人教A版新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习3.1.2椭圆的简单几何性质(八种常考题型)(原卷版+解析)

3.1.2椭圆的简单几何性质（八种常考题型）知识点一椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程图形对称性对称轴x轴和y轴,对称中心范围顶点轴长长轴长,短轴长焦点焦距离心率注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度．由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时,,两焦点重合,图形变为圆,方程为知识点二直线与椭圆的位置关系1．直线与椭圆的三种位置关系类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示．2．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系设直线方程为,椭圆方程为,由方程组消去一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论：直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交；直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切；直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离．3．弦长问题设直线交椭圆于点两点,则同理可得可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形：题型一 椭圆几何性质的简单应用1．椭圆的焦点坐标为（

）A． B．C． D．2．椭圆的内接正方形的周长为__________．3．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为___________.4．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标，并以矩形为参照画出椭圆的图形：(1)；(2).5．椭圆的焦距为______.6．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（

）A． B．3 C．4 D．7．椭圆的长轴长为______，短轴长为______，焦点坐标为______，顶点坐标为______．题型二 由椭圆的几何性质求标准方程8．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（

）A． B．C．或 D．9．已知椭圆的离心率，则的值为（

）A．3 B．或C． D．3或10．已知椭圆的焦距为4，离心率，则椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．11．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（

）．A． B．C． D．12．与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的方程是（

）A． B． C． D．13．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是（

）A． B． C． D．14．已知椭圆，椭圆，椭圆，则（

）A．M与N的离心率相等，M与P的焦距相等B．M与N的离心率相等，N与P的焦距相等C．M与N的焦距相等，M与P的短轴长相等D．M与N的焦距相等，M与P的离心率相等题型三 求椭圆的离心率15．已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．16．已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．17．已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．18．已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．19．已知椭圆的左､在顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（

）A． B． C． D．20．已知是等边三角形，、分别是边和的中点.若椭圆以、为焦点，且经过、，则椭圆的离心率等于________.21．已知，为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，，则C的离心率为____.22．已知是椭圆：的右焦点，过作直线的垂线，垂足为，，则该椭圆的离心率为________.23．椭圆：的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为________；题型四 直线与椭圆的位置关系24．直线与椭圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定25．直线与椭圆的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定26．已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定27．若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（

）A．0或1 B．2 C．1 D．0或1或228．已知，则直线与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能29．若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（

）A．0或1 B．2 C．1 D．030．直线和曲线的位置关系为_____.31．已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数.题型五 弦长问题32．已知直线与椭圆交于M、N两点，且.求直线的方程．33．通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（

）A． B．3 C． D．634．过椭圆的左焦点F引斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，则等于________．35．已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点.求弦MN的长.36．已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点，(1)求椭圆的方程；(2)椭圆左焦点为，求的面积.37．已知直线和椭圆，为何值时，直线被椭圆所截的弦长为．38．椭圆的标准方程，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，当时，求直线的斜率．39．已知动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数．(1)求点的轨迹；(2)点为轨迹与轴正半轴交点，过点的直线交轨迹于、两点，且弦的长为，求直线的方程．题型六 中点弦问题40．已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．41．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（

）A． B．C． D．42．若椭圆的弦的中点为，则弦的长为（）A． B．C． D．43．已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．44．已知过点的直线，与椭圆相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是___________________.45．已知焦点在轴上的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则正数________.46．在椭圆内有一点，过点A的直线l的斜率为－1，且与椭圆交于B，C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆的方程．题型七 椭圆中的最值问题47．若点在椭圆上，则的最小值为（）A．1 B．C． D．以上都不对48．、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的一条准线，点在上，的最大值是（

）A． B． C． D．49．设点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．550．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（

）A． B． C． D．51．设点A为椭圆上的动点，点B为椭圆的上顶点，若的最大值为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．52．已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．53．已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为______．54．在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，则的最大值为______.题型八 椭圆的实际应用55．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．56．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（

）A． B． C． D．57．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（

）A． B． C． D．58．开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（

）A．39 B．52 C．86 D．9759．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人连地球卫星“东方红一号”，从此我国开向了人造卫层的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普物行星运动定律；卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，如图建系，设椭圆道的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c，下列结论正确的是（

）A．卫星向径的最大值为2aB．卫星向径的最小值为2bC．卫星绕行一周时在第三象阻内运动的时间小于在第四象限内运动的时间D．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆60．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，，则截口所在椭圆的离心率为______.61．某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数）（2）如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长.

3.1.2椭圆的简单几何性质（八种常考题型）知识点一椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程图形对称性对称轴x轴和y轴,对称中心范围顶点轴长长轴长,短轴长焦点焦距离心率注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度．由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时,,两焦点重合,图形变为圆,方程为知识点二直线与椭圆的位置关系1．直线与椭圆的三种位置关系类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示．2．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系设直线方程为,椭圆方程为,由方程组消去一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论：直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交；直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切；直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离．3．弦长问题设直线交椭圆于点两点,则同理可得可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形：题型一 椭圆几何性质的简单应用1．椭圆的焦点坐标为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据椭圆中的关系即可求解.【详解】由于，所以椭圆的焦点在轴上，且，故焦点为，故选：D2．椭圆的内接正方形的周长为__________．【答案】/19.2【分析】根据椭圆以及正方形的对称性可设一个顶点为，代入椭圆方程即可求解，进而可求周长.【详解】根据椭圆和正方形的对称性，不妨设椭圆的内接正方形在第一象限的一个顶点为，则，所以周长为，故答案为：

3．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为___________.【答案】或【分析】根据题意，分类讨论和两种情况，结合椭圆方程的性质与离心率公式求解即可.【详解】因为椭圆的离心率为，易知，当时，椭圆焦点在轴上，，，所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为.当时，椭圆焦点在轴上，，，所以，得，满足题意，此时，所以椭圆的长轴长为.故答案为：或.4．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标，并以矩形为参照画出椭圆的图形：(1)；(2).【答案】(1)答案见解析，作图见解析(2)答案见解析，作图见解析【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，求出、、的值，可写出椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标，并作出椭圆的图象；（2）将椭圆方程化为标准方程，求出、、的值，可写出椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标，并作出椭圆的图象.(1)解：椭圆的标准方程为，，，，该椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，焦点坐标为、，顶点坐标为、、、，作出椭圆的图象如下图所示：(2)解：椭圆的标准方程为，则，，，该椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，焦点坐标为、，顶点坐标为、、、，作出椭圆的图象如下图所示：5．椭圆的焦距为______.【答案】【分析】根据题意，将方程化为标准式，然后得到从而得到，即可得到结果.【详解】因为椭圆，即，所以，即，所以焦距为.故答案为：6．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（

）A． B．3 C．4 D．【答案】D【分析】由方程得出的坐标，再由距离公式求解即可【详解】因为椭圆的左顶点为A，上顶点为B，所以，，所以．故选：D7．椭圆的长轴长为______，短轴长为______，焦点坐标为______，顶点坐标为______．【答案】10，【分析】将椭圆方程化为标准方程即可得到，进而可求长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.【详解】由题意知：椭圆标准方程为，∴，即长轴长为10，短轴长为，焦点坐标，顶点坐标，.故答案为：10；；；，.题型二 由椭圆的几何性质求标准方程8．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】根据长轴长以及离心率，可求出，，再由，进而可求出结果.【详解】由题意知，，，所以，，∴，又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在或轴上.∴椭圆方程：或故选：C9．已知椭圆的离心率，则的值为（

）A．3 B．或C． D．3或【答案】D【分析】根据题意讨论焦点所在位置，分析运算即可.【详解】当焦点在轴上，即时，则，可得，解得；同理当焦点在轴，即时，则，可得，解得；故选：D.10．已知椭圆的焦距为4，离心率，则椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题知，，进而结合求解即可得答案.【详解】解：因为焦距为，即，所以，又因为，所以，所以椭圆的标准方程为：．故选：D11．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】首先将方程化为标准式，即可求出焦点坐标，设所求椭圆方程为，由焦点的坐标和点在椭圆上建立关于、的方程组，解之即可得到、的值，从而得到所求椭圆的方程．【详解】解：因为椭圆，即，，，可得，椭圆的焦点为，设椭圆方程是，则，解得所求椭圆的方程为.故选：A．12．与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据共焦点，设出椭圆方程，代入点的坐标，求出.【详解】椭圆方程化为标准形式，设要求解的椭圆方程为：，将点代入得，解得：，所以，C正确.故选：C13．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，设椭圆方程为，且，将点代入即可求解.【详解】解：椭圆化成标准形式为，焦点坐标为：，，，所求椭圆的焦点与椭圆有相同的焦点，设椭圆方程为，且，由题意得：解得：，，所求椭圆的标准方程为.故选：A14．已知椭圆，椭圆，椭圆，则（

）A．M与N的离心率相等，M与P的焦距相等B．M与N的离心率相等，N与P的焦距相等C．M与N的焦距相等，M与P的短轴长相等D．M与N的焦距相等，M与P的离心率相等【答案】D【解析】根据椭圆的定义以及离心率的公式，即可求解.【详解】解：，M与N的焦距相等；，M与P的离心率相等．故选：D.题型三 求椭圆的离心率15．已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据椭圆的定义求出，再利用勾股定理构造齐次式即可得解.【详解】如图，设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，所以，由，得，又，所以，在中，由，得，即，所以，即的离心率为.故选：A.

16．已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】应用余弦定理结合椭圆的定义求离心率即可.【详解】在中，，设，由题意知,，由余弦定理得,，由椭圆定义知，则离心率.故选:C.17．已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先联立直线方程与椭圆方程，求出，的坐标，再通过得，从而建立方程，再化归转化，即可求解．【详解】根据对称性不妨设在第二象限，在第一象限，联立，可解得，，，又，，，又，，，，，，，又，该椭圆的离心率．故选：C．18．已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义结合题意可得出，再由余弦定理求解即可得出答案.【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为平行四边形．设，则．因为，所以，又因为，所以，所以．在中，，由余弦定理得，所以，所以．故选：B.

19．已知椭圆的左､在顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆方程得到以为直径的圆的半径和圆心坐标，再由该圆与直线相切，得到，进而可求出椭圆的离心率.【详解】因为椭圆C：的左､右顶点分别为，，因此以为直径的圆的半径为，圆心坐标为，又该圆与直线相切，如图，

所以圆心到直线的距离等于半径，即，则，因此，即，所以离心率为.故选：C.20．已知是等边三角形，、分别是边和的中点.若椭圆以、为焦点，且经过、，则椭圆的离心率等于________.【答案】【分析】如图建立平面直角坐标系，设的边长为，即可求出、、，从而求出、，即可求出离心率.【详解】如图建立平面直角坐标系，因为是等边三角形，、分别是边和的中点，所以，设的边长为，则，即，，，又，所以，所以椭圆的离心率.故答案为：21．已知，为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，，则C的离心率为____.【答案】【分析】先利用题给条件列出关于的齐次方程，解之即可求得椭圆C的离心率.【详解】因为，，所以，.由及椭圆的对称性可知，四边形为矩形，所以，则，化简得，则椭圆C的离心率.故答案为：22．已知是椭圆：的右焦点，过作直线的垂线，垂足为，，则该椭圆的离心率为________.【答案】【分析】通过焦点到直线的距离建立a,b,c关系，解方程即可求解.【详解】由题知，，且，即，∴，∴，∴，∴.故答案为：

23．椭圆：的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为________；【答案】【分析】由题可得，设.由直线AP，AQ的斜率之积为，则，后由可得，即可得答案.【详解】由题可得，设.则，又，则.则.故答案为：题型四 直线与椭圆的位置关系24．直线与椭圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】B【分析】根据椭圆的方程求得短轴的右顶点为，进而得到直线与椭圆的位置关系.【详解】由椭圆的方程，可得，即椭圆的短轴的右顶点为，所以直线与椭圆相切.故选：B.25．直线与椭圆的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】C【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可.【详解】联立，则所以方程有两个不相等的实数根，所以直线与椭圆相交故选：C.26．已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】C【分析】联立直线和椭圆方程，根据所得到的方程的解的个数来判断直线和椭圆的位置关系.【详解】联立，消去，整理得到，该方程判别式，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离.故选：C27．若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（

）A．0或1 B．2 C．1 D．0或1或2【答案】B【分析】由直线与圆的位置关系，可得不等式，根据点与椭圆的位置，可得答案.【详解】由，可知圆心，半径为，由题意，则，即，由，则点在椭圆内，于是过点的直线与椭圆必有两个交点.故选：B.28．已知，则直线与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能【答案】A【分析】结合题意得直线过定点，再结合点在椭圆内部即可判断.【详解】解：因为，所以直线可化为，所以，直线过定点，因为点在椭圆内部，所以，直线与椭圆的位置关系是相交.故选：A29．若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（

）A．0或1 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】由直线与圆相离得到点位置后判断【详解】由题意，得，故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆内部，过点的直线与该椭圆必有2个交点．故选：B30．直线和曲线的位置关系为_____.【答案】相交【分析】根据直线过点且在椭圆内部可得出结论.【详解】曲线为：可得直线恒过，由知定点在椭圆内部，所以直线与椭圆的位置关系为相交.故答案为：相交.31．已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由椭圆短轴长、离心率、可得答案；（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理判断可得答案.【详解】（1）由题意椭圆的短轴长为，离心率为，可知，，解得，所求椭圆的方程为；（2）由可得，，当即时，直线与椭圆相切，只有一个公共点；当即时，直线与椭圆相交，有两个公共点；当即或时，直线与椭圆相离，无公共点；综上所述，当时，直线与椭圆只有一个公共点；当时，直线与椭圆有两个公共点；当或时，直线与椭圆无公共点.题型五 弦长问题32．已知直线与椭圆交于M、N两点，且.求直线的方程．【答案】或.【分析】设，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式可以求出.【详解】设，由消去y并化简得，所以,由，得，所以，所以，即，化简得，所以，所以.故直线方程为或.33．通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（

）A． B．3 C． D．6【答案】B【分析】根据椭圆方程写出一条过焦点且垂直于x轴的直线，代入椭圆方程求交点纵坐标，即可得弦长.【详解】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线，代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于.故选：B34．过椭圆的左焦点F引斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，则等于________．【答案】【分析】求出直线方程，联立直线与椭圆，由根与系数的关系，利用弦长公式求解.【详解】由得＝1，，，直线l的方程为．由得.设，则，，.故答案为：35．已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点.求弦MN的长.【答案】【分析】根据定点坐标得到值，再根据离心率和关系即可求出，最后联立直线方程解出交点横坐标，最后利用弦长公式即可得到答案.【详解】由已知得，且，即，所以，即，解得，所以椭圆方程为.将与联立，消去得，所以，所以所求弦长.

36．已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点，(1)求椭圆的方程；(2)椭圆左焦点为，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用离心率以及距离之和即可求解，得到椭圆方程.（2）联立直线与椭圆的方程，得到交点坐标，计算弦长结合点到直线的距离公式即可求解面积.【详解】（1）由已知有，解得，则椭圆的方程为.（2）消去，整理得，解得，，如图

则，，则，直线的方程为，到直线的距离.所以的面积为.37．已知直线和椭圆，为何值时，直线被椭圆所截的弦长为．【答案】【分析】联立直线与椭圆的方程，消去，写出韦达定理，利用弦长公式列方程，解出．【详解】设直线与椭圆交于两点，联立，可得，，解得，，，弦长，解得，故时，直线被椭圆所截的弦长为．38．椭圆的标准方程，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，当时，求直线的斜率．【答案】【分析】当斜率不存在时可直接得直线方程，联立可得不成立，当直线斜率存在时，联立方程组，结合韦达定理及弦长公式可得解.【详解】由已知得，当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，由，有，显然不满足；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，则，有，则，，由弦长公式有：，解得，所以直线的斜率为.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．39．已知动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数．(1)求点的轨迹；(2)点为轨迹与轴正半轴交点，过点的直线交轨迹于、两点，且弦的长为，求直线的方程．【答案】(1)(2)直线的方程为或【分析】（1）由题意得，点到直线的距离，可得，化简即可得出答案；（2）由（1）的轨迹，则，结合题意可设直线的方程为，联立直线与轨迹可得，求出，利用两点之间距离列出关于的方程，求解即可得出答案．【详解】（1）解：由题意得，点到直线的距离，则，整理得，故点的轨迹；（2）解：由（1）的轨迹，则，弦的长为，故直线不垂直轴，即斜率存在，设直线的方程为，联立，整理得，解得或，点的横坐标为，则点的纵坐标为，，即，，解得，直线的方程为或．题型六 中点弦问题40．已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】椭圆的中点弦问题，利用点差法构造弦中点坐标与的关系，计算离心率即可.【详解】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是，则，，直线的斜率.由，得，，，故椭圆的离心率.故选：B.41．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用点差法结合焦点坐标可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程.【详解】设点、，则，可得，且，①记线段的中点为，若与坐标轴垂直，则的中点在坐标轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在且不为零，因为，作差可得，即，所以，，②联立①②可得，，因此，椭圆的方程为.故选：C.42．若椭圆的弦的中点为，则弦的长为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用中点弦的“平方差法”求得弦的斜率，得出的直线方程，联立方程组，结合弦长公式，即可求解.【详解】设，因为弦的中点为，可得，又因为在椭圆上，可得，两式相减可得，可得，即直线的斜率为，所以弦的直线方程为，即，联立方程组，整理得，可得，由弦长公式，可得.故选：A.43．已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用中点弦问题求出，再求出椭圆的离心率作答.【详解】依题意，直线的斜率为，设，则，且，由两式相减得：，于是，解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，所以椭圆的离心率.故选：A44．已知过点的直线，与椭圆相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是___________________.【答案】【分析】用点差法即可求出直线的斜率，再用点斜式即可求出直线的方程.【详解】设，，根据中点坐标公式，，，且，，两式相减，化简可得，所以，即直线的斜率为，根据点斜式，得到直线的方程为，即.故答案为：45．已知焦点在轴上的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则正数________.【答案】【分析】将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去得到关于的方程，再根据根与系数的关系求得的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出即可．【详解】由题意焦点在轴上的椭圆，把直线方程代入椭圆方程整理得．设弦的两个端点为,，,，则由根与系数的关系可得，，椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，由中点坐标公式可得，，，可得，．故答案为：．46．在椭圆内有一点，过点A的直线l的斜率为－1，且与椭圆交于B，C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆的方程．【答案】【分析】将，两点代入椭圆方程，两式相减，根据点差法求得的值，得到椭圆方程.【详解】设过A点的直线l与椭圆交于，，如图所示．所以,

两式相减得,∴.∵A为的中点,∴,，即.由题意:,所以,即.∴所求椭圆方程为.题型七 椭圆中的最值问题47．若点在椭圆上，则的最小值为（）A．1 B．C． D．以上都不对【答案】C【分析】的几何意义是椭圆上的点与定点连线的斜率，求出过点与椭圆相切时的直线的斜率即可.【详解】的几何意义是椭圆上的点与定点连线的斜率，椭圆化为标准方程为，由图可知，直线与椭圆相切时取得最值，设直线，代入椭圆方程消去得，令，解得，所以，即的最小值为.

故选：C.48．、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的一条准线，点在上，的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用椭圆方程求出椭圆的焦点坐标及准线方程，然后利用两角差正切公式求出最值，结合正切函数的单调性即可求出.【详解】由题意，椭圆中，，，、是椭圆的左、右焦点，，不妨取是椭圆的右准线，则方程为：，又点在上，不妨取，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，，，，，当且仅当，即时等号成立，，正切函数在上单调增，，的最大值为，即的最大值是.故选：B.49．设点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．5【答案】C【分析】设动点，将问题转化为求椭圆上的动点A到圆心的距离的最大值加圆的半径1求解．【详解】解：设动点，则，所以，则，当时，等号成立．即，所以，故选：C．50．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，确定，根据二次函数性质得到最值.【详解】，设，则，，当时，最大为.故选：B51．设点A为椭圆上的动点，点B为椭圆的上顶点，若的最大值为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设动点，则，利用二次函数的性质求最大值，由的最大值为，求出即可.【详解】由椭圆方程得，设动点，则，所以，则，令，对称轴为．①若，即时，在上单调递减，则，故舍去；②若，即，在上单调递增，在上单调递减，则，解得，故选:C．52．已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用椭圆的性质直接对原式进行减少变量处理，得到，看成以为变量的函数的最值问题，可利用换元法求解.【详解】，因为∴．设，则∴当，即时，取最大值，此时离心率.故选：C53．已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为______．【答案】【分析】求出直线AB的方程为，设与AB平行且与椭圆相切的直线为，联立椭圆方程，利用判别式可求得t的值，再根据平行线间的距离公式即可求得答案.【详解】由椭圆，可得，故直线AB的方程为，与AB平行且与椭圆相切的直线可设为，代入椭圆方程整理，得，则，解得，当时，与之间的距离为；当时，与间的距离为，故椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为，故答案为：54．在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，则的最大值为______.【答案】【分析】由题可设，再利用三角函数的辅助角公式即可求出的最值.【详解】因为椭圆，所以可设，，则，当时，取得最大值为2.故答案为：.题型八 椭圆的实际应用55．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率.【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，设椭圆方程为，令，即，解得，依题意可得，所以，所以，所以．故选：D．56．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解.【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长.把代入椭圆方程可得：，所以当水位上升时，水面的宽度为，故选：.57．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用右焦点到右顶点的距离及椭圆的通经，结合椭圆中三者的关系及焦距的定义即可求解.【详解】由题设知，解得，所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为．故选：C.58．开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（

）A．39 B．52 C．86 D．97【答案