人教A版新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习重点03立体几何中的体积、夹角及距离(原卷版+解析)

重点03立体几何中的体积、夹角及距离题型一体积及距离①体积②点面距离题型二求夹角①异面直线的夹角②线面角③面面角题型三知空间角求其他量题型一 体积及距离①体积例1．在三棱锥中，已知二面角的大小为，为等边三角形，且，为的中点．

(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．例2．在四棱锥中，底面是矩形，若，．

(1)证明：平面平面；(2)若分别是的中点，动点P在线段EF上移动，求三棱锥的体积．练习1．如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，，，分别是，，的中点．(1)求证：平面；(2)设，求三棱锥的体积．练习2．如图，正三棱柱中，，，点为的中点．

(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．练习3．如图，在正四棱锥中，，，、、分别为中点.

(1)求证：平面；(2)三棱锥的体积.练习4．如图1，、、分别是边长为的正方形的三边、、的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个空间五面体，如图2．(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积．练习5．在正方体中，M，N分别是线段，BD的中点.

(1)求证：平面；(2)若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积.②点面距离例3．在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，顶点在平面的射影为边的中点．

求点到平面的距离．例4．在四棱锥中，，，，，为等边三角形，．(1)证明：平面平面PBC；(2)求点C到平面PAB的距离．练习6．如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，且直线AM与直线PC所成的角为60°.

(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求异面直线PA与MB所成角的余弦值.练习7．如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点．(1)若，棱上是否存在点，使得平面平面？并说明理由；(2)若，，，异面直线与成角，求异面直线与所成角的余弦值．练习8．在正方体中，为中点，为中点，过且与平行的平面交平面于直线.(1)求证：平面；(2)求直线与所成角的余弦值.练习9．如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值．练习10．如图所示，已知多面体的底面是边长为6的菱形，底面且．(1)证明：平面；(2)若，求异面直线与所成角的余弦值．题型二 求夹角①异面直线的夹角例5．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点.

(1)证明平面.(2)求异面直线与所成的角；例6．如图，四面体的顶点都在以为直径的球面上，底面是边长为的等边三角形，球心到底面的距离为．

(1)求球的表面积；(2)求异面直线和成角的余弦值．练习11．已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，，∠ACB＝90°．

(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．练习12．如图，三棱柱中，底面ABC，△ABC为等边三角形，AB＝6，，M为棱BC的中点.

(1)证明：//平面；(2)证明：平面平面；(3)求直线AB与平面所成角的正弦值.练习13．如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：平面PAD；(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD．(3)若PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，求直线PB与面PAD所成的角．练习14．如图，多面体中，四边形为矩形，二面角的大小为，，，，.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.练习15．如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．②线面角例7．如图，在正方体中．

(1)求证：平面平面；(2)求直线和平面所成的角．例8．已知三棱柱中，是边长为2的等边三角形，且，平面平面，三棱锥的体积为.

(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.练习16．如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且.

(1)证明：平面.(2)作出二面角的平面角，并求其大小.练习17．在三棱锥中，，平面平面，且.

(1)证明：；(2)若是直线上的一个动点，求直线与平面所成的角的正切值最大值.练习18．已知正三棱柱中，，D为AC边的中点，

(1)求侧棱长；(2)求三棱锥D-的体积；(3)求二面角的大小.练习19．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为AD的中点，F为PC中点．

(1)求证：平面；(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；(3)求二面角的正弦值．练习20．如图，在四棱台中，底面是正方形，侧面底面是正三角形，是底面的中心，是线段上的点．

(1)当//平面时，求证：平面；(2)求二面角的余弦值．③面面角例9．如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.

(1)在线段AC上是否存在点F，使得平面?如果存在，求出AF的值；如果不存在说明理由；(2)求平面与平面所成的锐二面角的正切值.例10．如图，在四棱锥中，底面是菱形．

(1)若点E是PD的中点，证明：平面；(2)若，，且平面平面，求二面角的正切值．题型三 知空间角求其他量例11．如图，在四棱锥中，，底面为正方形.记直线与平面所成的角为.(1)求证：平面平面；(2)若二面角的大小为，求的值.例12．如图1，在平行四边形ABCD中，，将沿BD折起，使得点A到达点P，如图2．

(1)证明：平面平面PAD；(2)当二面角的平面角的正切值为时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．练习21．如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.

(1)证明：平面；(2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线与平面所成角的正弦值.练习22．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，AC与BD相交于点O，，，，，M为线段PD的中点.(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)若直线OM与平面ABCD所成角为60°，求三棱锥O-ABM的体积.练习23．如图，在直三棱柱中，，且，点P为线段上的动点．

(1)当P为线段中点时，求证：平面平面；(2)当直线AP与平面所成角的正切值为时，求二面角P-AB-C的余弦值．练习24．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，分别为棱中点．(1)求证：平面平面；(2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小．练习25．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，，，，平面平面ABCD，点M在线段PB上，平面MAC．(1)判断M点在PB的位置并说明理由；(2)记直线DM与平面PAC的交点为K，求的值；(3)若异面直线CM与PA所成角的余弦值为，求二面角的平面角的正切值．

重点03立体几何中的体积、夹角及距离题型一体积及距离①体积②点面距离题型二求夹角①异面直线的夹角②线面角③面面角题型三知空间角求其他量题型一 体积及距离①体积例1．在三棱锥中，已知二面角的大小为，为等边三角形，且，为的中点．

(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直；（2）利用体积公式直接求解.【详解】（1）证明：∵，是中点，∴，又∵是等边三角形，是中点，∴，又∵，，平面，∴平面，又平面，∴．（2）由（1）得，，又∵二面角的大小为，∴，又∵，，为等边三角形，∴，，，∴，∴．例2．在四棱锥中，底面是矩形，若，．

(1)证明：平面平面；(2)若分别是的中点，动点P在线段EF上移动，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面；（2）根据题意得到动点在线段上移动，等于点到平面的距离的一半，取的中点，得到，且，结合，即可求解.【详解】（1）证明：在中，，可得，所以为直角三角形且，又因为底面是矩形，则，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：因为底面是矩形，且，可得，又因为分别为的中点，所以，动点在线段上移动，则点到平面的距离等于点到平面的距离，即点到平面的距离的一半，由（1）知平面平面，且，取的中点，连接，可得，且，又因为平面平面，且平面，所以平面，所以.

练习1．如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，，，分别是，，的中点．(1)求证：平面；(2)设，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）依题意可得平面，即可得到，再由，从而得到平面，即可得到，再利用勾股定理逆定理得到，即可得证；（2）依题意可得，根据锥体的体积公式计算可得.【详解】（1）证明：在三棱柱中，，因为平面，所以平面．又平面，所以，①因为，为中点，所以，②由①②，，平面，所以平面，又平面，所以，③设，则在矩形中，，，故，，，所以，即，④由③④，，平面，所以平面．（2）因为为中点，所以．练习2．如图，正三棱柱中，，，点为的中点．

(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过直线与直线平行证直线与面平行.（2）通过等体积转化进行求解.【详解】（1）解：连接，与相交于，连接，则是的中点，

又为的中点，所以，平面，平面，所以平面；（2）取的中点，连，则，且，又面，，且，∴面，，.练习3．如图，在正四棱锥中，，，、、分别为中点.

(1)求证：平面；(2)三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明得到平面；（2）先求得，通过体积转化得，求得【详解】（1）证明：连接，∵四边形为正方形，、分别为中点，∴，

又五点共面，平面，平面，

∴平面，（2）在正四棱锥中，连接交于点，连接，则平面，又平面，所以，所以，，

因为，为中点.所以，故.练习4．如图1，、、分别是边长为的正方形的三边、、的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个空间五面体，如图2．(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）在图2中取线段中点，连接、，证明出四边形是平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面，计算出的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积．【详解】（1）证明：在图2中取线段中点，连接、，如图所示：由图1可知，四边形是矩形，且，因为是线段与的中点，所以，且，在图1中，且，而且．所以在图2中，且，所以，且，所以，四边形是平行四边形，则，由于平面，平面，所以，平面．（2）解：翻折前，，，翻折后，则，，、面，，所以，平面，因为，所以，即三棱锥的体积为．练习5．在正方体中，M，N分别是线段，BD的中点.

(1)求证：平面；(2)若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据中位线定理，结合线面平行的判定定理，可得答案；（2）根据面面垂直性质定理，可得三棱锥的高，根据三角形中线的性质，求得三棱锥的底面积，结合三棱锥的体积公式，可得答案.【详解】（1）连接，如下图：

是线段的中点，底面是长方形，是线段的中点，又是线段的中点，在中，，平面，平面，平面.（2）取的中点为，连接，如下图：

分别是线段的中点，在中，，，又在正方体中，平面，平面，为的中点，，.②点面距离例3．在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，顶点在平面的射影为边的中点．

求点到平面的距离．【答案】【分析】因为顶点在平面的射影为边的中点，所以平面，利用此关系可求得，进而求出的面积，最后利用等体积法可求出点到平面的距离．【详解】设点到平面的距离为因为是边长为2的正三角形，所以，且，，因为顶点在平面的射影为边的中点，所以平面，且平面，所以，故，解得.同理可得，故，即.在中，由余弦定理可得，结合可得，所以.根据等体积公式可得，解得.例4．在四棱锥中，，，，，为等边三角形，．(1)证明：平面平面PBC；(2)求点C到平面PAB的距离．【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得到，找到为二面角的平面角，且，得到平面平面ABCD，进而由四边形ABCE为矩形得到线面垂直，进而证明平面平面PBC；（2）作出辅助线，由等体积法求出点到平面的距离.【详解】（1）证明：取CD的中点E，连接PE，AE，如图，易知，，，在中，由余弦定理得，，则，故，由，，，同理可得且，故为二面角的平面角，又，则，故，故平面平面ABCD，又CE与AB平行且相等，且，则四边形ABCE为矩形，故．又平面ABCD，平面平面，故平面PCD，又平面PBC，则平面平面PBC．（2）连接AC，设C到平面PAB的距离为h，由（1）得平面平面PCD，，由面面垂直的性质定理，同理可得平面ABCD，，即，∵，，，，平面AEP，则平面AEP，又，故平面AEP，平面AEP，故，故，故，解得．练习6．如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，且直线AM与直线PC所成的角为60°.

(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求异面直线PA与MB所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）证明平面，原题即得证；（2）设是的中点，连接，，，证明是异面直线与所成角（或其补角），再利用余弦定理求解.【详解】（1）依题意，，，，平面，

所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）设是的中点，连接，，，由于，，所以四边形是平行四边形，所以，

由于平面，所以平面，而，

由于直线与直线所成的角为60°，即，所以，由于，，所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线与所成角（或其补角），

由于平面，平面，所以，，在三角形中，由余弦定理得，所以异面直线与所成角的余弦值为.

练习7．如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点．(1)若，棱上是否存在点，使得平面平面？并说明理由；(2)若，，，异面直线与成角，求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)存在，理由见解析(2)【分析】（1）当时，根据面面平行的判定定理可证平面平面；（2）在上取点，且，连，可得，又，可得（或其补角）是异面直线与所成的角，在中，根据余弦定理可求出结果.【详解】（1）棱上存在点，且时，平面平面，理由如下：连，，因为，，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又平面，平面，且，所以平面平面.（2）由（1）可知，，又，所以，因为异面直线与成角，所以，因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以，在上取点，且，因为，所以，又由（1）知，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角，，，所以，，，，在中，.所以异面直线与所成角的余弦值为.练习8．在正方体中，为中点，为中点，过且与平行的平面交平面于直线.(1)求证：平面；(2)求直线与所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取中点，利用正方体的结构特征结合平行四边形的判定性质、线面平行的判定推理作答.（2）利用线面平行的性质证得，利用几何法求出直线与所成角的余弦值作答.【详解】（1）在正方体中，对角面是矩形，则，平面，平面，因此平面，即平面是过且与平行的平面，取中点，连接，如图，因为为中点，为中点，则，，即四边形是平行四边形，于是，而平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，而平面平面，平面，因此，而，则，即直线与所成的角等于直线与所成的角，又，于是直线与所成的角等于直线与所成的角，连接，因为平面，平面，则，令，由（1）知，有，，所以直线与所成角的余弦值.练习9．如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直进而得线线垂直，由二面角定义可得，进而根据中点得线线垂直即可求，（2）由线面平行的性质可得线线平行，由线线角的几何法可利用三角形的边角关系求解，或者建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解.【详解】（1）（1）因为平面平面，且两平面交线为,，平面所以平面，所以，是二面角的平面角，故．连接，E为棱的中点，则，从而．又，，平面AED，所以平面，平面,因此．（2）解法1：设，则，所以．连交于点，连接交于点G，连．因为平面，平面AEC,平面AEC平面BDF=OG所以，因为为中点，所以G为中点，故．且直线与所成角等于直线与所成角．在中，，因为，所以．因此直线AE与DF所成角的余弦值为．解法2；设，则，所以．取中点为，连接交于点，则．连接交于点，连，因为平面，平面AGE，平面AGE平面BDF=IH，所以．与所成角等于直线与所成角．正方形中，，，所以，故．在中，，，由余弦定理．在中，．因此直线与所成角的余弦值为．解法3:由（1）知平面，以为坐标原点，为x轴正方向，为2个单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由（1）知，得，．则，，，．由，得．因为平面BDF，所以存在唯一的，，使得，故，解得，从而．所以直线与所成角的余弦值为．练习10．如图所示，已知多面体的底面是边长为6的菱形，底面且．(1)证明：平面；(2)若，求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用平行关系，根据面面平行，证明线面平行；（2）利用平行关系，结合异面直线所成角的定义，先构成异面直线所成的角，再根据几何关系求余弦值.【详解】（1）证明：如图，底面是菱形，．平面平面，平面．平面平面，平面．又平面平面，平面，则平面．（2）取的中点，连接，则，则四边形为平行四边形，则，又即为异面直线与所成角或其补角．连接，为等边三角形，则．又．又，即异面直线与所成角的余弦值为．题型二 求夹角①异面直线的夹角例5．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点.

(1)证明平面.(2)求异面直线与所成的角；【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；（2）先利用中位线定理证得，从而得到或其补角即为异面直线与所成的角，再确定为正三角形，从而得解.【详解】（1）因为底面，平面，所以，又平面平面，所以平面，又平面，所以，因为是侧棱的中点，所以，又平面平面，所以平面.（2）连，两直线交于点，连，

因为底面是正方形，所以是的中点，又分别是的中点，所以，所以或其补角就是异面直线与所成的角，因为为正方形，且，所以，，，故，即是正三角边，所以.所以异面直线AE与PD所成的角为.例6．如图，四面体的顶点都在以为直径的球面上，底面是边长为的等边三角形，球心到底面的距离为．

(1)求球的表面积；(2)求异面直线和成角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理可求得底面外接圆的半径，由勾股定理可得球的半径，代入球的表面积公式可求得结果；（2）根据平行关系可知或其补角即为所求角，根据长度关系，利用余弦定理可求得结果.【详解】（1）设外接圆圆心为，底面外接圆的半径，又球心到底面的距离为，球的半径，球的表面积为.（2）为球的直径，，，取的中点，的中点，连接，

则，，两异面直线和所成的角为或其补角；在中，，，，，即两异面直线所成角的余弦值为.练习11．已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，，∠ACB＝90°．

(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明，即可证明平面；（2）过作于，则直线与平面所成的角为，然后解三角形求解即可．【详解】（1）因为底面，平面，则，又因为，即，，，平面，所以平面．（2）过作于，连接，因为底面，平面，则，，平面，所以平面，所以直线与平面所成的角为，因为，//，，则，是等边三角形，可得，又因为，在中，，中求得，所以，即直线与平面所成的角的正弦值为．

【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质，同时考查线面角的求解，属于基础题．练习12．如图，三棱柱中，底面ABC，△ABC为等边三角形，AB＝6，，M为棱BC的中点.

(1)证明：//平面；(2)证明：平面平面；(3)求直线AB与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】(1)设，故要证平面，只需证即可；(2)根据题意，要证平面平面，只需证平面即可；(3)通过等体积法求点B到平面的距离h，利用公式法求解直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）如图，连接交于点，则为的中点，的中点，，

平面，平面，平面；（2）为正三角形，为的中点，，平面，，平面，平面且，平面，平面，平面平面（3）平面，，又AB＝6，，，设点B到平面的距离h，，，，设直线与平面所成角为，，直线与平面所成角的正弦值为.练习13．如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：平面PAD；(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD．(3)若PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，求直线PB与面PAD所成的角．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)45°【分析】（1）利用三角形的中位线可得线线平行，进而由线面平行的判断即可求证，（2）由线面平行即可求证，（3）利用线面垂直得线线垂直，进而可由几何法求解线面角，即可由三角形的边角关系求角大小.【详解】（1）取PD的中点E，连接AE，NE，因为N是PC的中点，所以且，又M是AB的中点，ABCD是正方形，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．（2）因为Q为PB的中点，M是AB的中点所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，又平面PAD，，MQ，平面MNQ，所以平面平面PAD．（3）因为PA⊥平面ABCD，平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD，又ABCD为正方形，所以AB⊥AD，平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面PAD，所以∠BPA即为直线PB与面PAD所成的角，又AB＝PA＝2，所以△BPA为等腰直角三角形，所以∠BPA＝45°，即直线PB与面PAD所成的角为45°．

练习14．如图，多面体中，四边形为矩形，二面角的大小为，，，，.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）分析可知二面角的平面角为，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，可得出直线与平面所成角为，计算出、的长，即可求得的正弦值，即为所求.【详解】（1）证明：因为四边形是矩形，所以，，因为平面，平面，所以平面，

因为，平面，平面，所以平面，

因为，、平面，则平面平面，因为平面，所以，平面.（2）解：因为，，所以，二面角的平面角为，由题意可得，又因为，、平面，所以，平面，过点在平面内作，垂足为点，因为平面，所以，又因为，、平面，所以平面，连接，所以直线与平面所成角为，

因为，，，则，因为，则，所以.直线与平面所成角的正弦值为

练习15．如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于点，根据三角形中位线性质可得，由线面平行判定可证得结论；（2）取中点，根据，，结合线面垂直判定可证得平面，由线面角定义可知所求角为，由长度关系可得结果.【详解】（1）连接，交于点，连接，四边形为菱形，为中点，又为中点，，平面，平面，平面.（2）取中点，连接，，，为等边三角形，又为中点，；平面，平面，，，平面，平面，即为直线与平面所成角，，，又，，，即直线与平面所成角的正弦值为.②线面角例7．如图，在正方体中．

(1)求证：平面平面；(2)求直线和平面所成的角．【答案】(1)证明见解析(2)30°．【分析】（1）由面面平行的判定的定理证明即可；（2）由线面平行的判定定理可证明平面，所以直线和平面所成的角为，求解即可.【详解】（1）证明：在正方体中，且，∴四边形是平行四边形，∴∵平面，平面，∴平面，同理可证平面，∵，平面，平面，∴平面平面；（2）连接，设与交于点，连接，在正方体中，∵平面，平面，∴，又，且，平面，∴平面所以，直线和平面所成的角为．∵为等边三角形，所以，即直线和平面所成的角为30°．

例8．已知三棱柱中，是边长为2的等边三角形，且，平面平面，三棱锥的体积为.

(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理证明；（2）方法一：利用等体积法求解；方法二：利用线面角的定义作出线面角求解.【详解】（1）取线段的中点，连接.,平面平面，平面平面,且平面，平面,又,平面,平面,平面,.（2）方法一：等体积法，则,因为平面,平面,所以，所以,因为平面,平面,所以，所以,所以为等腰三角形，取中点为，则有,所以，设点到平面的距离为.，即，即，则，设直线与平面所成角为，所以直线与平面所成角的正弦为.方法二：定义法

作交于点，连接,则,过作于，连接.,平面，平面，又平面,平面平面，平面平面平面,平面,是直线与平面所成角,，则,因为平面,平面,所以，所以,因为平面,平面,所以，所以,所以为等腰三角形，取中点为，则有,在直角中，根据等面积法可得，,解得，在则,直线与平面所成角的正弦为.练习16．如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且.

(1)证明：平面.(2)作出二面角的平面角，并求其大小.【答案】(1)证明见解析(2)平面角见解析，【分析】（1）确定四边形为平行四边形，得到，得到证明.（2）是中点，连接，，确定为二面角的平面角，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】（1），且，故四边形为平行四边形，故，平面，且平面，故平面.（2）如图所示：是中点，连接，，，

则，，故，即，故，平面平面，平面，平面，故为二面角的平面角，，，故.故二面角的平面角为.练习17．在三棱锥中，，平面平面，且.

(1)证明：；(2)若是直线上的一个动点，求直线与平面所成的角的正切值最大值.【答案】(1)证明见解析；(2)2.【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定和性质证明即可；（2）作出直线与平面所成的角，并得到该角正切的函数关系，再借助二次函数求解作答.【详解】（1）在三棱锥中，在平面内过点作直线，如图，

因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以.（2）过作交于，连接，由（1）知平面，因此是直线与平面所成的角，又平面，所以，设，由，，得，，又，所以，，在中，由余弦定理,得，所以，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成的角的正切值最大值为2.

练习18．已知正三棱柱中，，D为AC边的中点，

(1)求侧棱长；(2)求三棱锥D-的体积；(3)求二面角的大小.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）取中点，连接，，可得△，从而可求侧棱的长；（2）利用等体积法即可求解.（3）过做，垂足为，过做，垂足为，连接，则，故为二面角的平面角，计算，，即可求得结论．【详解】（1）不妨考虑将三棱锥底面朝下，取中点，连接，，则,是正三棱柱，平面平面,且交线为,平面,所以平面，由于平面,，，平面平面，平面,，侧棱长为.

（2）,（3）过做，垂足为，过做，垂足为，连接，由于平面平面,且交线为,平面,所以平面，平面,所以,又，平面,所以平面,平面,则，为二面角的平面角,在直角三角形中，,所以,而,在中，由等面积可得二面角的大小为，练习19．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为AD的中点，F为PC中点．

(1)求证：平面；(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；(3)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)(3).【分析】（1）取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明结论；（2）先证明平面，由线面角的定义证明是与平面所成角的平面角，推导出，，由此能求出与平面所成角的正切值；（3）过点作，根据二面角平面角定义证明是二面角的平面角，由此能求出二面角的正弦值．【详解】（1）取的中点，连接，因为点为的中点，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）四边形为菱形，，，为等边三角形，，在中，是中点，，平面，平面，，，平面，平面，平面，斜线在平面内的射影为，即是与平面所成角的平面角，平面，平面，，在中，，在中，，平面，平面，，在中，，与平面所成角的正切值为．（3）在平面中，过点作，垂足为，连结，

平面，平面，，，平面，平面，又平面，是二面角的平面角，在中，，，，在中，，，，在中，，由余弦定理得，二面角的正弦值为．练习20．如图，在四棱台中，底面是正方形，侧面底面是正三角形，是底面的中心，是线段上的点．

(1)当//平面时，求证：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）连接，证得，由底面是正方形，所以，根据面面垂直的性质，证得平面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；（2）取的中点分别为，连接，证得即为所求二面角的平面角，在直角中，结合，即可求解.【详解】（1）证明：连接，因为平面，平面，且平面平面，所以，又因为在中，是的中点，所以是的中点，因为底面是正方形，所以，又因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，所以是正三角形，所以，因为，且平面，所以平面．（2）解：取的中点分别为，连接，所以是正三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为且平面，所以平面，因为平面，所以，则即为所求二面角的平面角，设，则，在直角中，，所以，即所求二面角的余弦值为．

③面面角例9．如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.

(1)在线段AC上是否存在点F，使得平面?如果存在，求出AF的值；如果不存在说明理由；(2)求平面与平面所成的锐二面角的正切值.【答案】(1)即线段上存在点F，当时，平面.(2)【分析】（1）记中点为M，连结，根据线面平行的判定定理即可得出结论；（2）连结，过点B作的垂线，连结，作出平面与平面所成的二面角的平面角，解三角形，即可求得答案.【详解】（1）记中点为M，连结，为正三角形，,

则，且.因为平面平面，平面平面，平面ACD,所以平面，又因为平面，所以.延长交于点G，则为平面与平面的交线，因为，故，所以B为的中点，取中点F，连结，则，因为平面，平面，所以平面.即线段上存在点F，当时，平面.（2）连结，则为平面与平面的交线，在平面内，过点B作的垂线，垂足为H.连结，因为平面，平面，故,平面，故平面，平面，故,则为平面与平面所成的二面角的平面角.为正三角形，，故，则,且,故在中，，故，而，故,又因为，所以，即平面与平面所成的锐二面角的正切值为.例10．如图，在四棱锥中，底面是菱形．

(1)若点E是PD的中点，证明：平面；(2)若，，且平面平面，求二面角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）连接交于M，连接，根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）设为的中点，连接，证明平面，从而作出二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.【详解】（1）连接交于M，连接，

因为底面是菱形，所以M为的中点，又点E是PD的中点，故为的中位线，故，而平面，平面，故平面；（2）设为的中点，连接，因为，故,因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，而平面，故，底面是菱形，故，作交于N，则，且N为的中点，连接，因为平面，故平面，则即为二面角的平面角，设，则,，则，则，由于为的中点，N为的中点，故，而平面，平面，故，所以，即二面角的正切值为2.题型三 知空间角求其他量例11．如图，在四棱锥中，，底面为正方形.记直线与平面所成的角为.(1)求证：平面平面；(2)若二面角的大小为，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明平面证得平面平面．（2）判断出直线与平面所成的角，解直角三角形求得．【详解】（1）连接，，交点设为，连接．依题意可知，所以，所以三角形中，，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面．（2）过作，垂足为，连接，由已知，得，所以是二面角的平面角，所以，设正方形的边长为，则，所以，由于，，平面，所以平面，则．过作，垂足为，由于平面，所以，由于平面，所以平面，所以，即是直线与平面所成角．在中，，所以．是直线与平面所成角.在中，，所以.例12．如图1，在平行四边形ABCD中，，将沿BD折起，使得点A到达点P，如图2．

(1)证明：平面平面PAD；(2)当二面角的平面角的正切值为时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）要证平面平面PAD，只需证明平面PAD，再利用面面垂直的判定进行说明；（2）先找到二面角的平面角，再找直线BD与平面PBC所成角.【详解】（1）中，由余弦定理：，所以,则,将沿BD折起，使得点A到达点P，则，所以,又平面PAD,所以平面PAD，又平面BCD，所以平面平面PAD；（2）

如图，取中点E，连接BE,DE，因为AB=PB,AD=PD,则所以为二面角的平面角，且由（1）知，平面所以,中，中垂线，所以由勾股定理可得，所以，又,所以平面PBD,又，所以平面PBD,过D作于点F，因为DF平面PBD,所以，因为,所以DF面PBC，所以直线BD与平面PBC夹角即为中，，所以直线BD与平面PBC夹角的正弦值为.练习21．如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.

(1)证明：平面；(2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取底面中心，利用三角形中位线得线线平行，再证线面平行即可；（2）根据线面夹角得定义及已知可求得AB长，再根据线面垂直判定直线与平面所成角即∠CPD，解三角形即可.【详解】（1）连接，记，为中点，为中点，，又，，∴平面；

（2）因为平面，所以即为直线与平面所成线面角，则.

因为矩形中，所以.

因为平面，平面，所以，计算可得.又，，，平面，所以，所以即为直线与平面所成线面角，解得.练习22．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，AC与BD相交于点O，，，，，M为线段PD的中点.(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)若直线OM与平面ABCD所成角为60°，求三棱锥O-ABM的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，转化为证明平面，即可证明；（2）根据，可知，根据几何关系，即可求解三棱锥的体积.【详解】（1）证明：因为