湖南省长沙市芙蓉区2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（试卷及解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省长沙市芙蓉区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知，则（

）A． B．C． D．2．已知命题，；命题，，则（

）A．和都是真命题B．和都是真命题C．和都是真命题D．和都是真命题3．若（），则（

）A．20 B．120 C．60 D．1354．学校测试智能阅卷，启用了标注为甲，乙，丙的三款评卷系统．平台将随机调用甲，乙，丙的概率依次为，，．若甲，乙，丙批改一道数学题的正确率分别为，，．现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为（

）A． B． C． D．5．已知，若，则（

）A． B． C． D．6．模长都为1的平面向量满足，则的模不可能是（

）A． B． C． D．7．函数的图像大致是（

）A．

B．

C．

D．

8．已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．已知函数与，则与（

）A．有相同的最小正周期 B．有相同的零点 C．有相同的对称中心 D．有相同的值域10．已知O为坐标原点，，分别是双曲线C：的左、右焦点，点A在C上且，则（

）A．C的离心率为2 B．点到C的一条渐近线的距离为3C．的面积为3 D．以，为焦点且经过点A的椭圆的离心率为11．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记是数列的前项和，则（

）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．已知数列满足，，则__________.13．双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点且在以为直径的圆上，直线的斜率为2，则双曲线的离心率为______．14．集合（为向量），若，定义.若从集合中任取两个不同的向量，则的概率为___________；若从集合中任取两个不同的向量，记，则______________.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．一个不透明袋子中有2个白球与4个黑球（大小质地均相同）．每次操作中，从袋子中随机摸出一个球，记录球的颜色，再放回袋子中，共进行三次操作．定义随机变量为这三次操作中摸出的黑球总数．求的分布、期望与方差．16．设椭圆：的左顶点为(1)求的离心率(2)设的左焦点为，上顶点为，若点在上且位于轴右侧，，求点的横坐标(3)设直线：，与交于不同的两点和，若点在以为直径的圆外，求实数的取值范围17．某饮品店推出一款网红饮品，记录上市第天的销量（单位：杯），数据如下：12345130170220280350(1)求样本相关系数；（精确到0.01）(2)求关于的经验回归方程，并预测第7天该饮品的销量．附：，，，，样本相关系数，经验回归方程中回归系数与回归截距分别为，．18．已知四面体中，和都是边长为4的正三角形，，点为中点，连接、.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)过点作平面平行于直线，平面与四面体的棱，分别交于点，，求四面体体积的取值范围.19．已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求实数的取值范围；(3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省长沙市芙蓉区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案BCCBCCCAADACD题号11答案ABD1．B【分析】利用复数运算法则计算出后，再利用模长公式即可得.【详解】，故.2．C【详解】因为，所以是假命题，是真命题；若，则；若，则，故是真命题.3．C【分析】先利用组合数性质得出x=3，再利用排列数公式计算。【详解】因，则或，解得或，因，则，则A54．B【详解】设该题目被正确批改为事件,事件为调用甲系统，概率为，正确率为，事件为调用乙系统，概率为，正确率为，事件为调用丙系统，概率为，正确率为，由全概率公式得：．5．C【分析】利用三角和差公式，结合正切商数关系求解．【详解】，，即，则，又，，解得．6．C【分析】根据题意可得，，再结合模长公式及数量积的运算律求解即可．【详解】，即，，，则，又，即的模可以为，不可能为．7．C【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。【详解】令，即，因为恒成立，所以，解得或，数图像与轴有两个交点和。观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A；B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B；D选项：由导数可知，当时，函数单调递增，D选项在时单调递减，故排除D；C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质.8．A【分析】设g（x）＝，根据已知条件可得函数在定义域上单调递减，从而将不等式转化为的解集，从而可得出答案.【详解】解：设＝，则＝，∵，∴，∴，∴y＝g（x）在定义域上单调递减，∵∴＝，又＝，∴，∴，∴的解集为．故选：A．9．AD【分析】应用辅助角公式化简函数式，从而得到，结合图象分析判断各项的正误.【详解】函数，，所以，即的图象是的图象向右平移个单位长度得到，所以与有相同的最小正周期和值域，但是对称中心不同，零点不同．10．ACD【分析】求出双曲线中，然后逐项判断即可．【详解】因为双曲线C：，所以，，．对于A，C的离心率为，故A正确；对于B，左焦点，渐近线方程为，所以点到渐近线的距离为，故B错误；对于C，在中，，所以为直角三角形，由得，所以的面积为，故C正确；对于D，由得，所以椭圆的离心率为，故D正确．11．ABD【分析】利用递推公式逐项计算可得的值，可判断A；推导出，分别令取偶数，奇数和正整数，结合累加法求解，可判断BCD．【详解】，，，，，故A正确；对任意的，，则，当取偶数时，得，相加得则，又，则，故B正确；对任意的，，则，当取奇数时，得，相加得则，故C错误；对任意的，，则，，故D正确.故选：ABD．12．/【分析】首先根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求.【详解】因为，所以，，，，…，所以数列是周期为3的数列，.故答案为：.13．【分析】利用在以为直径的圆上得到为直角，结合双曲线右支的定义和直线的斜率得到直角三角形三边关系，再由勾股定理推导出双曲线的离心率.【详解】因为在以为直径的圆上，根据直径所对圆周角为直角，得，即是直角三角形，斜边，因为直线斜率为，所以中两直角边满足，在双曲线右支上，由双曲线定义，代入得，，由得，化简得，即，因此离心率.14．【分析】根据定义结合古典概率计算公式可填第一空；根据定义确定随机变量的可能取值，再结合定义和计数原理求，由此可得分布列，结合期望公式可得，再分别计算，，化简可填第二空.【详解】里边元素个数为，任取两个不同向量，基本事件数为，从集合中任取两个不同的向量，若，则有两个对应位置上的值均为1，这要求一个向量恰有2个分量为1，另一个向量3个分量全为1，其中分量全为1的向量只有1个，即；恰有2个分量为1的向量有个，因此满足条件的向量对有，故的概率为；若，则，，与为不相等的向量矛盾，所以随机变量的可能取值有，对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系，且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等，此时所对应情况数为种.中元素的个数为个，所以.所以随机变量的分布列为：所以随机变量的数学期望为.首先计算：设，两边求导得，，两边乘以后得，令，得，所以所以.下面计算：因为，，，，因为，所以，所以.所以.15．3期望；方差。【分析】分别求得所有可能取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得结果.【详解】由题意知：所有可能的取值为，则，故的分布为，，，；所以的分布列为：3；.16．(1)(2)(3)【分析】（1）根据椭圆的标准方程得到，，求出，代入求解即可.（2）根据求出及直线的方程，与椭圆联立求解即可.（3）直线与椭圆方程联立，结合得到的范围；根据点在圆外得到，进而得到，结合向量数量积及韦达定理得到关于的不等式，求交集即可.【详解】（1）由椭圆方程可得，，，则，所以.（2）由题意知，，，.设直线的斜率为，直线的斜率为，则.因为，所以，所以直线的方程为.联立，整理得，解得或.因为点位于轴右侧，所以点的横坐标为.（3）设，，联立，整理得，，所以，即.则，.因为圆上任意一点与直径两端点连线所成的角为直角，而点在以为直径的圆外，所以，等价于.又，，所以，则，即，解得或.又，所以或.故实数的取值范围为.17．(1)样本相关系数约为(2)经验回归方程为，第7天该饮品的销量预测为450杯【分析】（1）计算出和的样本均值，代入公式求解即可.（2）求出回归系数与截距，得到经验回归方程，代入即可完成销量预测.【详解】（1）样本均值，，则，，因此.（2）回归系数，截距，故经验回归方程为.将代入回归方程，得，即第7天销量预测为450杯.18．(1)因为和都是边长为4的正三角形，且点为中点，所以，，而，面，可得平面，而平面，所以平面⊥平面.(2)(3)【分析】（1）利用线面垂直的判定得到平面，再结合面面垂直的判定定理求解即可.（2）利用等体积法求出点面距离，构造线面角，再结合同角三角函数的基本关系求解即可.（3）利用面面平行并结合相似的性质得到，再结合面面垂直的性质得到平面，最后利用棱锥的体积公式求解出解析式，最后结合二次函数性质得到范围即可.【详解】（1）略（2）设点到平面的距离为，由（1）知平面，且是边长为的等边三角形.所以，而，，，代入得到，解得，设直线与平面所成角为.则，即为所求.（3）如图，作出符合题意的图形，由题意得平面平面，平面，故，设，且，，由题意得，则，得到，由已知得，而，设，则，由相似性质得，则，，可得，过在平面内，作，则由（1）知平面平面，而面，可得平面，故为到平面的距离，因为是边长为的正三角形，所以，则，令，由二次函数性质得当时，取得最大值，而，则取得最大值，当时，可得，当时，可得，故.19．(1)当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．(2)(3)【分析】（1）求导，分和讨论判断正负，得解；（2）根据题意，问题转化为有两解，令，利用导数判断函数的单调性极值情况得解；（3）根据题意，问题转化为，对恒成立．当时，上式显然成立；当时，上式转化为，令利用导数求出最值得解.【详解】（1），，当时，，所以在上单调递增．当时，令，则．

若，即时，恒成立，所以在上单调递增．若，即时，方程的根为，当时，或，在和上单调递增；当时，，在上单