人教A版新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习3.2.2双曲线的简单几何性质(七种常考题型)(原卷版+解析)

3.2.2双曲线的简单几何性质（七种常考题型）知识点一双曲线的几何性质标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形性质焦点焦距范围,或或对称性关于坐标轴、原点对称顶点轴长实轴长2a,虚轴长2b离心率渐近线知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质：(1)方程形式为；(2)渐近线方程为,它们互相垂直；(3)离心率知识点三直线与双曲线的位置关系一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得.①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点；②当,即时,判别式直线与双曲线相交,有两个公共点；判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点；判别式直线与双曲线相离,没有公共点．题型一已知双曲线方程求其几何性质1．（多选）已知双曲线,则（

）A．的焦距为 B．的虚轴长是实轴长的倍C．双曲线与有相同的渐近线 D．点到的一条渐近线的距离为2．（多选）已知双曲线,则不因的变化而变化的是（

）A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率3．已知双曲线与双曲线,则两双曲线的（

）A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等4．（多选）下列关于双曲线的判断,正确的是（

）A．顶点坐标为 B．焦点坐标为C．实轴长为 D．渐近线方程为5．双曲线的虚轴长为__________.6．已知,则双曲线与的（

）A．实轴长相等 B．虚轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等7．（多选）已知点是双曲线上任意一点,,是的左、右焦点,则下列结论正确的是（

）A． B．的离心率为C． D．的渐近线方程为题型二由双曲线的几何性质求标准方程8．已知双曲线经过点,且与椭圆有相同的焦点,则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．9．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4,实轴长为6,则的方程为（

）A． B．C． D．10．试写出一个以为焦点的双曲线的标准方程：________．11．已知双曲线的实轴长为,离心率为2,则双曲线的标准方程为________12．若双曲线的渐近线的方程为,则______.13．若双曲线的一条渐近线与直线平行,则__________．14．求适合下列条件的双曲线的标准方程.（1）焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为；（2）过点(2,0),与双曲线离心率相等.15．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则等于__．题型三求双曲线的离心率16．已知双曲线的左、右焦点分别是,过的直线与双曲线的右支交于两点,若是等边三角形,则双曲线的离心率是（

）A．2 B． C． D．17．如图,已知是双曲线的左､右焦点,为双曲线上两点,满足,且,则双曲线的离心率为（

）

A． B． C． D．18．已知双曲线的右焦点为,点在双曲线上,且关于原点对称.若的面积为,则双曲线的离心率为__________.19．已知直线是双曲线（）的一条渐近线,则的离心率为______.20．设点F为双曲线的左焦点,经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A､B两点,AF的中点为P,BF的中点为Q.若,则双曲线C的离心率e的取值范围是______.22．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°,则的离心率为______．23．双曲线的两个焦点为,,以的实轴为直径的圆记为,过作圆的切线与的两支分别交于,两点（点、在点的两侧）,且,则的离心率为（

）A． B． C． D．题型四求双曲线的渐近线24．双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（

）A．2 B． C．3 D．425．双曲线的两条渐近线的夹角等于（

）A． B． C． D．26．已知双曲线C：的左、右焦点分别为,,P为C的右支上一点．若,则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．27．已知双曲线,为的左焦点.经过原点的直线与的左、右两支分别交于A,两点,且,,则的一条渐近线的倾斜角可以是（

）A． B． C． D．28．已知双曲线的左､右焦点分别为,过点作直线垂直于双曲线的一条渐近线,直线交双曲线于点,若,则双曲线的渐近线方程可能为（

）A． B．C． D．（多选）29．已知直线与离心率为的双曲线的一条渐近线平行,则所有可能取的值之和为______．30．双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为______.题型五弦长问题31．过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点,若,则这样的直线有（）A．一条 B．两条C．三条 D．四条32．已知双曲线：,若直线的倾斜角为60°,且与双曲线C的右支交于M,N两点,与x轴交于点P,若,则点P的坐标为________.33．已知双曲线C两条准线之间的距离为1,离心率为2,直线l经过C的右焦点,且与C相交于A、B两点.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直,求AB的长度.34．已知双曲线C的渐近线为,且过点．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,若OA与OB垂直,求a的值以及弦长．35．已知双曲线的实轴长为2,右焦点为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线与双曲线交于不同的两点,,求.36．已知双曲线的渐近线方程是,右顶点是.(1)求双曲线的离心率；(2)过点倾斜角为的直线与双曲线的另一交点是,若,求双曲线的方程.题型六中点弦问题38．设A,B为双曲线上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．39．已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为,直线l与C相交于A,B两点,若线段的中点为,则直线l的斜率为（

）A． B．1 C． D．240．过点的直线与双曲线相交于两点,若是线段的中点,则直线的方程是（

）A． B．C． D．41．不与轴重合的直线经过点,双曲线：上存在两点A,B关于对称,AB中点M的横坐标为,若,则的值为_________.42．已知双曲线的实轴长为4,离心率为,直线与交于两点,是线段的中点,为坐标原点．若点的横坐标为,则的取值范围为______．43．已知双曲线过点作一直线交双曲线于A、B两点,并使P为AB的中点,则直线AB的斜率为（）A．3 B．4C．5 D．6题型七双曲线的实际应用44．3D打印是快速成型技术的一种,通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒,该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该笔筒的上底直径为6cm,下底直径为8cm,高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算）,则笔筒最细处的直径为（

）A． B． C． D．45．如图所示,某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分,当拱顶M到水面的距离为4米时,水面宽AB为米,则当水面宽度为米时,拱顶M到水面的距离为（

）A．4米 B．米 C．米 D．米46．（多选）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,如图,利用了双曲线的光学性质：,是双曲线的左､右焦点,从发出的光线射在双曲线右支上一点,经点反射后,反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时,双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为,则下列结论正确的是（

）

A．射线所在直线的斜率为,则B．当时,C．当过点时,光线由到再到所经过的路程为13D．若点坐标为,直线与相切,则47．某市轨道交通s号线的线路示意图如图所示,已知M、N是东西方向主干道边两个景点,P、Q是南北方向主干道边两个景点,四个景点距离城市中心O均为km,线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km,线路BC段上的任意一点到O的距离都相等,线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求轨道交通s号线的线路示意图所在曲线的方程：(2)规划部门在设计s号线线路的一个站点G时,考虑到景点Q为客流量巨大的热门景点,为了最大程度便于轨道交通s号线的乘客到达景点Q,应该如何设置站点G的位置？49．已知两地相距800米,一炮弹在某处爆炸,在处听到爆炸声的时间比在处迟2秒,设声速为340米/秒.(1)爆炸点在什么曲线上？(2)求这条曲线的方程.

3.2.2双曲线的简单几何性质（七种常考题型）知识点一双曲线的几何性质标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形性质焦点焦距范围,或或对称性关于坐标轴、原点对称顶点轴长实轴长2a,虚轴长2b离心率渐近线知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质：(1)方程形式为；(2)渐近线方程为,它们互相垂直；(3)离心率知识点三直线与双曲线的位置关系一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得.①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点；②当,即时,判别式直线与双曲线相交,有两个公共点；判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点；判别式直线与双曲线相离,没有公共点．题型一已知双曲线方程求其几何性质1．（多选）已知双曲线,则（

）A．的焦距为 B．的虚轴长是实轴长的倍C．双曲线与有相同的渐近线 D．点到的一条渐近线的距离为【答案】BCD【分析】根据给定的双曲线方程,求出实半轴、虚半轴长,半焦距,再逐项判断作答.【详解】双曲线的实半轴、虚半轴长分别为,则半焦距,对于,的焦距为,A错误；对于B,的虚轴长,实轴长,则的虚轴长是实轴长的倍,B正确；对于C,双曲线的渐近线方程为,的渐近线方程为,C正确；对于D,由选项C知,点到直线的距离为,D正确；故选：BCD2．（多选）已知双曲线,则不因的变化而变化的是（

）A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率【答案】BD【分析】将双曲线方程整理为标准方程,写出顶点坐标,渐近线方程,焦距和离心率,,判断是否因改变而变化,即可得解.【详解】整理双曲线方程可得,所以,,,所以顶点坐标为或,A错误；渐近线方程为,B正确；该双曲线焦距为：,C错误；离心率为：,D正确；不因改变而变化的是离心率与渐近线方程.故选：BD.3．已知双曲线与双曲线,则两双曲线的（

）A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等【答案】D【分析】通过的范围,结合曲线,求解焦距,实半轴长,虚半轴长,判断选项即可．【详解】的实半轴的长为5,虚半轴的长为3,实数满足,曲线是双曲线,实半轴的长为,虚半轴的长为,显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等,所以A、B均不正确；焦距为：,焦距相等,所以D正确；离心率为：和,不相等,所以C不正确．故选：D．4．（多选）下列关于双曲线的判断,正确的是（

）A．顶点坐标为 B．焦点坐标为C．实轴长为 D．渐近线方程为【答案】ACD【分析】确定、、的值,利用双曲线的几何性质可判断各项的正误.【详解】对于双曲线,,,则,对于A选项,双曲线的顶点坐标为,A对；对于B选项,双曲线的焦点坐标为,B错；对于C选项,双曲线的实轴长为,C对；对于D选项,双曲线的渐近线方程为,即,D对.故选：ACD.5．双曲线的虚轴长为__________.【答案】【分析】根据题意,由双曲线的标准方程即可得到,即可得到结果.【详解】因为双曲线,则,即,即双曲线的虚轴长为.故答案为:.6．已知,则双曲线与的（

）A．实轴长相等 B．虚轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等【答案】D【分析】由双曲线方程求得对应的,进而判断选项是否正确.【详解】因为双曲线与,所以,因为,所以,所以,所以选项A,B错误；因为,所以,所以选项C错误；因为,所以选项D正确.故选：D.7．（多选）已知点是双曲线上任意一点,,是的左、右焦点,则下列结论正确的是（

）A． B．的离心率为C． D．的渐近线方程为【答案】AB【分析】根据方程可得的值,结合选项可得答案.【详解】在中,,,,,A正确；的离心率,B正确；由双曲线的定义或,C错误；的渐近线方程为,即,D错误.故选：AB．题型二由双曲线的几何性质求标准方程8．已知双曲线经过点,且与椭圆有相同的焦点,则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆方程可求出焦点,将代入双曲线,结合,解方程即可求解.【详解】椭圆焦点为,双曲线焦点为,且,将代入双曲线,得,又,解得,,故双曲线的方程为,故选：D.9．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4,实轴长为6,则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由距离公式得出,进而由双曲线的性质得出方程.【详解】右焦点到渐近线的距离,因为实轴长为,所以,即的方程为.故选：D10．试写出一个以为焦点的双曲线的标准方程：________．【答案】（答案不唯一）【分析】根据双曲线的焦点写出双曲线的方程即可.【详解】解：双曲线为,,则焦点坐标为,故以为焦点的双曲线的标准方程可以为.故答案为：.11．已知双曲线的实轴长为,离心率为2,则双曲线的标准方程为________【答案】【分析】由题意列出关于a、b、c的方程组,即可计算出双曲线标准方程.【详解】由题得.故答案为：12．若双曲线的渐近线的方程为,则______.【答案】【分析】首先判断,再表示出双曲线的渐近线方程,即可得到方程,解得即可.【详解】因为双曲线方程为,所以,则渐近线方程为,所以,则.故答案为：13．若双曲线的一条渐近线与直线平行,则__________．【答案】【分析】根据双曲线的渐近线为求解即可.【详解】双曲线的渐近线为,又因为双曲线的一条渐近线与直线平行,所以.故答案为：.14．求适合下列条件的双曲线的标准方程.（1）焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为；（2）过点(2,0),与双曲线离心率相等.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题意可得2b=8,e=,结合c2=a2+b2,求得,即可得出答案；（2）可设双曲线的方程为=λ(λ>0),将点(2,0)代入求得λ,即可得出答案.【详解】解：(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),由题意知2b=8,e=,从而b=4,c=a,代入c2=a2+b2,得a2=9,故双曲线的标准方程为=1.(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,故可设其方程为=λ(λ>0),将点(2,0)的坐标代入方程得,故所求双曲线的标准方程为.15．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则等于__．【答案】/【分析】由双曲线的性质得出.【详解】由题意得,因为虚轴长是实轴长的2倍,所以,所以．故答案为：题型三求双曲线的离心率16．已知双曲线的左、右焦点分别是,过的直线与双曲线的右支交于两点,若是等边三角形,则双曲线的离心率是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线定义及正三角形,可得,利用双曲线定义可求解,从而求出离心率.【详解】由题知双曲线的实半轴长,虚半轴长为,设双曲线的焦距为.如图,直线与双曲线右支相交于两点,设,则,由为等边三角形,得,可得,又由双曲线的性质知,故,所以,.所以,所以,；故选：D.

17．如图,已知是双曲线的左､右焦点,为双曲线上两点,满足,且,则双曲线的离心率为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得,进而可得,结合勾股定理运算求解.【详解】延长与双曲线交于点,因为,根据对称性可知,设,则,可得,即,所以,则,,即,可知,在中,由勾股定理得,即,解得.故选：D.

【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系,然后把b用a,c代换,求的值；2．焦点三角形的作用在焦点三角形中,可以将圆锥曲线的定义,三角形中边角关系,如正余弦定理、勾股定理结合起来．18．已知双曲线的右焦点为,点在双曲线上,且关于原点对称.若的面积为,则双曲线的离心率为__________.【答案】【分析】设双曲线的左焦点为,连,可得四边形为矩形,然后结合双曲线的定义,三角形的面积和勾股定理列方程组可求出的关系,从而可求出离心率.【详解】设双曲线的左焦点为,连,因为所以四边形为矩形.

不妨设点在双曲线的右支上,设,则由①得：所以,即,所以,所以离心率.故答案为：19．已知直线是双曲线（）的一条渐近线,则的离心率为______.【答案】【分析】根据渐近线方程得到,然后代入离心率公式求解.【详解】因为直线是双曲线的一条渐近线,所以,所以C的离心率为.故答案为：20．设点F为双曲线的左焦点,经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A､B两点,AF的中点为P,BF的中点为Q.若,则双曲线C的离心率e的取值范围是______.【答案】【分析】先根据双曲线的对称性得四边形为平行四边形,再结合得为直角三角形,设直线倾斜角为,从而求得离心率,求解函数的值域即可得范围.【详解】设双曲线的右焦点为,根据双曲线方程知,,则.因为直线过原点,由对称性,原点平分线段,又原点平分线段,所以四边形为平行四边形.在和中,分别有中位线,,,因为,所以,所以四边形为矩形,为直角三角形.不妨设在第一象限,设直线倾斜角为,则,且,在Rt中可得：,所以,因为,所以,又在上为增函数,所以.故答案为：

22．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°,则的离心率为______．【答案】/【分析】由E的渐近线斜率,代入离心率求解.【详解】因为的一条渐近线的倾斜角为,所以,则的离心率．故答案为：.23．双曲线的两个焦点为,,以的实轴为直径的圆记为,过作圆的切线与的两支分别交于,两点（点、在点的两侧）,且,则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过作,利用特殊三角形,三角形的中位线求出双曲线焦点三角形的边长,然后根据双曲线的定义进行求解.【详解】

如图,设圆和相切于,圆的直径为双曲线的实轴,即,过作,垂足为,又,则//,又为的中点,则为中位线,则,又,则为等腰直角三角形,即.由,,则,于是,故,根据双曲线的定义,,则,故,.故选：C题型四求双曲线的渐近线24．双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】A【分析】由双曲线方程求出渐近线方程和焦点坐标,再根据点到直线的距离公式可求出结果.【详解】依题意得,,,所以,,,所以渐近线方程为,右焦点为,所以点到渐近线的距离为.故选：A25．双曲线的两条渐近线的夹角等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得双曲线的两条渐近线方程,得到斜率和倾斜角,再求出渐近线夹角的大小.【详解】双曲线的两条渐近线的方程为,由直线的斜率为,可得倾斜角为,的斜率为,可得倾斜角为,所以两条渐近线的夹角的大小为,故选：B.26．已知双曲线C：的左、右焦点分别为,,P为C的右支上一点．若,则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得,然后由公式可得,即可得渐近线方程.【详解】设双曲线C的半焦距为．由题可知,,则,所以,所以,所以C的渐近线方程为．故选：C27．已知双曲线,为的左焦点.经过原点的直线与的左、右两支分别交于A,两点,且,,则的一条渐近线的倾斜角可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知可得出四边形为长方形.设,根据双曲线的定义可得.然后在中,根据正弦定理可得出,则有,求解得出的值,根据勾股定理即可得出,,进而即可得出答案.【详解】由已知结合双曲线的对称性可得,四边形为长方形.所以,.设,,根据双曲线的定义可得,.又,在中,有.又,所以.由正弦定理可得,,即.又,,所以,,所以,,即,解得,,所以,.又,所以,所以,,,所以.所以,双曲线的渐近线方程为.所以,倾斜角为或.故选：C.28．已知双曲线的左､右焦点分别为,过点作直线垂直于双曲线的一条渐近线,直线交双曲线于点,若,则双曲线的渐近线方程可能为（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】当点在第一象限时,由余弦定理化简得,求得,当点在第四象限时,由余弦定理化简得,求得,即可求解.【详解】因为,所以,根据双曲线的对称性,不妨设直线的斜率小于零,如图（1）所示,当点在第一象限时,,由余弦定理可得,化简得,解得（舍去）,此时双曲线的渐近线方程为,如图（2）所示,当点在第四象限时,,由余弦定理可得,化简得,解得（舍去）,此时双曲线的渐近线方程为.（多选）：AB.

29．已知直线与离心率为的双曲线的一条渐近线平行,则所有可能取的值之和为______．【答案】【分析】由双曲线的离心率为,可求出,即可求出双曲线的渐近线,进而求出m可能取的值为,即可求出答案.【详解】由离心率为可得,解得：,则的渐近线为,则m可能取的值为,和为0.故答案为：0．30．双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为______.【答案】/0.6【分析】求解双曲线的渐近线方程,然后求解夹角即可．【详解】双曲线的两条渐近线为,直线的倾斜角为,,,所以两条渐近线的夹角的余弦值为．故答案为：．题型五弦长问题31．过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点,若,则这样的直线有（）A．一条 B．两条C．三条 D．四条【答案】C【分析】方法一：右焦点为,斜率不存在时直线的方程为,代入双曲线方程可得弦长,斜率存在时设,,设出直线的方程与双曲线方程联立,利用弦长公式求出,求出得值即可得出正确答案.方法二：求双曲线过右焦点的通径,由此判断当直线与双曲线的交点都在右支上时,满足条件的直线的条数,再求双曲线的实轴长,由此判断直线与双曲线的左右两支各有一个交点时,满足条件的直线的条数,由此确定结论.【详解】双曲线的右焦点为,当直线的斜率不存在时,直线的方程为,代入双曲线可得：,即,满足条件；当直线的斜率存在时,设直线的方程为：,代入双曲线可得：,方程的判别式,设,则：,,所以化简可得：,解得：,

所以斜率存在且满足条件的直线有条,所以共有条,故选：C.方法二：过右焦点且垂直于实轴的弦长为,因为,所以当直线l与双曲线的两交点都在右支上时这样的直线只有一条.又实轴长为,,所以当直线l与双曲线的两交点分别在左、右两支上时这样的直线应该有两条,所以满足条件的直线共三条.故选：C.32．已知双曲线：,若直线的倾斜角为60°,且与双曲线C的右支交于M,N两点,与x轴交于点P,若,则点P的坐标为________.【答案】【分析】设直线的方程为,与双曲线方程联立,利用根与系数的关系及弦长公式列式求解的值,即可求出直线的方程,令即可得出答案.【详解】双曲线双曲线：的渐近线方程为,而直线的倾斜角为60°,则直线的斜率为,可设直线的方程为,与双曲线方程联立,化简可得,由,得或．设,,则,,则,所以,,解得：（舍去）或,所以直线的方程为,令,可得.故点P的坐标为.故答案为：.33．已知双曲线C两条准线之间的距离为1,离心率为2,直线l经过C的右焦点,且与C相交于A、B两点.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直,求AB的长度.【答案】(1)=1(2)3【分析】（1）根据双曲线的准线方程公式,结合双曲线的离心率公式进行求解即可.（2）根据题意设出直线l的方程与双曲线方程联立,利用一元二次方程根与系数关系、双曲线弦长公式进行求解即可.【详解】（1）因为直线l经过C的右焦点,所以该双曲线的焦点在横轴上,因为双曲线C两条准线之间的距离为1,所以有,又因为离心率为2,所以有代入中,可得,∴C的标准方程为：；（2）由上可知：该双曲线的渐近线方程为,所以直线l的斜率为,由于双曲线和两条直线都关于y轴对称,所以两条直线与双曲线的相交弦相等.又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值,所以直线与双曲线交于左右两支,因此不妨设直线l的斜率为,方程为与双曲线方程联立为：,设,则有,34．已知双曲线C的渐近线为,且过点．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,若OA与OB垂直,求a的值以及弦长．【答案】(1)(2),【分析】（1）根据渐近线方程可设双曲线方程为,代入可求得,整理可得结果；（2）联立直线与双曲线的方程,设,,故可得,,利用列等式可求得,然后利用弦长公式求即可【详解】（1）由双曲线渐近线方程为,可设双曲线方程为：,又双曲线过点,双曲线的方程为：（2）设,,联立,化为．∵直线与双曲线C相交于A,B两点,∴,化为．∴,（*）∵,∴．∴,又,,∴,把（*）代入上式得,化为．满足．∴．由弦长公式可得35．已知双曲线的实轴长为2,右焦点为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线与双曲线交于不同的两点,,求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据实轴长可求,根据焦点坐标可求,然后可得方程；（2）联立直线与双曲线的方程,利用韦达定理和弦长公式可求答案.【详解】（1）由已知,,又,则,所以双曲线方程为.（2）由,得,则,设,,则,,所以.36．已知双曲线的渐近线方程是,右顶点是.(1)求双曲线的离心率；(2)过点倾斜角为的直线与双曲线的另一交点是,若,求双曲线的方程.【答案】(1)；(2)【分析】（1）依题意可得双曲线的渐近线方程是,从而得到,再根据即可求出离心率；（2）首先得到直线方程为,设,联立直线与双曲线方程,即可求出点纵坐标,根据弦长公式求出的值,即可得解.【详解】（1）解：因为双曲线,故渐近线方程是：,又渐近线方程是,故,即,故,故,；（2）解：因为直线的倾斜角为,故直线斜率是1,又直线经过,则直线方程为,设,由,消去得,故,解得,又,则,解得,故,,故双曲线的方程是.题型六中点弦问题38．设A,B为双曲线上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点差法分析可得,对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数,逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设,则的中点,可得,因为在双曲线上,则,两式相减得,所以.对于选项A：可得,则,联立方程,消去y得,此时,所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误；对于选项B：可得,则,联立方程,消去y得,此时,所以直线AB与双曲线没有交点,故B错误；对于选项C：可得,则由双曲线方程可得,则为双曲线的渐近线,所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误；对于选项D：,则,联立方程,消去y得,此时,故直线AB与双曲线有交两个交点,故D正确；故选：D.39．已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为,直线l与C相交于A,B两点,若线段的中点为,则直线l的斜率为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程,然后利用点差法即可求出直线的斜率.【详解】因为双曲线的标准方程为,所以它的一个焦点为,一条渐近线方程为,所以焦点到渐近线的距离,化简得,解得,所以双曲线的标准方程为,设,所以①,②,①-②得,,化简得③,因为线段的中点为,所以,代入③,整理得,显然,所以直线的斜率.故选：B40．过点的直线与双曲线相交于两点,若是线段的中点,则直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用点差法求解.【详解】解：设,则,两式相减得直线的斜率为,又直线过点,所以直线的方程为,经检验此时与双曲线有两个交点.故选：A41．不与轴重合的直线经过点,双曲线：上存在两点A,B关于对称,AB中点M的横坐标为,若,则的值为_________.【答案】【分析】由点差法得,结合得,代入斜率公式化简并利用可求得.【详解】设,则,两式相减得,即,即,所以,因为是AB垂直平分线,有,所以,即,化简得,故,则.故答案为：42．已知双曲线的实轴长为4,离心率为,直线与交于两点,是线段的中点,为坐标原点．若点的横坐标为,则的取值范围为______．【答案】【分析】先求出双曲线方程,然后联立直线和双曲线方程表示出,然后判断出直线和双曲线一定交于两支后进行计算.【详解】由题知,解得,即双曲线的方程为：.直线的斜率若不存在,则垂直于轴,由于双曲线顶点为,斜率不存在的直线和双曲线有交点,则两个交点横坐标相等且均大于,与点的横坐标为1矛盾；直线的斜率也不会为,否则根据对称性可知,的横坐标为,矛盾.故直线斜率存在且非零.设直线方程为,联立,得到,由.设,由题意,,即,的纵坐标为,即.根据双曲线的范围可知,若直线和双曲线交于同一支,则交点横坐标均大于或小于,与的横坐标为矛盾,故直线和双曲线交于两支.由,得到,显然满足判别式条件：.由,于是故答案为：43．已知双曲线过点作一直线交双曲线于A、B两点,并使P为AB的中点,则直线AB的斜率为（）A．3 B．4C．5 D．6【答案】D【分析】设出,,利用“点差法”即可求出结果.【详解】设,,则有与,两式相减得：,即,又因为为AB的中点,所以,得到,即直线AB的斜率为6.故选：D.题型七双曲线的实际应用44．3D打印是快速成型技术的一种,通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒,该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该笔筒的上底直径为6cm,下底直径为8cm,高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算）,则笔筒最细处的直径为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出笔筒的轴截面,建立平面直角坐标系,设出双曲线的方程,根据题意写出点的坐标,把点的坐标代入双曲线方程即可求解.【详解】该塔筒的轴截面如图所示,以为笔筒对应双曲线的实轴端点,以所在直线为轴,过点且与垂直的直线为轴,建立平面直角坐标系,设与分别为上,下底面对应点.由题意可知,设,则,设双曲线的方程为,因为双曲线的离心率为,所以,所以方程可化简为,将和的坐标代入式可得,解得,则笔筒最细处的直径为.故选：C.45．如图所示,某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分,当拱顶M到水面的距离为4米时,水面宽AB为米,则当水面宽度为米时,拱顶M到水面的距离为（

）A．4米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】将代入双曲线得到,当得到,得到答案.【详解】根据题意：,,故,解得,即,当水面宽度为米时,即时,,拱顶M到水面的距离为.故选：D46．（多选）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,如图,利用了双曲线的光学性质：,是双曲线的左､右焦点,从发出的光线射在双曲线右支上一点,经点反射后,反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时,双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为,则下列结论正确的是