新高三数学暑假自学课精讲精练基础知识复习练习题专题10导数与函数的极值、最值(原卷版+解析)

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）专题10导数与函数的极值、最值基础知识复习1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3常用结论1.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.典型习题强化1．已知函数f(A．f(x)在x=e处的切线方程为y=e B．函数C．f(x)的极小值为e 2．若函数f（x）=ex+eA．0,+∞ B．C．e,+∞ 3．已知函数fx=ax2−4A．−∞,23 B．12,+∞4．定义在R上的函数f(x)的导函数为fA．函数f(x)在区间(−1,0)上单调递减 C．函数f(x)在x=5处取得极大值 D．函数5．已知fx=lnx，gx=exA．13,1e B．1e,6．如图，在边长为3的正方形ABCD中，E，F，G分别是边AB，AD，CD上的动点（不含端点），若S△AEF=A．3281 B．1727 C．64817．若函数fx=xex−lnx−x−2最小值为a，A．-2 B．0 C．2 D．-48．已知函数fx=ex+aA．12,+∞ B．−e2,9．已知x1,x2,x3x1A．[1,+∞) C．(2,+∞) 10．已知函数fx=ex−1,xA．ln2 B．1 C．2 D．ln311．对于函数fxA．fx在x=eB．fxC．fD．若fx<k−1x12．对于函数fxA．函数fx极小值为−1B．函数fx单调递减区间为−∞,C．函数fx最小值为为−eD．函数fx存在两个零点1和13．已知函数fxA．点0,0是函数fxB．∃x1C．函数fx的值域为D．若关于x的方程fx2−214．若函数fx=2x3−ax15．若函数f(x)=x16．已知函数fx=ex−a①对于任意a∈0,+∞，函数②对于任意a∈−∞,0，函数fx③存在a∈−∞,0，使得对于任意的x∈0,④存在a∈0,+∞，使得函数其中正确命题的序号是______.17．已知函数fx=e(1)若a=12，求(2)若当x>1时，fx>18．已知函数fx(1)当a=1时，求函数y=f(2)若函数g(x)=f(19．已知函数fx=ax3(1)当a=1时，求函数f(2)求函数gx(3)若存在a∈−∞,−1，使函数hx=fx20．已知函数f(x)(1)讨论函数f((2)当a≤2时，若关于x的不等式f(x高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）专题10导数与函数的极值、最值基础知识复习1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3常用结论1.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.典型习题强化1．已知函数f(A．f(x)在x=e处的切线方程为y=e B．函数C．f(x)的极小值为e 【答案】B【解析】函数f(x)=x对于A，f'(e)=0，而f(e)=e，则函数对于B，当0<x<1或1<x<e时，f'(x)对于C，当x>e时，f'(x)>对于D，令g(x)=f(x)由选项B，C知，函数g(x)在(1,e]上单调递减，在[e,而g(e)=2e−3>0，即存在因此函数g(x)故选：B2．若函数f（x）=ex+eA．0,+∞ B．C．e,+∞ 【答案】A【解析】原命题等价于f'x=ex−e−x−a有大于零的零点，显然f'故选：A.3．已知函数fx=ax2−4A．−∞,23 B．12,+∞【答案】B【解析】由fx=ax2若a<0，则ax−1x−2>0⇒1a若a=0，可知x=2是若12>a>0，ax−1x−2>0⇒x<2,x>当a>12，，ax−1x−2>0⇒x>2,x<1若a=12，综上可知：a>故选：B4．定义在R上的函数f(x)的导函数为fA．函数f(x)在区间(−1,0)上单调递减 C．函数f(x)在x=5处取得极大值 D．函数【答案】D【解析】由图像知：当x∈−∞,−1时，xf'(x)>0,则函数f(x)函数f(x)在区间(0,5),(5,10)上单调递减，C错误；函数f(x)在故选：D.5．已知fx=lnx，gx=exA．13,1e B．1e,【答案】D【解析】令f(s)∴t=lna，∴s−t=e令ha=e令ma=e∴ma在0,+∞上单调递增，且m∴存在唯一a=a0使得当0<a<a0时，ea<1a，h'∴ha即s−t取得最小值时，f(由零点的存在定理验证ea当a0=12时，ea故a0故选：D．6．如图，在边长为3的正方形ABCD中，E，F，G分别是边AB，AD，CD上的动点（不含端点），若S△AEF=A．3281 B．1727 C．6481【答案】C【解析】设AF=x，DG=y，则AE=6因为0<AE<3，即0<6x所以2<x<由图知：DF=3−x，EB=3由S△AEF=则y=12x−令fx=62x−当x∈2,94时，fx单调递增，当则fxmax=f94故选：C7．若函数fx=xex−lnx−x−2最小值为a，A．-2 B．0 C．2 D．-4【答案】A【解析】由题意知：fx、gx定义域均为f'x∵y=ex在0,+∞上单调递增，y=∴y=ex−又当x=12时，y=e−2∴∃x1∈12,1，使得∴当x∈0,x1时，f'x<∴fx在0,x1∴a=fxg'x令hx=ex−2−x，则h'x=∴hx在0,2上单调递减，在2,又h0=e−2>0∴∃x2∈0,1，∃x即ex2−2=x2∴当x∈0,x2时，gx单调递减；当x∈x2,1时，gx单调递增；当∴gx的极小值gx2∴b=gx∴a+b=−2故选：A.8．已知函数fx=ex+aA．12,+∞ B．−e2,【答案】D【解析】解：∵f(∴f'(若函数f(x)即f(x)即f'(x令f'(x)令g(x)只需h(x)的斜率−2a设切点是(x0，则切线方程是：y−e将(−1,0)代入切线方程得：故切点是(0,1)，切线的斜率是1，只需−2a>1即可，解得a<−故选：D．9．已知x1,x2,x3x1A．[1,+∞) C．(2,+∞) 【答案】B【解析】因为f0=0则f=−e因为x1<x2<所以ex设gx=e所以gx在0,+∞为增函数，即所以ex3+故选：B10．已知函数fx=ex−1,xA．ln2 B．1 C．2 D．ln3【答案】B【解析】作出fx设fm=m+1=k，则m=k−1所以n−m=ln设gk=ln所以gk在0,1上单调递减，则g故选：B11．对于函数fxA．fx在x=eB．fxC．fD．若fx<k−1x【答案】ACD【解析】【解】A选项，fx=lnxx2，定义域为0,+∞当0<x<e时，f'x>0，∴当x>e时，f'x<0，∴函数∴函数在x=e时取得极大值也是最大值fB选项，∵0<x<1时fx<0，f1∴函数fxC选项，∵当x>e时fx为单调递减函数，∵f2=lnD选项，∵fx<k−1x2∴k>lnx+1x2max，设设g'x=0，解得x=1e，∴x∈(0,1故选：ACD.12．对于函数fxA．函数fx极小值为−1B．函数fx单调递减区间为−∞,C．函数fx最小值为为−eD．函数fx存在两个零点1和【答案】AD【解析】fx=ln所以f(所以fx当x>0时，fx=令f'(x)当x∈(0,e)时，f'(x当x∈(e,+∞)时，f'因为f(所以f(x)在(所以f(x)的极小值为ff(x)的单调递减区间为−∞fx在(令fx=0，解得x=±1，结合f(故选：AD13．已知函数fxA．点0,0是函数fxB．∃x1C．函数fx的值域为D．若关于x的方程fx2−2【答案】CD【解析】解：对于A，因为f0=0，所以x=对于C，当x≤1时，fx=x当x<−1时，f'x<0，当所以函数fx在−∞,−所以fx又当x→−∞时，fx→0故当x≤1时，f当x>1时，fx=所以函数fx在1,故fx故当x>1时，f综上所述，函数fx的值域为−对于B，由C可知，函数fx在0,1上递增，在1,3则fx所以不存在x1∈0,1对于D，关于x的方程fx即关于x的方程fx所以fx=0由C知，方程fx所以方程fx即函数y=fx与函数y=如图，画出函数y=fx则2a=−1e所以a=−12e或所以实数a的取值范围是0,+∞故选：CD.14．若函数fx=2x3−ax【答案】3【解析】当x<0时，由fx=0可得a=2则g'x=2+2x−∞−−g'+0−g增极大值−减如下图所示：因为fx=2x3所以，fx=2当−1<x<0时，f'当0<x<1时，f'x则当x∈−1,1时，又因为f−1=0，因此，fx在−1,1上的最大值与最小值的和为故答案为：3.15．若函数f(x)=x【答案】−【解析】∵f(x)令f'(x)<0解得−1<x<由此可得f(x)在(−∞,故函数在x=−1处有极大值，在x=∴a2−故答案为：−16．已知函数fx=ex−a①对于任意a∈0,+∞，函数②对于任意a∈−∞,0，函数fx③存在a∈−∞,0，使得对于任意的x∈0,④存在a∈0,+∞，使得函数其中正确命题的序号是______.【答案】①④【解析】解：∵fx=ex−a当a∈(0,+∞)时f'x=当0<x<x0时f'x<0，x>x0时f'x>0若最小值f(x0)<0，即ex0−a令gx=xlnx，则g'x=1+ln所以gx在0,1e上单调递减，在1所以存在x0使得x0lnx0>1当a∈(−∞,0)时，f'x>0恒成立，故因为ex>1，当0<x<1时lnx<0，当a∈(−∞所以不存在a∈−∞,0，使得对于任意的x∈0,+∞，都有故答案为：①④．17．已知函数fx=e(1)若a=12，求(2)若当x>1时，fx>【答案】(1)1(2)1【解析】(1)当a=12时，所以f'(x)=−e当x∈(−∞,1)时，f'(x所以f(x)在(所以f(x)(2)设g(x)=eg'(若a<12，则g'(1)=2a−1所以g(x)故当x∈1,x0若a≥12，由ex>x+1知当x>当x>1时，g'(x因此g(x)在(1,所以当x>1时，g综上，a的取值范围是1218．已知函数fx(1)当a=1时，求函数y=f(2)若函数g(x)=f(【答案】(1)极小值为2，无极大值(2)a∈【解析】(1)由题知，当a=1时，f(∴f'x=ex−∴x∈−∞,0时，f'xx∈0,+∞时，f'x∴x=0是fx的极小值点，∴fx(2)由题知g(x∴g'x=ex−a+1∴h'x=ex−1x∴hx单调递增，即g'①当a≤e+1时，∴g'x∴gx>g1=0恒成立，即gx②当a>e+1时，令g'x=0，∴x∈1,x0时，g'x<∴gx在x∈1,x∴gxmin=gx0∴∃x1∈x0,+∞综上所述a∈−∞19．已知函数fx=ax3(1)当a=1时，求函数f(2)求函数gx(3)若存在a∈−∞,−1，使函数hx=fx【答案】(1)极大值为f−1(2)答案见解析(3)17【解析】(1)当a=1时，fx=∴当x∈−∞,−1⋃13∴fx在−∞,−1，∴fx的极大值为f−1(2)由题意得：g