2026年随机积分试题及答案

2026年随机积分试题及答案一、选择题（每题3分，共18分）1.设为标准布朗运动，为适应可料过程，若伊藤积分∈d存在，则需满足（）A.局部有界B.∈ds<C.右连续左极限存在D.为鞅2.半鞅的规范分解为（）A.=++，其中为局部鞅，为有限变差过程B.=++，其中为有限变差过程，为局部鞅C.=+·，其中为可测过程，为鞅D.=+∈d3.设(Ω,ℱ,,P)为滤子概率空间，为P-布朗运动，=exp(∈A.Q-布朗运动B.Q-泊松过程C.Q-鞅但非布朗运动D.Q-有限变差过程4.对f(t,A.dtB.dtC.dtD.2t5.设=∈sdA.∈dB.∈sC.D.t6.鞅表示定理指出，任意平方可积鞅可表示为（）A.=+∈d，其中为可料过程且B.=+∈dC.=∈d，其中D.=+∈d二、填空题（每题4分，共20分）1.计算伊藤积分∈d=______（用和t2.设=，则其随机微分d=3.随机微分方程d=d+dt4.设=∈(+5.若为Girsanov变换的密度过程，满足=exp(∈d∈ds)三、计算题（每题12分，共48分）1.计算伊藤积分∈(s+2.求解随机微分方程d=2d3.设为标准布朗运动，计算条件期望E[∣]（4.验证随机过程=6t+四、证明题（每题12分，共24分）1.设为平方可积鞅，且其二次变差[X,X=t，证明存在标准布朗运动使得=2.设为适应可料过程，满足Novikov条件E[exp(∈dt)]<∈fty（对任意T>答案一、选择题1.B（伊藤积分存在要求被积函数局部平方可积，即∈d2.B（半鞅的规范分解为有限变差过程与局部鞅之和）3.A（Girsanov定理的核心结论：为Q-布朗运动）4.B（伊藤公式：df=dt+5.A（伊藤积分的二次变差为被积函数平方的积分，即[X6.A（鞅表示定理要求可料且平方可积）二、填空题1.t（由伊藤公式，d()=2d2.d+dt（对f3.（令=ln，则d=d[X,X，代入d4.∈(5.满足Novikov条件（即E[exp(∈三、计算题1.解：将积分拆分为∈s第一项∈s第二项∈d因此总期望为0+0=0。进一步计算积分：对用分部积分，d()=3∈d因此原积分结果为∈s2.解：令=ld=已知d=2dd=积分得=+2t，由=2，=l3.解：利用布朗运动的独立增量性，设=+()，记Δ=，则=(取条件期望E[·|]，注意E[Δ|]=0，因此：E[4.解：需验证E[|]由=6t+3，展开=(t=代入得：=[取条件期望E[·|]，利用E[Δ]E[=+=6s+四、证明题1.证明：由鞅表示定理，平方可积鞅可表示为=+∈d，其中为可料过程且E由于是鞅且为常数（鞅初始值为常数），不妨设=0（否则令=）。其二次变差[X已知[X,X=t因此=1a.s.对所有s≥0成立，即=因此=∈d=2.证明：首先证明是P-鞅。由Novikov条件，E[exp(∈接下来证明是Q-布朗运动，需验证：是Q-鞅；的二次变差[B,的增量独立且正态。对任意t>s，考虑计算分子：[(由于=·exp(∈d令=(d=但更简单的方法是注意到是P-鞅