矩阵的条件数与病态方程组

矩阵的条件数与病态方程组第一页，共26页。（优选）矩阵的条件数与病态方程组第二页，共26页。2.3矩阵的条件数与病态方程组例1方程组准确解：若A及b作微小变化，考虑扰动后的方程组：准确解：方程组解的几何解释为：平面上两条接近于平行的直线的交点，当其中一条直线稍有变化时，新的交点与原交点相差很远。第三页，共26页。例2方程组准确解为：（1）对右端b作微小扰动：（2）对系数矩阵A作微小扰动：4488倍15111倍第四页，共26页。2.3矩阵的条件数与病态方程组一、矩阵的条件数★矩阵条件数的定义★矩阵条件数的性质第五页，共26页。一、矩阵的条件数改写（2.22）式：Proof第六页，共26页。★矩阵条件数的定义：★矩阵条件数的性质：第七页，共26页。（6）Cond(AB)≤Cond(A)Cond(B)第八页，共26页。二、线性方程组的性态第九页，共26页。答案：第十页，共26页。希尔伯特（Hilbert）阵定义：-----最著名的病态矩阵对称正定矩阵在MATLAB中，函数hilb（）提供了Hilbert矩阵第十一页，共26页。希尔伯特（Hilbert）阵-----最著名的病态矩阵Hilbert矩阵的条件数：第十二页，共26页。求解病态方程组出现的问题：例：用MATLAB求解线性方程组输入：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000输入：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,0.99991.0002，0.9996，1.0004，0.9998，1.000第十三页，共26页。输入：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000输入：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,0.9991.000，0.999，1.000，0.999，1.000输入：得：ans=1.000,1,000,1.001,0.9791.202-0.141,4.886,-6.842,9.446,-2.90716.4271,-19.1914,24.787,9.577,-50.545,65.566,-47.751,27.814,-9.191,2.883第十四页，共26页。三、病态线性方程组的求解1、病态线性方程组的判别2、病态线性方程组的求解（1）采用高精度（2）（预处理）平衡法（3）残差校正法（4）奇异值分解法第十五页，共26页。三、病态线性方程组的求解1、病态线性方程组的判别例（P49）第十六页，共26页。三、病态线性方程组的求解1、病态线性方程组的判别例（P49）第十七页，共26页。2、病态线性方程组的求解（2）预处理设有预处理矩阵P，对方程组AX=b预处理PAX=Pb使第十八页，共26页。2、病态线性方程组的求解（1）采用高精度（2）预处理第十九页，共26页。例4（P49）方程组病态进行行平衡:得同解方程组:第二十页，共26页。(3)残差校正法（迭代求精法，迭代改善法）YN第二十一页，共26页。(3)残差校正法（迭代求精法，迭代改善法）第二十二页，共26页。（4）奇异值分解法U、V——正交阵，S——对角阵在MATLAB中，函数svd（）作矩阵的奇异值分解a)奇异值分解（Singular-ValueDecomposition）如：求H4的奇异值分解。输入第二十三页，共26页。如：求H4的奇异值分解。输入得到：U=-0.79260.5821-0.1792-0.0292-0.4519-0.37050.74190.3287-0.3224-0.5096-0.1002-0.7914-0.2522-0.5140-0.63830.5146S=1.500200000.169100000.006700000.0001V=-0.79260.5821-0.1792-0.0292-0.4519-0.37050.74190.3287-0.3224-0.5096-0.1002-0.7914-0.2522-0.5140