人教A版新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习1.1.2空间向量数量积运算(四种常考题型)(原卷版+解析)

1.1.2空间向量数量积运算（四种常考题型）知识点1空间向量的夹角如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作，夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作知识点2空间向量的数量积运算1．空间向量的数量积已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即．零向量与任意向量的数量积为0，即.2．数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律交换律分配律3．投影向量在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．4．数量积的性质若，为非零向量，则（1）；（2）；（3），；（4）；（5）题型一 空间向量数量积的运算1．如图，各棱长都为的四面体中，，则向量（

）A． B． C． D．2．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（

）

A．4 B．5 C．6 D．83．已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（

）A．2 B．C． D．64．定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（

）

A． B．4 C． D．5．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（

）A． B． C． D．6．在空间四边形中，等于（

）A． B．0 C．1 D．不确定7．如图，在底面为矩形的四棱锥E-ABCD中，底面ABCD，，G为棱BE的中点.(1)证明：平面BCE.(2)若，，，求.8．如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：(1)(2)(3)9．（多选）已知四面体中，，，两两垂直，则以下结论中一定成立的是（

）A．； B．C．； D．10．平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________．11．已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体的棱上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．012．已知向量，向量与的夹角都是，且，试求(1)；(2)．题型二 用数量积解决夹角问题13．在三棱锥中，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．不确定14．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（

）A． B． C． D．415．如图，三棱锥中，、所成的角为，则（

）A．B．C．D．16．已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．17．如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．18．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（

）A． B． C． D．19．在三维空间中，三个非零向量满足，则是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形20．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（

）A． B．133 C． D．6121．（多选）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是（

）A． B．C． D．22．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________.23．已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________．24．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=8cm.则这个二面角的余弦值为_____________.题型三 利用数量积证明空间垂直关系25．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（

）A． B． C． D．26．在平行六面体中，，，，，则（

）A． B． C．0 D．27．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.(1)求证：共面；(2)当为何值时，.28．（多选）已知四边形为矩形，平面，连接，，，，，则下列各组向量中，数量积一定为零的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与29．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，M为BC中点，△AMD是（

）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定30．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点.(1)用表示，并求出；(2)求证：.31．已知空间四边形ABCD中，，，判断AD与BC的位置关系.32．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，.(1)用向量表示向量；(2)求证.33．在正方体中，P为上任意一点，则DP与的位置关系是______．34．已知空间有A，B，C，D四个点，满足，空间中还有四点，满足，求证：．题型四 用数量积求两点之间的距离35．如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（

）

A． B． C． D．36．二面角的平面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，，且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（

）A． B．C． D．237．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则线段的长度为（

）A． B． C． D．38．如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（

）

A． B． C． D．39．如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为______.

40．在平行六面体中，，，，，则的长为_______．41．如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（

）A．1 B． C． D．42．如图，二面角的平面角为，，，，，，，若，则长为（

）A． B． C．2 D．43．如图，已知四棱柱的底面是边长为1的正方形，且，，则______．44．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设．则______________．45．如图，在平行六面体中，，且，(1)试用表示向量.(2)若，，，求的长.46．（多选）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个不重合的动点E，F，则（

）A．当时， B．C．AE的最小值为 D．二面角为定值

1.1.2空间向量数量积运算（四种常考题型）知识点1空间向量的夹角如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作，夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作知识点2空间向量的数量积运算1．空间向量的数量积已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即．零向量与任意向量的数量积为0，即.2．数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律交换律分配律3．投影向量在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．4．数量积的性质若，为非零向量，则（1）；（2）；（3），；（4）；（5）题型一 空间向量数量积的运算1．如图，各棱长都为的四面体中，，则向量（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案.【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为，，，，故选：A.2．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（

）

A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】连接，将待求表达式转化进行运算简化.【详解】连接，由棱柱性质，侧棱平面，平面，则，故，又，.故选：C3．已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（

）A．2 B．C． D．6【答案】C【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律、垂直关系的向量表示求解作答.【详解】因为，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，，所以.故选：C4．定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（

）

A． B．4 C． D．【答案】A【分析】根据题中条件确定，设底面△ABD的中心为O，则CO⊥平面ABD，可求得，又的方向与相同，代入计算可得答案．【详解】，，设底面△ABD的中心为O，连接CO，AO，则OC⊥平面ABD，又AO，AB，AD平面ABD，故OC⊥AO，OC⊥AB，OC⊥AD，，，在中，，则，又的方向与相同，所以．故选：A．5．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值.【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有

故选：C6．在空间四边形中，等于（

）A． B．0 C．1 D．不确定【答案】B【分析】令，利用空间向量的数量积运算律求解.【详解】令，则，，.故选：B7．如图，在底面为矩形的四棱锥E-ABCD中，底面ABCD，，G为棱BE的中点.(1)证明：平面BCE.(2)若，，，求.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据已知，利用线面垂直的判定定理可得平面ABE，从而得到，利用等腰三角形的中线性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明平面BCE；（2）以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示即得解.【详解】（1）证明：因为底面ABCD，所以，又，，平面ABE，所以平面ABE，则.因为G为棱BE的中点，，所以，又，平面BCE.所以平面BCE.（2）以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.依题意可得，，，.因为，，所以.8．如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)1【分析】（1）正四面体的每个面均为等边三角形，夹角为，再结合空间向量数量积的运算法则，得解；（2）由，代入运算，即可得解；（3）取的中点，连接，，可推出，再在中，利用余弦定理求出的值，从而得解．【详解】（1）（2）；（3）取的中点，连接，，则，，在中，，，由余弦定理知，，所以．9．（多选）已知四面体中，，，两两垂直，则以下结论中一定成立的是（

）A．； B．C．； D．【答案】ACD【分析】利用，，两两垂直，可得，对于A选项，两边平方化简后相等可判断A选项；对于B选项，将，代入化简得到不一定为0，可判断B选项；对于C选项，左边直接平方利用向量垂直数量积为0化简，可判断C选项；对于D选项，将，同理，可判断D选项.【详解】由题意可知，，，两两垂直，所以，对于A选项，，，故，所以A选项正确；对于B选项，，当时，，否则不成立，所以选项B不正确；对于C选项，，所以选项C正确；对于D选项，，同理可得，，所以，选项D正确，故选：ACD10．平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________．【答案】1【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得答案.【详解】由题意得，，则,故答案为：1.11．已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体的棱上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．0【答案】C【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案.【详解】如图，是棱长为8的正方体外接球的一条直径，即正方体的一条体对角线，由正方体的特征可得其外接球半径为,设外接球球心为O，则,由于点M在正方体的棱上运动,故的最小值为球心O和棱的中点连线的长，即为正方体面对角线的一半，为，所以的最小值为，故选：C12．已知向量，向量与的夹角都是，且，试求(1)；(2)．【答案】(1)11(2)【分析】（1）计算，展开计算得到答案.（2），代入计算得到答案.【详解】（1）向量，向量与的夹角都是，且，，；（2）题型二 用数量积解决夹角问题13．在三棱锥中，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．不确定【答案】B【分析】根据题意得，利用空间向量的运算推导出，即可得出结果．【详解】∵，∴，∴，∴∴，∴，∴，∴，则与的夹角为．故选：B．14．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.【详解】由题意可得，.故选：C15．如图，三棱锥中，、所成的角为，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据数量积的运算律及余弦定理得到，再根据数量积的定义求出.【详解】因为，所以.故选：B.16．已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解.【详解】，，与夹角的余弦值为，在上的投影向量为.故选：D．17．如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.【详解】设，，，因为向量不共面，故可构成空间的一组基底，结合，，，，，所以=0，，，则，，可得，，，所以，又因为异面直线所成角的范围是，所以与所成角的余弦值为.故选：B.18．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据垂直的条件得，，再由向量的数量积运算可得，根据图示可求得二面角的大小.【详解】由题意得：，，因为，所以，即，解得：，又，则，由图示得，该二面角为为锐角，即该二面角为，故选：C.19．在三维空间中，三个非零向量满足，则是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形【答案】A【分析】根据已知条件推出，得为锐角．同理可得也为锐角．由此可得答案.【详解】因为，所以，，所以，即知为锐角．同理可知也为锐角．故是锐角三角形．故选：A．20．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（

）A． B．133 C． D．61【答案】A【分析】利用空间向量的数量积运算、把空间向量的模转化为向量的数量积运算求解问题即可．【详解】因为，，，所以故选：A．21．（多选）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据空间向量基本定理、空间向量模的公式，结合空间向量数量积运算性质逐一判断即可.【详解】因为，，所以，，所以故A错误；因为，，，所以，所以，故B正确；因为，所以，故C错误；因为，，所以因为，所以，，所以，所以，故D正确.故选：BD.22．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________.【答案】【分析】设,由可得，又，得，利用数量积的运算律可得.【详解】正三棱锥中，设,且侧棱长相等，因为，所以，又，所以，即，解得，即的余弦值为.故答案为：23．已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________．【答案】【分析】先利用空间向量的数量积运算性质求得，，关于的表达式，再由两向量夹角为钝角得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】因为，所以，，，故，，，因为向量与的夹角为钝角，所以，即，则，解得，即.故答案为：.24．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=8cm.则这个二面角的余弦值为_____________.【答案】【分析】根据空间向量数量积的运算律求解.【详解】∵，∴，设二面角为，则，由题意可得：，则，故，整理得，即这个二面角的余弦值为.故答案为：.题型三 利用数量积证明空间垂直关系25．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.【详解】设，则，，，，设，，所以，解得，故选：B26．在平行六面体中，，，，，则（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】结合空间向量的数量积的定义及运算律求出和，进而结合余弦定理即可求出结果.【详解】因为，则，即，,则，即，则故选：C.27．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.(1)求证：共面；(2)当为何值时，.【答案】(1)证明见解析(2)时，【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何表示可得，进而即得；（2）设，然后利用表示出，再利用向量的夹角公式可得答案.【详解】（1）在平行六面体中，连接，因为，所以，，所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面；（2）当时，，理由如下，设，且与、与、与的夹角均为，因为底面为菱形，所以，，，若，则，即，即，解得或舍去，即时，.28．（多选）已知四边形为矩形，平面，连接，，，，，则下列各组向量中，数量积一定为零的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】BCD【分析】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直，据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案．【详解】解：对于A：与不一定垂直，即向量、不一定垂直，则向量、的数量积不一定为，对于B：根据题意，有平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为，对于C：根据题意，有平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为，对于D：根据题意，有平面，平面，所以，即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为，故选：BCD．29．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，M为BC中点，△AMD是（

）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定【答案】C【分析】可画出图形，根据条件得出，从而可进行数量积的运算求出，进而得出，从而判断出的形状．【详解】解：如图，根据条件：；；为直角三角形．故选：C．30．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点.(1)用表示，并求出；(2)求证：.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）由向量加法的三角形法则表示，再把平方即可得到答案.（2）用表示，然后证明.【详解】（1）因为点是的重心，所以因为点是线段的中点，所以.因为正四面体的棱长为，所以,所以，所以.（2），所以.31．已知空间四边形ABCD中，，，判断AD与BC的位置关系.【答案】.【分析】选取一组基底，设，，，按照空间向量运算即可确定AD与BC的位置关系.【详解】解：选取一组基底，设，，，∵，∴，即，同理，∴，∴，∴，即.32．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，.(1)用向量表示向量；(2)求证.【答案】(1)(2)证明见解析.【分析】（1）通过空间向量的加减和数乘运算，结合图形即可得到答案；（2）通过空间向量数量积的运算即可证明.【详解】（1）根据题意，.（2）根据题意，相互之间的夹角为，且模均为1，由（1），所以.33．在正方体中，P为上任意一点，则DP与的位置关系是______．【答案】垂直【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算以及数量积，即可求解.【详解】由题意，得，所以，即．故答案为：垂直.34．已知空间有A，B，C，D四个点，满足，空间中还有四点，满足，求证：．【答案】证明见解析.【分析】利用空间向量的数量积可证明.【详解】根据题意，有，根锯余弦定理，有，从而，故即，，.命题得证．题型四 用数量积求两点之间的距离35．如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】空间向量，平方求模长即可求解.【详解】由，两边平方得：.所以.故选：A.36．二面角的平面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，，且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（

）A． B．C． D．2【答案】D【分析】利用二面角、空间向量的数量积运算、空间向量的模、夹角与距离求解问题【详解】∵二面角的平面角为60°，是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，，，，，，故选：D.37．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则线段的长度为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量线性运算可得，利用向量数量积的定义和运算律可求得，进而得到的长度.【详解】，，，即线段的长度为.故选：D.38．如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二面角的定义可得出，由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得，即为所求.【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，，又因为二面角的大小为，即，则，因为，由图易知，，所以，.故选：C.39．如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为______.

【答案】1【分析】根据空间向量的数量积运算律求解即可.【详解】由题可得,，,所以,且,因为,所以，所以，故答案为:1.40．在平行六面体中，，，，，则的长为_______．【答案】【分析】