人教A版新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习选择性必修第一册检测卷(原卷版+解析)

选择性必修第一册检测卷题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点是所在的平面外一点，若，，，则（

）A． B． C． D．2．直线：，则“”是“直线与轴垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．4．已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（

）A．5 B．3 C．2 D．15．已知直线，定点，P是直线上的动点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆的面积的最小值为（

）A． B． C． D．6．已知，满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．7．设抛物线的焦点为，准线为是与轴的交点，.过此抛物线上一点作直线的垂线，垂足记为点与相交于点，若，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．8．如图，长方体中，，P为线段上的动点，则以下结论中不正确的是（

）

A．当时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为B．当时，若平面的法向量记为，则C．当时，二面角的余弦值为D．若，则二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（

）A．若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B．若直线的方向向量，平面的法向量是，则C．若两个不同平面，的法向量分别为，，则D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则10．已知，则方程表示的曲线的形状可以是（

）A．两条直线 B．圆C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的双曲线11．在平面直角坐标系中，已知圆，则下列说法正确的是（

）A．若，则点在圆外B．圆与轴相切C．若圆截轴所得弦长为，则D．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为12．已知抛物线，点，，过点的直线与抛物线交于，两点，AP，AQ分别交抛物线于，N两点，为坐标原点，则（

）A．焦点坐标为 B．向量与的数量积为5C．直线MN的斜率为 D．若直线PQ过焦点，则OF平分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．已知在标准正交基下，，，则_____．14．若圆与轴相切，与直线也相切，且圆经过点，则圆的半径为_____.15．如图，已知双曲线：与过其焦点的圆相交于，，，四个点，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为_____.

16．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为_____.（用含的代数式表示）四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在棱长为1的正方体中，E为的中点，P、Q是正方体表面上相异两点．若P、Q均在平面上，满足，．(1)判断PQ与BD的位置关系；(2)求的最小值．18．已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．

(1)若的面积为4，求直线l的方程；(2)求的最小值，并求此时直线l的方程；(3)求的最小值，并求此时直线l的方程．19．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.(1)求圆的方程；(2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.20．如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，M在上，且．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值；(3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线与所成角为，求的长．21．中心在原点的双曲线的焦点在x轴上，且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：①该曲线经过点；②该曲线的渐近线与圆相切；③点在该双曲线上，，为该双曲线的左、右焦点，当点的纵坐标为时，以，为直径的圆经过点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过定点能否作直线，使与此双曲线相交于两点，且是弦的中点?若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．22．平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上，两点所成的曲线记为曲线C.(1)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；(2)若时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为.设，是的两个焦点，试问：在上是否存在点N，使得的面积，并证明你的结论.

选择性必修第一册检测卷题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点是所在的平面外一点，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空间向量坐标计算得出，，再结合空间向量平行和垂直的判定验证选项即可得出结果.【详解】依题意，有，．对于A选项，因为，所以与不平行，故A选项错误；对于B选项，，所以与不平行，故B选项错误；对于C选项，，所以，所以C选项正确；对于D选项，，所以D选项错误，故选：C.2．直线：，则“”是“直线与轴垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由直线与轴垂直，可得直线的斜率不存在，进而得到，解出的值，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可求解.【详解】由直线与轴垂直，得直线的斜率不存在，可得，解得，所以“”是“直线与轴垂直”的充要条件.故选：C.3．已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可．【详解】解：因为线段的垂直平分线与直线相交于点，所以有，由圆，得，该圆的半径，因为点在圆上运动时，所以有，于是有，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线，所以，，可得，所以，所以点的轨迹方程为.故选：B．4．已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】分别求得圆的圆心坐标和半径，求得，结合图象，得，即可求解.【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为，圆，可得圆心，半径为，可得圆心距，如图，，所以，当共线时，取得最小值，故的最小值为.

故选：B5．已知直线，定点，P是直线上的动点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆的面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】确定的轨迹为抛物线，抛物线方程为，当点与原点重合时，半径最小为，计算得到面积.【详解】根据题意，设圆的圆心为，则圆心到的距离等于到直线的距离，故的轨迹为抛物线，抛物线方程为，当点与原点重合时，半径最小为，此时，圆心到直线的距离为，直线与圆有交点，满足，圆的面积的最小值为.故选：B6．已知，满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】先求出点关于线段的对称点的坐标，且有.根据几何意义，结合图象，即可得出取最小值时，点的位置，进而得出答案.【详解】如图，过点作点关于线段的对称点，则.设，则有，解得，所以.设，则，所以，又，所以点到轴的距离为，所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和.过作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值.过点作轴，则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置.因为，所以的最小值为.故选：B．7．设抛物线的焦点为，准线为是与轴的交点，.过此抛物线上一点作直线的垂线，垂足记为点与相交于点，若，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的线性关系确定，并确定相似比，再根据抛物线的定义即可求解.【详解】作图如下

由得，又因为为，的中点，所以为的三等分点，且，又因为，所以，且，所以，不妨设，且在第一象限，，，所以，因为点在抛物线上，所以，所以根据相似关系，即点到轴的距离为.故选：B.8．如图，长方体中，，P为线段上的动点，则以下结论中不正确的是（

）

A．当时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为B．当时，若平面的法向量记为，则C．当时，二面角的余弦值为D．若，则【答案】C【分析】根据题意可知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别表示各点的坐标，然后利用空间向量求解二面角、线面角的方法计算各选项即可.【详解】如下图所示：

以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系；由，可知，则，设，，选项A，当时，，所以，所以，平面ABCD的法向量为，所以直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为：，故A正确；选项B，当时，，所以，所以，平面的法向量记为，由.,由可知，，所以可取，所以，故B正确；选项C，当时，，所以，平面的法向量记为，设平面的法向量记为，由.,由可知，，所以可取，所以二面角的余弦值为，所以，故C错误；选项D，若，，，因为，所以，所以，，由，解得，所以，即，故D正确.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（

）A．若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B．若直线的方向向量，平面的法向量是，则C．若两个不同平面，的法向量分别为，，则D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则【答案】ACD【分析】利用空间向量共线定理判断A即可；由的关系式即可判断B；由的关系即可判断选项C,利用平面内法向量的性质即可判断D.【详解】因为两条不重合直线，的方向向量分别是，，所以，所以共线，又直线，不重合，所以，故A正确；因为直线的方向向量，平面的法向量是且，所以，故B不正确；两个不同平面，的法向量分别为，，则有，所以，故C正确；平面经过三点，，，所以又向量是平面的法向量，所以则，故D正确，故选：ACD.10．已知，则方程表示的曲线的形状可以是（

）A．两条直线 B．圆C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的双曲线【答案】ABD【分析】分类讨论，，与四种情况，结合直线、圆、椭圆与双曲线方程的特点即可判断.【详解】对于方程，当时，，方程为表示圆心在原点，半径为1的圆；当时，，则，此时方程，即表示焦点在轴的椭圆；当时，，此时方程，即，表示两条直线；当时，，则，此时方程，即表示焦点在轴的双曲线.综上可得符合依题意的有ABD.故选：ABD.11．在平面直角坐标系中，已知圆，则下列说法正确的是（

）A．若，则点在圆外B．圆与轴相切C．若圆截轴所得弦长为，则D．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为【答案】AD【分析】利用点与圆的位置关系可判断A选项；求出圆心到轴的距离，可判断B选项；利用弦长的一半、弦心距以及圆的半径三者满足勾股定理求出的值，可判断C选项；对原点在圆上、圆外进行分类讨论，求出点到圆上一点的最大距离和最小距离，可判断D选项.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，对于A选项，若，则有，即点在圆外，A对；对于B选项，因为圆心到轴的距离为，而与的大小关系不确定，所以，圆与轴不一定相切，B错；对于C选项，若圆截轴所得弦长为，则，解得，C错；对于D选项，当时，点在圆上，点到圆上一点的最大距离为，点到圆上一点的最小距离为，则；当时，则点在圆外，且，所以，点到圆上一点的最大距离为，最小距离为，则点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为.综上所述，点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为，D对.故选：AD.12．已知抛物线，点，，过点的直线与抛物线交于，两点，AP，AQ分别交抛物线于，N两点，为坐标原点，则（

）A．焦点坐标为 B．向量与的数量积为5C．直线MN的斜率为 D．若直线PQ过焦点，则OF平分【答案】BCD【分析】由抛物线方程即可判定A项；设直线AP方程与抛物线联立利用韦达定理计算数量积即可判定B项；设直线PQ方程及P、Q坐标，用来表示直线AP、AQ，并与抛物线联立求得M、N坐标，即可判定C项；设直线PQ方程及P、Q坐标，与抛物线联立结合韦达定理求得AP、AQ斜率关系即可判定D项.【详解】

对于A项，由抛物线标准方程可得焦点，即A错误；对于B项，可设直线AP方程为：，设，与抛物线联立可得∴，故B正确；对于C项，可设直线QP方程为：，设，∴，直线QP方程与抛物线方程联立，化简可得，又由上可知，同理有，∴，，故C正确；对于D项，由上设直线QP方程为：，，联立抛物线有，若PQ过焦点F，则有，即结合上，及可知，此时，即直线AP、QA关于横轴对称，OF平分，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．已知在标准正交基下，，，则．【答案】【分析】计算出，再求出，由此即可得出答案.【详解】因为，所以，所以．故答案为：14．若圆与轴相切，与直线也相切，且圆经过点，则圆的半径为.【答案】1或【分析】分析出圆心的位置，将点代入解析式，即可求出圆的半径.【详解】由题意，在直线中，倾斜角为，∴圆的圆心在两切线所成角的角平分线上.设圆心，则圆的方程为：，将点的坐标代入，得，解得：或，∴圆的半径为1或.故答案为：1或.15．如图，已知双曲线：与过其焦点的圆相交于，，，四个点，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为.

【答案】【分析】根据双曲线与圆的对称性确定关于原点对称，利用直线斜率的坐标运算与坐标关系即可得关系，从而可得双曲线离心率.【详解】由题可知关于原点对称，所以又在双曲线上，所以，则，所以，即，①∴由，连接，可得可得，②

由①②联立，所以离心率.故答案为：.16．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为.（用含的代数式表示）【答案】【分析】由椭圆的离心率可得出，根据已知条件推导出为圆的一条直径，利用勾股定理可得出，再利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得面积的最大值.【详解】因为，所以，，所以，蒙日圆的方程为，由已知条件可得，则为圆的一条直径，由勾股定理可得，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，面积的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在棱长为1的正方体中，E为的中点，P、Q是正方体表面上相异两点．若P、Q均在平面上，满足，．(1)判断PQ与BD的位置关系；(2)求的最小值．【答案】(1)PQ与BD的位置关系是平行(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量判断PQ与BD的位置关系；（2）用含参数的表达式求出，进而求出最小值.【详解】（1）以D为原点，以射线DA，DC，分别为x，y，z轴的正向建立空间直角坐标系，，，．因为P、Q均在平面上，所以设，，则，，．因为，，所以解得:所以，，即，，所以PQ与BD的位置关系是平行．（2）由（1）可知：，，所以．当时，有最小值，最小值为．18．已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．

(1)若的面积为4，求直线l的方程；(2)求的最小值，并求此时直线l的方程；(3)求的最小值，并求此时直线l的方程．【答案】(1)(2)，(3)，【分析】（1）设直线l：，由直线过可得，，然后结合三角形的面积公式可得，从而可求；（2），展开后结合基本不等式可求；（3）由三点共线，可得|，然后结合向量数量积的坐标表示及基本不等式即可求解．【详解】（1）设直线l：，由直线过可得，∴，由可得.所以直线l的方程为，即.（2）设直线l：，则，，当且仅当时，即时取等号，此时直线方程.（3）设直线l：，∵三点共线，且，，即，，∴|，当且仅当时，即时取等号，此时直线方程．19．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.(1)求圆的方程；(2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）求出过点且与直线垂直的直线方程，与联立求出圆心，根据两点间的距离求出半径，即可得圆的方程；（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.【详解】（1）过点且与直线垂直的直线方程为，联立，解得，所以,所以圆的半径为,所以圆的方程为.

（2）由（1）可知圆的方程为，因为直线被圆截得的弦长为，所以到直线的距离为，若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合题意；若直线的斜率存在，设方程为，则,即,解得或,所以直线的方程为或.

20．如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，M在上，且．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值；(3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线与所成角为，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，利用向量法即可证明.（2）求出平面与平面的法向量，根据向量法并结合同角三角函数关系式即可求出.（3）设，其中，利用向量法求出异面直线所成角为，从而求出的值，解出点坐标，即可求出的长.【详解】（1）证明：因为平面，，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，，，，又直线与直线不在同一条直线上，，又平面，平面，平面（2）设平面与平面夹角为，设平面的法向量为，，，则，令，可得，又平面的一个法向量为，所以，.所以平面与平面夹角的正弦值为．（3）设，其中，则，，，由题意可得，.整理可得，或，，（舍去），则，所以点为线段的中点，则点，所以．所以若异面直线与所成角为，则．21．中心在原点的双曲线的焦点在x轴上，且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：①该曲线经过点；②该曲线的渐近线与圆相切；③点在该双曲线上，，为该双曲线的左、右焦点，当点的纵坐标为时，以，为直径的圆经过点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过定点能否作直线，使与此双曲线相交于两点，且是弦的中点?若存在，求出的方程；若不