新高三数学暑假自学课精讲精练基础知识复习练习题专题04函数的基本性质(原卷版+解析)

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）专题04函数的基本性质基础知识复习1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【知识拓展】函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0⇔f(x)在D上是增函数，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的增区间为(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)，减区间为[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]．(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．3．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称4.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【知识拓展】1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．典型习题强化1．下列函数中，是偶函数且在区间0,+∞A．y=3x B．y=log3x2．已知函数fx是奇函数，且当x>0时，fx=1A．110xC．110x3．已知函数f(x)=lg(|A．(−∞,−1)∪(1,+∞) 4．定义在R的奇函数fx满足fx+3=f−x−A．4 B．2 C．−52 5．已知y=f(x),(x∈R)是奇函数，当x<A．[22,1)C．(22,1)6．若函数fx=gA．−1 B．0 C．1 D．7．已知定义在R上的偶函数fx满足f−x+fx−2A．fB．fC．fD．f8．函数fx的定义域为R，若fx+1A．fx是奇函数 B．fC．f3=09．如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l与半圆相交于F，G两点，与△ABC两边相交于E，D两点，设弧FG的长为x(0<x<π)，y=EB+BC+CD，若l从lA． B．C． D．10．已知函数f(A．f(x)C．f(x)11．定义在R上的偶函数fx满足f2+x=f2−x，当A．函数fx图像关于直线x=2对称 B．函数C．f7=−1 D．f12．fx是定义在R上的函数，若fx+x2A．当x∈1,2时，gx=−2xC．g2k+113．设x∈R，x表示不超过x的最大整数，例如：−3.5=−4，A．fx是偶函数 B．fC．fx在R上是增函数 D．fx14．已知函数fx=lnx215．已知定义在R上的奇函数y=fx满足f1+x=f1−x，当−116．已知函数y=fx，x∈D，若存在实数m，使得对于任意的x∈D，都有fx≥m，则称函数y=fx，x∈D有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的x∈D，都有fx≤M，则称函数y=fx，x∈D①若函数y=fx有下界，则函数y=f②若定义在R上的奇函数y=fx③对于函数y=fx，若函数y=④若函数y=fx的定义域为闭区间a17．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(1)已知二次函数f(x)=ax(2)若f(x)=3(3)若f(x)18．已知二次函数fx(1)若fx在区间1,+∞上单调递增，求实数(2)若fx≥2在x∈19．已知函数f(x)(1)求a的值；(2)求函数f((3)判断函数f(20．已知函数f((1)写出函数f((2)求证：函数f(x)(3)某同学经研究发现，函数f(x)的图像为双曲线，x=0和高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）专题04函数的基本性质基础知识复习1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【知识拓展】函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0⇔f(x)在D上是增函数，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的增区间为(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)，减区间为[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]．(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．3．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称4.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【知识拓展】1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．典型习题强化1．下列函数中，是偶函数且在区间0,+∞A．y=3x B．y=log3x【答案】B【解析】y=3x为非奇非偶函数，y=log3在0,+∞上y=log故选：B2．已知函数fx是奇函数，且当x>0时，fx=1A．110xC．110x【答案】B【解析】解：当x<0时，则−x>0，所以又因为函数fx是奇函数，所以−f所以当x<0时f故选：B3．已知函数f(x)=lg(|A．(−∞,−1)∪(1,+∞) 【答案】C【解析】函数f(x)显然有f(−x)当x>0时，f(x∀x1,x2因0<x1<x2，则1<2x1<又y=lg(x+1)在(0,+∞)于是得f(x+1)<f(2所以不等式f(x+1)<f(2故选：C4．定义在R的奇函数fx满足fx+3=f−x−A．4 B．2 C．−52 【答案】D【解析】因为fx所以fx+所以fx是以2为周期的周期函数，且f令x=−2，f又f−1故f4043故选：D5．已知y=f(x),(x∈R)是奇函数，当x<A．[22,1)C．(22,1)【答案】C【解析】因为y=f(x),(x∈R)所以当x=0时，f当x>0时，则−x<0，所以因为y=f(x)是奇函数，所以−fx=f(−x综上所述：fx令t=log2x，则t=lo当t=0时，f当t>0时，对于f因为y=x3在0,+∞上递增，y=−log12又f1所以由f(t)<0t≥0故选：C6．若函数fx=gA．−1 B．0 C．1 D．【答案】A【解析】函数为奇函数且f−1=g所以g−1=故选：A7．已知定义在R上的偶函数fx满足f−x+fx−2A．fB．fC．fD．f【答案】B【解析】因为定义在R上的偶函数fx满足f则fx+fx−2=0，得当−1≤x≤0时，f所以，函数fx在−1,0上为增函数，则该函数在且当−1<x≤0因为π4<7∵−1=lnf2022=f2且−1<tan7π因此，f2022故选：B.8．函数fx的定义域为R，若fx+1A．fx是奇函数 B．fC．f3=0【答案】B【解析】因为fx+∴fx+∵fx−∴fx−1=f∴−f−x+则fx+另一方面fx+∴fx+3=f故选：B.9．如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l与半圆相交于F，G两点，与△ABC两边相交于E，D两点，设弧FG的长为x(0<x<π)，y=EB+BC+CD，若l从lA． B．C． D．【答案】D【解析】由题，∠FOG=x，点O到FG的距离d=cos所以f(f'(故f(x)故选：D.10．已知函数f(A．f(x)C．f(x)【答案】B【解析】观察函数图象可得该函数图象关于原点对称，所以函数f(x)对于函数f(因为f(所以函数f(对于函数f(x)所以函数f(x)对于函数f(x)所以函数f(x)对于函数f(x)所以函数f(x)故选：B.11．定义在R上的偶函数fx满足f2+x=f2−x，当A．函数fx图像关于直线x=2对称 B．函数C．f7=−1 D．f【答案】AD【解析】∵f2+x=f2−x，∴又∵f(x)为偶函数，∵f2+x做出f(x)由图可知，当−2<x<6时，f(x)与g(x)共有4个交点，f故选：AD.12．fx是定义在R上的函数，若fx+x2A．当x∈1,2时，gx=−2xC．g2k+1【答案】AD【解析】因为fx+x2是奇函数,fx对于A：任取x∈1,2，则x−1∈对于B：任取x∈2,3，则x−1∈对于C:当x∈(2,3)时,有x-1∈(1,2),x-2∈(0,1).所以gx=2gx−1=对于D：由C的结论,g(2k−故选：AD13．设x∈R，x表示不超过x的最大整数，例如：−3.5=−4，A．fx是偶函数 B．fC．fx在R上是增函数 D．fx【答案】BC【解析】根据题意知，fxf1=e所以，f1≠f所以，函数fx∵f−x所以，函数fx因为函数y=1+ex为R上的增函数，则函数故函数fx因为ex>0，则1+e所以，函数fx的值域为−故选：BC.14．已知函数fx=lnx2【答案】1【解析】由题设f(所以lnax2故答案为：115．已知定义在R上的奇函数y=fx满足f1+x=f1−x，当−1【答案】12【解析】因为f1+x=f1−x又函数y=fx在R为奇函数，且当−1≤x<由此画出fx在区间−fx由图可知，y=−12与fx其中两个关于直线x=1对称，两个关于直线x=所以方程fx+12=故答案为：1216．已知函数y=fx，x∈D，若存在实数m，使得对于任意的x∈D，都有fx≥m，则称函数y=fx，x∈D有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的x∈D，都有fx≤M，则称函数y=fx，x∈D①若函数y=fx有下界，则函数y=f②若定义在R上的奇函数y=fx③对于函数y=fx，若函数y=④若函数y=fx的定义域为闭区间a【答案】②③【解析】解：①当x>0时，f(x)=1x，则f②若定义在R上的奇函数y=f(x)有上界，不妨设当x⩾0时，f(x)⩽即−f(x)⩽M，则f(x)⩾③对于函数y=f(x)，若函数y=|f(x④函数f(x)=tan则函数f(x)的值域为0，+∞，则故答案为：②③．17．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(1)已知二次函数f(x)=ax(2)若f(x)=3(3)若f(x)【答案】(1)f((2)m∈1,(3)[−【解析】(1)f(x)为“局部奇函数”等价于关于x当f(x)方程f(x)+f(所以x=±2，从而f(2)当f(x)=3因为f(x)的定义域为[−1,1]令t=3x，则t∈1设g(t)=t+1t，则因为g13=103所以t∈13,3所以2m∈2,10(3)当f(f(x)设s=3x+3−x从而只需要关于s的方程s2−2令F(当F(2)≤0时，s由F(2)≤0，即m当F(2)>0时，sΔ=4m综上，所求实数m的取值范围为[−18．已知二次函数fx(1)若fx在区间1,+∞上单调递增，求实数(2)若fx≥2在x∈【答案】(1)k≤(2)k≤【解析】(1)解：因为fx在x∈所以−−解得k≤1(2)因为fx≥2所以x2−2即2k≤x+1x令gx=x+1当且仅当x=1所以