湖南省长沙市天心区2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（试卷及解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省长沙市天心区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若随机变量的概率分布如下：2340.30.1则（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.74．已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果经验回归方程为，那么（

）01342.24.34.8A．5.9 B．6.3 C．6.7 D．6.95．若，则（）A． B． C． D．6．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（

）A． B． C． D．7．在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．8．已知函数在内有且只有一个零点，则曲线的对称中心为（

）A． B． C． D．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．下列说法正确的是（

）A．若甲、乙、丙三个人独立破译密码机的概率分别为、、，则密码机被破译的概率为B．若随机变量且，则的最小值为50C．若随机变量，则D．若随机变量，若，，则10．已知函数，则（

）A．关于对称 B．的极小值点为C．有三个零点 D．直线是曲线的一条切线11．已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（

）A． B．C． D．的最小值为三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．若随机变量，则______．13．已知函数在处可导，若，则______．14．设等比数列的前项和为，若，则______．解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知数列的前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．16．某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了本校120名男生和120名女生，通过调查得到以下信息：120名女生中有30人课间经常进行体育活动，120名男生中有50人课间经常进行体育活动．(1)完成如下的列联表，并判断能否有的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关；单位：人性别课间进行体育活动情况合计不经常经常男女合计(2)以样本的频率作为概率，在全校学生中任取3人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列及数学期望．参考公式及数据：，其中．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817．如图，已知平面平面，，，．(1)求证：；(2)若，点在线段上，且三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．18．已知函数在处的切线与直线平行．(1)求的单调区间；(2)当时，恒有成立，求k的取值范围．19．有个不同的球和个编号为到的盒子（每个盒子都能装下至少个球），现将个球随机地放入这个盒子里，记为空盒子的个数.(1)若，设“号盒子为空”，求；(2)若，求的分布列和期望；(3)若、为随机变量，则.证明：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省长沙市天心区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案CBDADDBDBCDACD题号11答案ABD1．C【分析】利用补集和交集的运算法则求解.【详解】由已知得，则，故选：C.2．B【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】若，令，满足，但；若，则一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B3．D【详解】由题意得，解得，所以.4．A【详解】，则，，解得．5．D【分析】根据指数函数的性质比较大小.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以．故选：D．6．D【分析】利用三角恒等变换化简函数得，根据平移得，结合正弦函数的图象求其对称轴即可.【详解】因，将其图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则，令，解得.结合选项可知D正确．故选:D.7．B【分析】建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式即可求解.【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，所以，设平面的法向量为，所以，令，所以，设与平面所成角为，所以.故选：B.8．D【分析】求函数的导数，根据参数的取值范围，分类讨论函数的单调性，由题意，建立方程，可得,再由的对称轴为的对称中心可得答案【详解】由题得，当时，当时，，函数在区间内单调递增，且，所以函数在区间内无零点；当时，当时，，当时，，则在区间内单调递减，在区间内单调递增.故只需，解得，所以，由的对称轴为的对称中心可得，的对称中心为故选：D9．BCD【分析】可求破译密码机的对立事件没破译成功的概率，从而可对A判断；由正态分布的对称性可得，再结合基本不等式，即可求解；利用超几何分布求期望即可求解C；利用二项分布的期望和方差即可求解D.【详解】A：破译密码机的对立事件为没破译成功，且没破译成功的概率为，则破译密码的概率为，故A错误；B：由且，则，，当且仅当时取等号，则，故B正确；C：由随机变量，所以，故C正确；D：由随机变量，则，，解得，，则，故D正确.故选：BCD.10．ACD【分析】利用中心对称的定义计算可判断A，利用导函数求得函数的单调性，即可得函数的极小值点、极值，从而可判断BC，利用导数求曲线的切线方程可判断D.【详解】对于A，，则，所以函数关于对称，故A正确；对于B，，所以时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增.所以，在处取得极小值，故的极小值点为，故B错误；对于C，由上分析可知，在处取得极大值，极小值，所以的图象与轴有三个交点，即有三个零点，故C正确；对于D，令，解得，所以斜率为的切线过切点，则切线方程为即，故D正确.故选：ACD.11．ABD【分析】对，设，由椭圆和双曲线的标准方程可得和，由此即可判定；对B，由题意和双曲线的定义结合余弦定理联立方程组求解即可判定；对C，由B中结论转化为离心率即可判定；对D，由C中结论，利用构造互为倒数的类型，再利用基本不等式求最值即可判定.【详解】对于，设，因为是椭圆的焦点，所以；又因为是双曲线的焦点，所以所以，故A正确；对于B，由题意可得，两式平方整理得，在中，由，得，即，又由，，可得，解得，故B正确；对于C，由B可得，即，即，故C错误；对于D，由C可得，所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确．故选：ABD.12．【分析】根据正态曲线的性质求解即可.【详解】由，，得；所以，所以，又，所以，解得.故答案为：13．4【分析】变形得到，从而得到，解得．【详解】因为，所以，解得．故答案为：414．31【分析】设，根据等比数列的前项和的性质列式求解即可.【详解】因为为等比数列，且，所以，，成等比数列．设，则．因则有，即，所以．故．故答案为：31.15．(1)(2)【分析】（1）利用与的关系消去得到数列递推式，构造等比数列，即可求得数列通项；（2）依题求出的通项，利用错位相减法即可求得.【详解】（1）已知，当时，，故当时，，，则又

数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故得，整理得（2）由（1）知，，．①②由①②得．16．(1)表格见解析，没有的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联．(2)分布列见解析，1【分析】（1）根据已知补全列联表，根据独立性检验，计算的值，与对比即可得出答案；（2）根据已知得出在全校学生中随机抽取1人，其课间经常进行体育活动的概率为，则随机变量的所有可能取值为，所以，计算出对应的概率，再结合期望公式求解即可.【详解】（1）根据题意完成列联表如下：单位：人性别课间进行体育活动情况合计不经常经常男7050120女9030120合计16080240零假设为：学生课间是否经常进行体育活动与性别无关．经计算，得，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此认为成立，所以没有的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联．（2）由题意得，学生课间经常进行体育活动的频率为，所以在全校学生中随机抽取1人，其课间经常进行体育活动的概率为，又随机变量的所有可能取值为，所以，则，，，，所以的分布列为0123故随机变量的数学期望．17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题，根据直角梯形的结构特征，结合勾股定理逆定理可得，再根据面面垂直的性质可得平面，进而得到（2）先证明平面，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合三棱锥的体积为得到相关点的坐标，进而得到相关向量的坐标，再根据向量的夹角公式可得二面角的余弦值【详解】（1）∵，，∴四边形为直角梯形，又，，易得，．∴，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴．（2）∵，平面平面，平面平面，∴平面，故可以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，∵三棱锥的体积为，∴，即，解得．∴，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，得，令，得，∴，易知平面的一个法向量为，∴，故二面角的余弦值为．18．(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)【分析】（1）借助导数的几何意义计算可得，借助导数的正负即可得函数的单调性；（2）通过变形，可将原问题转化为在上，恒成立，从而构造函数，借助导数求出在上的范围即可得.【详解】（1）由已知可得的定义域为，，所以，即，所以，，令，得，令，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）将不等式整理得：，可化为，问题转化为在上，恒成立，令，，则，令，则，，所以在上单调递减，，即，所以在上单调递减，，所以，所以的取值范围是．【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于将原问题通过变形参变分离，转化为在上，恒成立，从而构造对应函数，借助导数求取在上的范围即可得.19．(1)(2)分布列：(3)证明：每个盒子空的概率为，设，则，则，因为，所以，即，令，，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，