5(上单调递增,在区间(0.5,1(上单调递减,所以f(p(的最大值点为p0=0.5.+c2-b2(sinB=、3accos。。B.+c2-b2(sinB=、3accosB,∴sinB=cosB,即cosBsinB=cosB,∴c-2a=sinC-sinA=sin-A(-sinA=cosA-3sinA=2cos(A+(,∵0<A<,∴<A+<π,∴-1<cos(A+<,1=12，AB=A1B1=3，BC=B1C1=4，对角线AA1'分别交BB1，CC11折叠使得AA1与A'A1'重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A1B1C1.(2)求平面APQ与平面A1PQ所成夹角的余弦值.B1C1A1B1C1A1'A1AA1A'PQBCAAPBMQC(1)证明:如图,过点M作MN⎳CQ,交AQ于点N,连接PN,B1C1A1AQPCQPCNBM∵BB11,∴MN∴M,N,P,B四点共面,且平面MNPB交平面APQ于PN,由题可知,AB=3,BC=4,AC=5,QC=7,∴在Rt△QAC中，tan∠QAC=在Rt△AMN中，AM=，∴MN=3=BP，又PN⊂平面APQ,BM⊄平面APQ,2=AB2+BC2，∴AB⊥BC.又BB1⊥AB,BB1⊥BC,分别以BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,B1PA1zB1PA1zC1QBCBCyAMAMx由题图知,PB=AB=3,QC=7,则A(3,0,0(,C(0,4,0(,P(0,0,3(,Q(0,4,7(,A1(3,0,12(,AP=(-3,0,3(,AQ=(-3,4,7(,A1P=(-3,0,-9(,A1Q=(-3,4,-5(,设平面APQ的法向量为=(x,y,z(,=-3x+3z=0,Ln⋅AQ=-3x+4y+7z=0,令x=1,得=(1,-1,1(,,设平面A1PQ的法向量为=(x1,y1,z1(,⋅A,Lm⋅A1Q=-3x1+4y1-5z1=0,令z1=1,得=(-3,-1,1(,∴平面APQ与平面A1PQ所成夹角的余弦值为18.已知