练习1　函数的零点与方程的解

五、函数的应用(二)练习1函数的零点与方程的解

高中数学必修第一册指数函数与对数函数第四章必备知识练

1.

有以下三个命题：①“方程f(x)＝0有实数解”是“函数y＝f(x)有零点”的充要条件；②“方程f(x)＝0有实数解”是“函数y＝f(x)的图象与x轴有交点”的充要条件；③“函数y＝f(x)有零点”是“函数y＝f(x)的图象与x轴有交点”的充要条件.其中为正确命题的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3【解析】方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点，命题①、②、③正确.D2.

函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是(

)A.(2，0) B.2，3C.(3，0) D.－2，－3【解析】令－x2＋5x－6＝0，解得x＝2，或x＝3，故函数f(x)的零点是2，3.B

C4.(2024·河北保定一中高一期中)已知f(x)是定义在[－2，6]上的减函数，且f(－2)＞0，f(－1)＞0，f(0)＞0，f(3)＜0，f(6)＜0，则f(x)的零点可能为(

)A.－1.5 B.－0.5 C.2 D.4【解析】∵f(x)是定义在[－2，6]上的减函数，且f(0)＞0，f(3)＜0，∴f(x)的零点必在区间(0，3)内，∴f(x)的零点可能为2.C

D6.

若函数f(x)在定义域{x|x∈R，且x≠0}上是偶函数，且在(0，

＋∞)上单调递减，f(2)＝0，则函数f(x)的零点(

)A.只有一个 B.只有两个C.至少有两个 D.无法判断【解析】∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，∴f(x)在(0，

＋∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，∴f(x)在(－∞，

0)上有且仅有一个零点－2，故函数f(x)只有两个零点－2和2.B7.

已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝lnx＋x－2的零点为b，则下列不等式中，成立的是

(

)A.f(1)＜f(a)＜f(b) B.f(b)＜f(1)＜f(a)C.f(a)＜f(b)＜f(1) D.f(a)＜f(1)＜f(b)D【解析】由题可知f(x)，g(x)均为增函数，∵函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，∴0＜a＜1.∵函数g(x)＝ln

x＋x－2的零点为b，g(1)＝－1＜0，g(2)＝ln

2＞0，∴1＜b＜2.综上可得，0＜a＜1＜b＜2.∵函数f(x)＝ex＋x－2在(0，＋∞)上单调递增，∴f(a)＜f(1)＜f(b).8.(多选)下列说法中，正确的有(

)A.函数f(x)＝x2＋lnx有且仅有一个零点B.若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)＞0，则f(x)在(0，1)内没有零点C.若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)＜0，则f(x)在(0，1)上有且仅有一个零点D.若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)≤0，则f(x)在[0，1]上有零点AD【解析】∵y＝－x2与y＝ln

x的图象有且仅有一个交点，∴－x2＝ln

x有且仅有一个根，∴f(x)＝x2＋ln

x有且仅有一个零点，A正确；∵f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)＞0，∴不能确定f(x)在(0，1)内零点的情况，B错误；若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)＜0，则由函数零点存在定理知，f(x)在(0，1)上至少有一个零点，C错误；若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)≤0，则由函数零点存在定理知，f(x)在[0，1]上有零点，D正确.9.(多选)函数f(x)＝x－2－log4|x|的零点所在的区间可能为(

)A.(－1，0) B.(0，1)C.(2，3) D.(3，4)ABC【解析】令f(x)＝x－2－log4|x|＝0，可得x－2＝log4|x|，∴函数f(x)＝x－2－log4|x|的零点所在区间等价于函数y＝x－2与y＝log4|x|图象的交点横坐标所在的区间，作出y＝x－2与y＝log4|x|的图象如图所示.由图可知函数y＝x－2与y＝log4x图象的三个交点的横坐标分别位于区间(－1，0)，(0，1)，(2，3)内，∴函数f(x)＝x－2－log4|x|的零点所在的区间可能为(－1，0)，(0，1)，(2，3).10.

函数f(x)＝4x－2x－2的零点是__________.

【解析】令f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0，得2x＝2(舍负)，即x＝1.1

2

a＜2关

键

能力练

13.

判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点：(1)f(x)＝－x2＋2x－1；(2)f(x)＝x4－x2；(3)f(x)＝4x＋5；(3)f(x)＝log3(x＋1).解：(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，∴函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.(2)令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，或x＝1，或x＝－1，故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5，∵4x＞0，－5＜0，∴方程4x＋5＝0无实数解，∴函数f(x)＝4x＋5不存在零点.(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，∴函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.14.(2024·山东日照高一期中)已知函数f(x)满足f(2x－1)＝4x2－2x＋3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)＝(1－2m)x＋2－2m有两个实根，其中一个实根在区间(－1，0)内，另一个实根在区间(2，3)内，求实数m的取值范围.

拓展突破练

15.

f(x)＝ln|x－2|－m(m∈R)的所有零点之和为__________.

【解析】函数f(x)＝ln

|x－2