湖南省长沙市芙蓉区2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版）

湖南省长沙市芙蓉区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案ADCDBAADBCACD题号11答案AC1．A【详解】集合，即，又，所以.2．D【分析】根据向量共线坐标化表示即可得到方程，解出即可.【详解】因为，，，所以，所以.3．C【分析】对于A，利用线面平行的性质判断；对于C，利用线面垂直的判定判断；对于C，利用线面垂直的性质判断；对于D，利用线面平行的判定判断即可【详解】解：对于A，若，，则与可能平行，可能相交，也可能异面，所以A错误；对于B，若，，则直线与平面可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直，所以B错误；对于C，若，，，则，所以C正确；对于D，若，，则与可能平行，也有可能直线在平面内，所以D错误，故选：C4．D【详解】根据斜二测画法的性质，原图形面积与直观图面积满足关系：，直观图为等腰梯形，上底，下底，腰长，，故梯形的高为：，则，则，D正确.5．B【分析】根据向量垂直的坐标表示求出当时的m值即可得解.【详解】由题当时，，或，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.6．A【分析】由题意，结合分层抽样的定义即可求解.【详解】由图可知，总人数为10000人，抽取出来调查，则样本容量为，其中抽取的高中生人数为.故选：A7．A【分析】根据题意作图，利用正弦定理求得，根据两角和的正弦公式计算得，代入计算即可得解.【详解】根据题意作图，则，,，在中，根据正弦定理，，即，则，因为，所以，.即两点之间的距离为米.故选：A.8．D【分析】取的中点，连接，由向量加减法可得，据此可得答案.【详解】因为点与点关于点对称，所以，则．取的中点，连接，则，，则．当点与点或点重合时，取得最大值，则，从而的最大值为8．故选：D9．BC【分析】A应用互斥事件进行判断；B根据事件独立性的定义，结合题设描述判断；C根据事件独立性计算交事件的概率；D应用事件的概率性质求发生的概率即可判断.【详解】对于A，由“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，A错误;对于B，因为，而，故，即事件与事件相互独立，B正确；对于C，因为事件与事件相互独立所以事件与事件相互独立，，C正确；对于D，事件发生的概率，D错误；故选：BC.10．ACD【分析】构造面面平行，利用其性质可判断A；利用等体积法，可判断B；求出长的表达式，结合二次函数性质可判断C；确定外接球球心位置，求出半径，即可求外接球的体积，判断D.【详解】两个边长均为的正方形与正方形所在的平面相交，则，作交于H，连接，则，而，故，则，平面，平面，故平面，，平面，平面，故平面，平面，故平面平面，平面，故平面，A正确；由A的分析同理可得平面，则P到平面的距离即为M到平面的距离；由于，平面，故平面，过M作交于G，则平面，而，故，而，故为二面角的平面角，即，故三棱锥的体积，随a的增大而增大，由于，故该体积不存在最大值，B错误；由以上分析可知，则为二面角的平面角，即，而，，由于，则当时，取最小值1，即的最小值是，C正确；设的中点为，连接，则，平面，则平面，平面，故平面平面，同理平面平面，为二面角的平面角，即，过点即正方形和正方形的中心分别作这两个面的垂线，必交于一点，设为O，结合点在同一球的球面上，以及正方形与正方形边长均为，知O为外接球球心，且O在的平分线上，即,，，则，即外接球半径为，故球的体积是，D正确；故选：ACD11．AC【分析】A选项，作出辅助线，得到线面平行，故平面平面，故当在线段上时，满足平面，A正确；B选项，作出辅助线，得到四边形为截面图形，并得到其为梯形；C选项，作出辅助线，为直线与所成角，为等边三角形，故，C正确；D选项，作出辅助线，证明出平面平面，故当在线段上时，平面，点的轨迹的长度为，D错误.【详解】A选项，取的中点，连接，因为，分别是，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，同理可得平面，因为，平面，所以平面平面，故当在线段上时，满足平面，A正确；

B选项，连接，由A知，，又，所以，所以四边形即为过，，三点的平面截正方体所得截面图形，因为，所以四边形为梯形，B错误；C选项，由B知，，故为直线与所成角或其补角，连接，则，所以为等边三角形，故，异面直线与所成的角的大小为，C正确；D选项，连接，因为，平面，平面，所以平面，又，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，故当在线段上时，平面，所以平面，所以若平面，则点的轨迹的长度为，D错误故选：AC12．【分析】求出向量的坐标，利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】因为，，则，所以，在方向上的投影向量为.故答案为：.13．【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值.【详解】，则.故答案为：.14．【分析】根据给定条件，确定外接球球心位置，利用球的截面小圆性质求出球半径即可.【详解】在正三棱锥中，正的边长为，取线段的中点，连接，则，，设点在底面的射影为点，则为正的中心，，则，设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上，设球的半径为R，则，由勾股定理得，即，解得，所以该正三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：15．(1)(2)(3)【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可；（2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可；（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值.【详解】（1）由，即，则，解得，所以直线过定点.（2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以，此时，直线的方程可化为，记点，则，

由图可得，解得，因此，实数的取值范围是.（3）已知直线，且由题意知，

令，得，得，令，得，得，则，所以当时，取最小值，此时直线的方程为，即.16．(1)，2人(2)平均数为71，中位数为(3)【分析】（1）先利用频率之和为1，求出的值，再求出成绩不高于60分的人数，按分层抽样的概念，计算成绩不高于50分的人数.（2）根据频率分布直方图估计平均数和中位数.（3）根据独立事件的概率计算方法求事件的概率.【详解】（1）由，解得，因为（人），（人）．所以不高于50分的抽取（人）（2）平均数．由图可知，学生成绩在内的频率为0.4，在内的频率为0.3，设学生成绩中位数为t，，则：，解得，所以中位数为.（3）法一：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，则．答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．17．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别计算平面，平面的一个法向量计算即可；（2）利用点到平面的距离的空间向量表示计算；（3）依据题意得到点，然后得到平面的一个法向量，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）由题可知：建立如图所示空间直角坐标系又，所以，则，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，所以，令，则；，令，则，又，所以，所以平面平面.（2）由（1）可知：，平面的一个法向量为点到平面的距离为.（3）由（1）可知：，设，所以，又异面直线和所成角的余弦值为，所以，所以.设平面的一个法向量为，所以，令，则，所以二面角的余弦值为，则正弦值为.18．(1)2(2)证明：构造向量，因为（其中为向量的夹角），所以，于是，即当且仅当，即或时，等号成立，此时与共线，有，即，不等式得证．(3)．【分析】（1）由三角形的外形性质，可得向量在向量上的投影向量，根据数量积的定义，可得答案；（2）根据数量积的坐标表示以及模长的坐标公式，结合向量夹角余弦值的取值范围，可得答案；（3）由图形的性质以及数量积的定义式，整理等式，利用（2）所得的不等式，可得答案.【详解】（1）因为点是的外心，所以点在边的中垂线上．如图设点为线段的中点，则为向量在向量上的投影向量，设与的夹角为，所以．（2）略（3）如图，令，由，得，化简得．由点是的外心可知，是三边中垂线的交点，故有，代入上式得，所以．又是的外接圆的半径，故，于是有，由（2）结论可知，，故，从而，于是，当且仅当时，等号成立，因此的最大值为．19．(1)；(2)证明见解析；(3)【分析】（1）利用斜坐标系的定义写出向量，计算数量积得函数，化简后结合正弦函数性质得对称轴方程；（2）对按分类讨论，结合零点存在定理证明；（3）由（2）确定及，计算后结合勾形函数性质得结论．【详解】（1）由题意，，