人教A版新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(四种常考题型)(原卷版+解析)

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（四种常考题型）知识点1空间中点、直线和平面的向量表示1．空间直线的向量表示设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点,(1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使.(2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使2．空间平面的向量表示①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．知识点2平面的法向量1．平面法向量的定义如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合2．平面法向量的求法平面法向量的确定通常有两种方法:(1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可.(2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系).知识点3空间平行关系的向量表示设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量．线线平行使得注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合证明线线平行的两种思路：①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明;②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示．线面平行注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内；（1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直．（2）特别强调直线在平面外．面面平行使得注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合（1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行．（2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．知识点4空间垂直关系的向量表示设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量．线线垂直(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直．(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.线面垂直使得（1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论．（2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论．（3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论．面面垂直(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直题型一 根据方向向量确定两直线的位置关系1．已知直线的一个方向向量为，另一个方向向量为，则________，________.2．设两条异面直线、的方向向量分别为，，则与所成的角为（

）A． B． C． D．3．已知向量分别是直线，的方向向量，若，则（

）A．8 B．20 C． D．4．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（

）A．0 B．1 C．2 D．35．设直线，的方向向量分别为，，若，则等于（

）A．－2 B．2 C．－10 D．106．已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则（

）A．， B．，C．， D．，7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量．8．（多选）已知直线、的方向向量分别是，若且，则的值可以是（

）A．－3 B．－1 C．1 D．39．如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，设，，，以为空间的一个基底，求直线EF的一个方向向量.题型二 求平面的法向量10．如图，在长方体中，，，点在棱上移动．平面一个法向量为__________.11．已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（

）A． B． C． D．12．设平面的一个法向量为，点在平面内，是内任意一点，则满足的关系式为________.13．空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（

）．A． B． C． D．14．已知四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD的一个法向量．15．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.

16．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为______17．已知，则平面的一个单位法向量是（

）A． B．C． D．18．已知.(1)写出直线的一个方向向量；(2)设平面经过点，且是的一个法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式.19．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（）A． B． C． D．20．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：平面BHD的一个法向量___________；题型三 利用空间向量解决平行问题21．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则________.22．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则实数的值为（

）A． B．C． D．23．已知直线l在平面外，直线l的方向向量是，平面的法向量是，则l与的位置关系是___________（填“平行”或“相交”）24．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：．

25．如图，正方体中，E、F分别是、上的点，并且．求证：B、E、、F共面．

26．（多选）在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面的中心，则（

）A．直线平面B．直线平面C．三棱锥的体积为D．三棱锥的外接球表面积27．（多选）如图，在正方体中，，，，均是所在棱的中点，则下列说法正确的是（

）

A． B．平面C．平面平面 D．28．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC．29．如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（

）A． B． C． D．130．如图，从所在平面外一点O作向量，，，.求证：(1)，，，四点共面；(2)平面平面.31．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点.分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz.

(1)求点E、F的坐标；(2)求证：EF∥平面ACD1.题型四 利用空间向量解决垂直问题32．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线l与平面垂直，则实数x的值为（

）A． B． C． D．1033．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量.若，则实数a，b的值是（

）A．a=1，b=7 B．a=5，b=1 C．a=-5，b=1 D．a=5，b=-134．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，等于（

）A． B．1 C．2 D．335．设，分别是平面，的法向量，直线的方向向量为，以下结论错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或，重合36．若平面的法向量分别为，则的位置关系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合37．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则＝（）A．﹣3 B．3 C．6 D．938．（多选）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（

）A．两条不重合直线的方向向量分别是，则B．直线的方向向量，平面的法向量是，则C．两个不同的平面的法向量分别是，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则39．如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点．(1)求证：平面．(2)若，线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．40．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，若.(1)求五面体ABCDEF的体积；(2)若M为EC的中点，求证：平面平面AMD.41．如图，在四棱锥中，平面，菱形的边长2，，．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)若点F，E分别在线段PB，PC上，且平面，求线段DE的长度．42．（多选）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（

）A．B．C．与为相交直线或异面直线D．在向量上的投影向量为

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（四种常考题型）知识点1空间中点、直线和平面的向量表示1．空间直线的向量表示设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点,(1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使.(2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使2．空间平面的向量表示①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．知识点2平面的法向量1．平面法向量的定义如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合2．平面法向量的求法平面法向量的确定通常有两种方法:(1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可.(2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系).知识点3空间平行关系的向量表示设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量．线线平行使得注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合证明线线平行的两种思路：①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明;②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示．线面平行注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内；（1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直．（2）特别强调直线在平面外．面面平行使得注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合（1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行．（2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．知识点4空间垂直关系的向量表示设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量．线线垂直(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直．(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.线面垂直使得（1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论．（2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论．（3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论．面面垂直(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直题型一 根据方向向量确定两直线的位置关系1．已知直线的一个方向向量为，另一个方向向量为，则________，________.【答案】－2012【分析】由直线的方向向量平行的性质即可求解.【详解】∵直线的方向向量平行，∴，∴，故答案为：；.2．设两条异面直线、的方向向量分别为，，则与所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空间向量法可求得与所成的角的大小.【详解】因为两条异面直线、的方向向量分别为，，，所以与所成的角的余弦值为，所以，与所成的角为.故选：C.3．已知向量分别是直线，的方向向量，若，则（

）A．8 B．20 C． D．【答案】A【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解可得.【详解】因为，则存在实数使得，所以，即，解得，，，所以.故选：.4．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据求解即可.【详解】由题知：，因为，所以，解得，所以.故选：A5．设直线，的方向向量分别为，，若，则等于（

）A．－2 B．2 C．－10 D．10【答案】C【分析】根据空间向量垂直的坐标表示可求出结果.【详解】因为，所以，，．故选：C6．已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由，则两直线的方向向量共线列式计算即可.【详解】由题意可得：，解得：，.故选：B.7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量．【答案】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据方向向量的定义可得．【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，则，，所以即为直线PC的一个方向向量.8．（多选）已知直线、的方向向量分别是，若且，则的值可以是（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】BC【分析】根据向量的垂直和模，列出方程，解方程可得答案.【详解】由得：，即，①由得：，②①②联立解得：，或故x+y的值可以是1或-1，故选：BC9．如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，设，，，以为空间的一个基底，求直线EF的一个方向向量.【答案】【分析】利用表示向量即可得答案.【详解】由图可得，又，，，则，即直线EF的一个方向向量为.题型二 求平面的法向量10．如图，在长方体中，，，点在棱上移动．平面一个法向量为__________.【答案】（答案不唯一，与共线的非零向量均可）【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解法向量.【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图的坐标系，则，设平面的法向量为，则，由，得，令得故答案为：11．已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由法向量的定义结合数量积运算确定，再判断选项.【详解】设是平面内的一点，则，所以，即，选项满足．故选：B12．设平面的一个法向量为，点在平面内，是内任意一点，则满足的关系式为________.【答案】【分析】由法向量垂直于平面，建立方程即可找出满足的关系式.【详解】因为，，所以，由，得，整理可得，故答案为：.13．空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据求平面的法向量，逐项分析判断即可.【详解】由题意可得：，设平面的法向量为，则，令，则，即.对A：若，由，可得：与不共线，故不是平面的法向量，A错误；对B：若，由，可得：与不共线，故不是平面的法向量，B错误；对C：若，则，即与共线，故是平面的法向量，C正确；对D：若，由，可得：与不共线，故不是平面的法向量，D错误；故选：C.14．已知四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD的一个法向量．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质进行求解即可.【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，，设平面SCD的一个法向量为，则有，是平面SCD的一个法向量．15．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.

【答案】（答案不唯一）【分析】利用求解平面的法向量的方法进行求解即可.【详解】因为正方体的棱长为3，，所以，，，则，，设是平面的法向量，则，，所以，取，则，，故，于是是平面的一个法向量（答案不唯一）．16．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为______【答案】6【分析】因为法向量定义，把转化为，可得k的值.【详解】因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，又因为，所以，可得，即得.故答案为：6.17．已知，则平面的一个单位法向量是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】待定系数法设平面的一个法向量为，由法向量的性质建立方程组解出分析即可.【详解】设平面的一个法向量为，又，由，即，又因为单位向量的模为1，所以B选项正确，故选：B.18．已知.(1)写出直线的一个方向向量；(2)设平面经过点，且是的一个法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式.【答案】(1)(2)2x－y－2z＋6＝0【分析】（1）由两点坐标即可求出结果；（2）利用平面法向量的性质即可求解.【详解】（1）因为，所以直线的一个方向向量为：.（2）因为平面经过且是平面内的任意一点，则有，又因为是平面的一个法向量，所以，从而，即，所以，整理可得，所以满足的关系式为：.19．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据面面平行判断出，法向量互相平行即可求解.【详解】若平面，则两个平面的法向量互相平行，所以平面的法向量为，所以当时，向量为，故选：A.20．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：平面BHD的一个法向量___________；【答案】（答案不唯一）【分析】利用向量法得出平面BHD的一个法向量.【详解】由题意可知，则,.设为平面BHD的一个法向量，则，不妨设，则.故平面BHD的一个法向量为.故答案为：（答案不唯一）题型三 利用空间向量解决平行问题21．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则________.【答案】【分析】利用两平面平行法向量的关系及向量共线定理即可求解.【详解】因为，所以，所以，即，所以，解得，所以.故答案为：.22．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则实数的值为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依题意可得，即可得到，从而得到方程，解得即可.【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则，即，即，解得.故选：C．23．已知直线l在平面外，直线l的方向向量是，平面的法向量是，则l与的位置关系是___________（填“平行”或“相交”）【答案】平行【分析】根据题意可得，进而可得结果.【详解】因为，则，且直线l在平面外，所以//.故答案为：平行.24．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：．

【答案】证明见详解【分析】建立空间直角坐标系，写出的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示证明即可.【详解】证明：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

因为正方体棱长为1，分别是的中点，所以，所以，所以，由，所以，即.25．如图，正方体中，E、F分别是、上的点，并且．求证：B、E、、F共面．

【答案】证明见解析【分析】根据正方体的性质以及已知，，.然后结合图象，即可得出，进而得出，即可得出结论.【详解】

如图，连结.根据正方体的性质可知，，，.又因为，所以，.因为，显然不共线，所以，所以，B、E、、F共面．26．（多选）在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面的中心，则（

）A．直线平面B．直线平面C．三棱锥的体积为D．三棱锥的外接球表面积【答案】BCD【分析】建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，得出各直线的方向向量和平面的法向量，求出相应三棱锥的体积和外接球的表面积，即可得出结论.【详解】由题意，在正方体中，棱长为2，P，E，F分别为棱，，BC的中点，为侧面的中心，建立空间直角坐标系如下图所示，

则,,A项，

，设面的法向量为，则，即解得：，当时，，∵，∴直线与面不平行，A错误；B项，

设面的法向量为，则，即解得：，当时，，∵，∴直线与平面平行，B正确；C项，

，C正确；D项，

如图，三棱锥恰好在长方体上，且为体对角线，

∴为三棱锥外接球的直径，由几何知识得，∴三棱锥的外接球表面积为，D正确；故选：BCD.27．（多选）如图，在正方体中，，，，均是所在棱的中点，则下列说法正确的是（

）

A． B．平面C．平面平面 D．【答案】ABC【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线的方向向量和平面和平面的法向量，利用空间直线的方向向量与平面的法向量的关系即可求解.【详解】依题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示

不妨设正方体的棱长为，则所以，所以，即，亦即，故A正确；所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以，所以，即，又平面，所以平面，故B正确；所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以，所以，即，所以平面平面，故C正确；所以,所以和不平行，故D错误.故选：ABC.28．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC．【答案】证明过程见详解【分析】根据题意得到AB，AP，AD两两垂直，从而以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，并确定A，B，C，D，P，E，F，G的坐标，求得，，，，从而即可确定平面EFG的法向量，平面PBC的法向量，进而即可证明平面EFG∥平面PBC．【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．所以，，，，设是平面EFG的法向量，则，，即，得，令，则，，所以，设是平面PBC的法向量，由，，即，得，令，则，，所以，所以，所以平面EFG∥平面PBC．29．如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】如图所示，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面EFC的一个法向量为，设，得，根据平面EFC，即可求解.【详解】如图所示，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意可得,，则,所以，设平面EFC的法向量为，则，解得，令，则，所以平面EFC的一个法向量为.因为平面EFC，则，设，则，所以，解得，所以，即.故选：C30．如图，从所在平面外一点O作向量，，，.求证：(1)，，，四点共面；(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用共面向量定理证明，由可得四点共面；（2）利用共线向量定理，可得：，，从而利用面面平行的判定定理即可证明.【详解】（1）证明：因为从所在平面外一点O作向量，，，，所以，所以，故，，，四点共面，证毕.（2）证明：，从而，∵平面，平面，∴平面，由（1）知，∵平面，平面，∴平面，因为，平面，所以平面平面.31．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点.分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz.

(1)求点E、F的坐标；(2)求证：EF∥平面ACD1.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据坐标系，利用坐标的定义，可得结论；（2）求出、的坐标，可得，从而可得线线平行，即可得到线面平行．【详解】（1）由题意，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点，∴，（2），，，，∴，∴AC∥EF，∵EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，∴EF∥平面ACD1．题型四 利用空间向量解决垂直问题32．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线l与平面垂直，则实数x的值为（

）A． B． C． D．10【答案】A【分析】由题意得，利用空间向量的坐标运算计算即可．【详解】由题意得，则，即，解得.故选：A.33．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量.若，则实数a，b的值是（

）A．a=1，b=7 B．a=5，b=1 C．a=-5，b=1 D．a=5，b=-1【答案】D【分析】根据给定条件，可得，再利用共线向量列式求解作答.【详解】依题意，，而，，于是，即，解得，所以.故选：D34．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，等于（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】建系，根据题意结合空间向量垂直的坐标运算求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则，设，则，因为BF⊥PE，则，解得，即，可知F是AD的中点，故.故选：B.35．设，分别是平面，的法向量，直线的方向向量为，以下结论错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或，重合【答案】B【分析】根据空间向量证明面面垂直、线面平行、线面平行和面面平行方法判断选项即可.【详解】A项，若，由法向量的性质知，法向量垂直，平面垂直，故A正确；B项，若，可知与平面平行或在平面内，故B错误；C项，若，由法向量的性质知，该向量垂直于平面，故C正确；D项，若，可从题目，分别是平面，的法向量知，法向量平行，所以平面平行或重合，故D正确.故选：B36．若平面的法向量分别为，则的位置关系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合【答案】C【分析】判断法向量是否垂直，平行，即可判断选项.【详解】，所以平面不垂直，且，所以平面不平行，所以平面相交但不垂直.故选：C.37．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则＝（）A．﹣3 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】根据线面垂直的向量表示即可求解.【详解】因为，所以，解得，所以.故选：B38．（多选）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（

）A．两条不重合直线的方向向量分别是，则B．直线的方向向量，平面的法向量是，则C．两个不同的平面的法向量分别是，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则【答案】AC【分析】根据条件，利用方向向量､法向量的定义与性质，结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．【详解】解：对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，则，所以，即，故正确；对于，两个不同的平面，的法向量分别是，则，所以，故正确；对于，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，即或，故错误；对于，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，即，故错误．故选：．39．如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点．(1)求证：平面．(2)若，线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析.【分析】（1）连结交于点，可知.然后根据线面平行的判定定理，即可得出平面；（2）先证明平面．以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，设，求出点的坐标，然后得到.求出平面的法向量，根据得出的值，根据数乘向量的模，即可得出答案.【详解】（1）如图1，连结交于点.因为是正方形，所以是的中点，又是的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）存在，理由如下：因为平面，平面，所以．因为为正方形，所以．又，平面，平面，所以平面．以点为坐标原点，过点作的平行线为轴